董 皓，劉志宇，張建文

(西安工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710021)

0 引言

行星輪系優(yōu)點(diǎn)諸多[1]，被廣泛應(yīng)用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)、船舶主推進(jìn)系統(tǒng)、車(chē)輛傳動(dòng)裝置以及直升機(jī)主減速器等裝置中。目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者分別從理論和實(shí)驗(yàn)兩個(gè)方面對(duì)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的均載問(wèn)題做了大量研究。Kahraman和Ligata[2-3]等通過(guò)靜力學(xué)理論模型和實(shí)驗(yàn)對(duì)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的均載問(wèn)題進(jìn)行了研究；Boguski和Nishino[4]提出一種新的方法用以測(cè)量行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的均載特性和太陽(yáng)輪的浮動(dòng)軌跡；Montestruc[5-6]通過(guò)數(shù)值方法計(jì)算了行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的均載模型，分析了各誤差因素對(duì)均載特性的影響；周璐[7]通過(guò)建立動(dòng)力學(xué)均載分析模型，研究了誤差對(duì)行星傳動(dòng)系統(tǒng)均載特性影響；朱增寶[8]分析了支撐剛度對(duì)行星傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)均載特性的影響；陸俊華[9]從動(dòng)力學(xué)角度建立2K-H型行星傳動(dòng)系統(tǒng)的計(jì)算模型，研究了系統(tǒng)的均載特性；杜進(jìn)輔[10]等提出一種基于變形協(xié)調(diào)條件的行星輪系靜態(tài)均載特性分析方法。還有一些學(xué)者對(duì)功率分流的均載力學(xué)特性進(jìn)行了大量的研究[11-15]

本文以應(yīng)用于風(fēng)電行業(yè)的六行星輪齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，從靜力學(xué)角度分析了該系統(tǒng)的均載特性。根據(jù)功率流動(dòng)閉環(huán)特點(diǎn)，建立考慮制造、偏心誤差、間隙浮動(dòng)和徑向浮動(dòng)的系統(tǒng)整體變形協(xié)調(diào)條件。運(yùn)用當(dāng)量嚙合誤差理論，結(jié)合力矩平衡條件，建立了考慮各影響因素的靜態(tài)均載力學(xué)模型。通過(guò)引入輪齒承載接觸仿真分析方法，計(jì)算了模型中各齒輪副的時(shí)變嚙合剛度。分析各誤差對(duì)均載系數(shù)的影響，研究花鍵間隙浮動(dòng)和徑向浮動(dòng)對(duì)系統(tǒng)均載特性的影響。

1 力學(xué)平衡方程建立

圖1是行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖[9]。其中，輸入扭矩T1(輸入轉(zhuǎn)速ns)經(jīng)太陽(yáng)輪Zs分流給i個(gè)行星輪ZPi(i=1,2,…,6)，行星輪ZPi與內(nèi)齒圈Zr進(jìn)行嚙合，將輸出功率經(jīng)行星輪ZPi匯流到行星架C上，由與行星架C固聯(lián)的輸出軸進(jìn)行輸出，輸出扭矩為T(mén)out，輸出轉(zhuǎn)速為nc。建立如圖2所示的靜力學(xué)平衡關(guān)系模型，設(shè)定系統(tǒng)輸入扭矩T1(輸入轉(zhuǎn)速ns)為逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，太陽(yáng)輪S對(duì)各行星輪Pi(i=1,2,…,6)的作用扭矩為T(mén)spi，各行星輪Pi對(duì)太陽(yáng)輪S的反作用扭矩為T(mén)pis，各行星輪Pi和內(nèi)齒圈r的作用扭矩和反作用扭矩分別為T(mén)pir和Trpi，規(guī)定主動(dòng)扭矩為正，負(fù)載扭矩為負(fù)；Kspi表示太陽(yáng)輪和行星輪Pi之間的等效輪齒嚙合剛度；Kpir表示行星輪Pi和內(nèi)齒圈r之間的等效輪齒嚙合剛度；Ks和Kr分別表示太陽(yáng)輪和內(nèi)齒輪支承處的等效彈性支撐剛度；rbs、rbp和rbr分別表示太陽(yáng)輪、行星輪和內(nèi)齒圈的基圓半徑；Ks和Kr表示太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈的彈性支撐剛度。

圖1 2K-H行星傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖
Fig.1 Kinematic sketch of 2K-H planetary transmission

圖2 靜力學(xué)平衡關(guān)系示意圖
Fig.2 A diagram of static equilibrium relationship

得到靜力學(xué)扭矩平衡條件為

(1)

式中，i=1,2,…,6，Tij(k)(ij=spi、pir)表示在一個(gè)嚙合周期中被動(dòng)輪j對(duì)主齒輪i在第k(k=1,2,…,5)個(gè)嚙合位置扭矩。

圖3表示了系統(tǒng)各齒輪的扭轉(zhuǎn)角關(guān)系。

圖3 各齒輪扭轉(zhuǎn)角關(guān)系示意圖
Fig.3 Schematic diagram of the relationship between the torsion angle of the gear

圖3中，Δφpi表示各行星輪Pi的扭轉(zhuǎn)角；Δφs表示太陽(yáng)輪S的扭轉(zhuǎn)角；Δφr表示內(nèi)齒圈r的扭轉(zhuǎn)角；Δφspi表示太陽(yáng)輪在扭矩作用下相對(duì)于行星輪Pi的扭轉(zhuǎn)角變形；Δφpir表示行星輪Pi在扭矩作用下相對(duì)于內(nèi)齒圈的扭轉(zhuǎn)角變形，嚙合轉(zhuǎn)角滿(mǎn)足

(2)

由于Δφspi和Δφpir分別是Tspi(k)和Tpir(k)的函數(shù)，將i(i=1,2,…,6)個(gè)行星輪嚙合傳動(dòng)誤差換算為相對(duì)于太陽(yáng)輪S的當(dāng)量嚙合誤差，可得

Δφi=Δφspi[Tspi(k)]+(rbp/rbs)Δφpir[Tspi(k)]=

Δφs-(rbr/rbs)Δφr。

(3)

由于Δφ1=Δφi(i=2,3,…,6)，可以得到基于功率流動(dòng)閉環(huán)特性的系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)角變形協(xié)調(diào)條件為

Δφsp1[Tsp1(k)]+(rbp/rbs)Δφp1r[Tsp1(k)]=

Δφspi[Tspi(k)]+(rbp/rbs)Δφpir[Tspi(k)]。

(4)

2 當(dāng)量嚙合誤差和均載系數(shù)計(jì)算

(5)

(6)

2.1 誤差引起的累積綜合嚙合誤差

制造誤差E和安裝誤差A(yù)的方向角以β和γ表示[9]，引起的角位移誤差可由

(7)

表示，其中，由太陽(yáng)輪制造誤差Es引起的角位移φEsi，太陽(yáng)輪軸承制造誤差Ebs引起的角位移φEbsi，第i個(gè)行星輪的制造誤差Epi引起的內(nèi)嚙合角位移φEpir和外嚙合角位移φEspi，第i個(gè)行星輪聯(lián)接軸軸承的制造誤差Ebpi引起的內(nèi)嚙合角位移φEbpir和外嚙合角位移φEbspi，行星架制造誤差Ec引起的角位移φEci，內(nèi)齒圈制造誤差Er引起的角位移φEri。

由太陽(yáng)輪安裝誤差A(yù)s引起的角位移φAsi，第i個(gè)行星輪的安裝誤差A(yù)pi引起的內(nèi)嚙合角位移φApir和外嚙合角位移φAspi，內(nèi)齒圈安裝誤差A(yù)r引起的角位移φAri，可以分別表示為

(8)

其中，ωs、ωpi和ωr分別為太陽(yáng)輪、星輪和內(nèi)齒輪的角速度；αw和αn分別表示外嚙合齒輪傳動(dòng)與內(nèi)嚙合齒輪傳動(dòng)的嚙合角；φi為第i個(gè)行星輪相對(duì)于第1個(gè)行星輪的位置角，φi=2π(i-1)/6。

將式(7)和(8)的誤差分別等效轉(zhuǎn)換為太陽(yáng)輪和行星輪spi以及行星輪與內(nèi)齒圈pir的內(nèi)外嚙合線(xiàn)上，形成當(dāng)量嚙合誤差，并逐次分別疊加，得累積當(dāng)量嚙合誤差φspi和φpir為[14]

(9)

設(shè)太陽(yáng)輪、內(nèi)齒圈沿x、y向的軸心浮動(dòng)位移量分別為xs、ys、xr、yr，則浮動(dòng)構(gòu)件引起的角位移φsi與φri分別為

(10)

式(11)中，Wi和Ni分別如圖1所示的角度關(guān)系，Wi表示太陽(yáng)輪與第i個(gè)行星輪嚙合線(xiàn)的方位角，Wi=ωct+π/2-αw+φi，Ni表示第i個(gè)行星輪與內(nèi)齒圈嚙合線(xiàn)的方位角，Ni=ωct+π/2+αn+φi。

(11)

將式(6)和式(11)代入式(5)，得各齒輪副嚙合傳動(dòng)誤差Δφspi[Tspi(k)]和Δφpir[Tpir(k)]為

(12)

將式(12)帶入到式(4)可以得到當(dāng)量嚙合誤差因素影響下的系統(tǒng)完整變形協(xié)調(diào)條件為

(13)

2.2 花鍵間隙浮動(dòng)平衡條件

太陽(yáng)輪浮動(dòng)過(guò)程中，受到6個(gè)與之相嚙合的行星輪的嚙合力Tspi以及花鍵聯(lián)接軸的支承反力的共同作用。由于內(nèi)外花鍵之間存在徑向間隙，如果太陽(yáng)輪受力不均衡，會(huì)產(chǎn)生徑向的微移動(dòng)，直至受力趨于均衡，而太陽(yáng)輪受花鍵軸的約束不能完全自由浮動(dòng)。

在花鍵傳遞扭矩的過(guò)程中，內(nèi)、外花鍵摩擦力為Fm，F(xiàn)m=τFN，F(xiàn)N表示內(nèi)外花鍵之間的正壓力，τ為摩擦系數(shù)，內(nèi)、外花鍵的徑向間隙量L=S2-S1。太陽(yáng)輪在一個(gè)嚙合周期中，產(chǎn)生的浮動(dòng)量為

(14)

式中，xs和ys表示在x和y方向的浮動(dòng)量。

當(dāng)支承反力小于摩擦力Fm時(shí)，內(nèi)、外花鍵之間不產(chǎn)生滑移，在滿(mǎn)足系統(tǒng)強(qiáng)度要求的條件下，由花鍵軸的彎曲變形適應(yīng)太陽(yáng)輪的位置變化，當(dāng)支承反力大于摩擦力Fm時(shí)，內(nèi)、外花鍵之間產(chǎn)生滑移，由滑移量適應(yīng)太陽(yáng)輪的位置變化，當(dāng)內(nèi)、外花鍵消除了徑向間隙時(shí)，重新由花鍵軸的彎曲變形適應(yīng)太陽(yáng)輪的位置變化，因此，太陽(yáng)輪的支承反力在x、y向的分量引起的平衡方程可以表示為[15]

(15)

式中，花鍵軸的彎曲剛度Kw=EIz，E為彈性模量，Iz為花鍵軸的慣性矩；ξs表示向量xs、ys的方向角。

將式(15)聯(lián)立其它各構(gòu)件的支承平衡條件和力矩平衡條件以及變形協(xié)調(diào)條件，建立間隙非線(xiàn)性數(shù)學(xué)模型，可以求解得到系統(tǒng)的均載系數(shù)。

2.3 均載系數(shù)求解

考慮太陽(yáng)輪花鍵間隙浮動(dòng)和內(nèi)齒圈徑向彈性浮動(dòng)引起的靜力平衡，得到平衡方程

(16)

聯(lián)立式(1)、式(13)和式(16)，可以求出各齒輪副的傳遞扭矩Tspi(k)和Tpir(k)，從而求得各行星輪的均載系數(shù)為Jpi=Tspi(k)/(T1/6)，系統(tǒng)的均載系數(shù)為J=(Jpi)max，均載系數(shù)的大小表征著系統(tǒng)的均載特性的好壞，均載系數(shù)越大，系統(tǒng)均載特性越差。

3 均載特性的影響分析

系統(tǒng)各參數(shù)如表1所示。其中，給定輸入轉(zhuǎn)速ns=85.9 r/min，輸入功率為82.18 kW，太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈的支撐剛度為Kr=9.42×109N/m。各誤差值均取3 μm。給定內(nèi)外花鍵摩擦系數(shù)τ=0.1，內(nèi)外花鍵之間的正壓力FN=1.14×105N，花鍵軸的支撐彎曲剛度為Kw=9.16×1010N/m。

表1 各齒輪的主要參數(shù)數(shù)據(jù)Tab.1 Main parameters of the gear data

根據(jù)文獻(xiàn)[13-15]，利用LTCA仿真分析方法計(jì)算得到時(shí)變嚙合剛度曲線(xiàn)如圖4所示，太陽(yáng)輪和行星輪spi的嚙合剛度在1.391×109N/m處波動(dòng)，行星輪和內(nèi)齒圈pir的嚙合剛度在1.533×109N/m處波動(dòng)。

3.1 誤差因素對(duì)均載特性的影響

制造誤差和安裝誤差作用時(shí)的系統(tǒng)均載系數(shù)如圖5所示，此處，行星輪的制造誤差和安裝誤差為各行星輪內(nèi)外嚙合各誤差因素的疊加。

圖4 各齒輪副時(shí)變嚙合剛度
Fig.4 The time varying meshing stiffness of each gear pair

計(jì)算得到Es、Epi和Er影響的均載系數(shù)分別為1.132 6、1.090 7和1.132 6，As、Api和Ar影響的均載系數(shù)分別為1.132 6、1.085 2和1.132 6。Es、Epi、Er、As和Ar影響的均載系數(shù)呈周期性變化，Api和Ec影響的均載系數(shù)隨時(shí)間為固定值。太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈的制造和安裝誤差影響下的系統(tǒng)均載系數(shù)為1.132 6，兩者峰值一樣，制造誤差的影響頻率高于安裝誤差，行星輪的制造誤差比安裝誤差影響的均載系數(shù)值略大。

圖5 制造誤差和安裝誤差單獨(dú)作用時(shí)的系統(tǒng)均載系數(shù)
Fig.5 Load sharing coefficient of system when manufacturing error and installation error are acted separately

以制造誤差Es、Epi、Er和Ec為例，給出各主要制造誤差單獨(dú)變化時(shí)的均載系數(shù)，如圖6所示。

圖6 各主要制造誤差單獨(dú)變化時(shí)系統(tǒng)均載系數(shù)
Fig.6 System load-sharing coefficient when each major error changes individually

隨著各構(gòu)件誤差值的增大，系統(tǒng)均載系數(shù)均變大，其中太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈的制造誤差影響最大，行星架影響次之，行星輪的影響較小。

3.2 浮動(dòng)因素對(duì)均載特性的影響

以給定Ep2=3 μm為例，計(jì)算了花鍵間隙量從0 mm到0.2 mm對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)均載系數(shù)如圖7所示。

圖7 不同花鍵間隙量影響的系統(tǒng)均載系數(shù)
Fig.7 Load coefficient of system with different spline clearance

在間隙量分別為0.0 mm、0.04 mm、0.1 mm和0.2 mm時(shí)，計(jì)算得到系統(tǒng)的均載系數(shù)分別為1.379 6、1.315 7、1.219 8和1.094 9。間隙量為0.2 mm時(shí)，達(dá)到浮動(dòng)條件。在不滿(mǎn)足完全浮動(dòng)之前，系統(tǒng)均載系數(shù)的變化隨時(shí)間呈非線(xiàn)性變化，當(dāng)隨著間隙量的增大，達(dá)到完全浮動(dòng)時(shí)，即內(nèi)外花鍵的滑移量適應(yīng)太陽(yáng)輪的位置變化，均載系數(shù)又呈周期性變化，整體均載特性有所改善。

圖8給出了Ep2在誤差0 μm、3 μm、6 μm和10 μm下時(shí)各行星齒輪均載系數(shù)隨花鍵間隙量變化的情況,可以看出，隨著間隙量的增大，均載系數(shù)逐漸減小，最終達(dá)到均載。給定誤差Ep2下的行星輪2的均載系數(shù)影響最大?；ㄦI間隙量為0 mm時(shí)，完全由軸的彎曲適應(yīng)浮動(dòng)輪的位置變化。隨著誤差的增大，系統(tǒng)達(dá)到均載時(shí)所需的花鍵間隙量也增大。給定幾組誤差下最終達(dá)到均載時(shí)的系統(tǒng)均載系數(shù)分別為1.063 32、1.126 6和1.316 1。

圖8 均載系數(shù)隨間隙量變化
Fig.8 Load coefficient changed with spline clearance

當(dāng)給定制造誤差和安裝誤差共同作用時(shí)，誤差量均為3 μm，得到均載結(jié)果如圖9所示，同時(shí)給出太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈浮動(dòng)對(duì)系統(tǒng)載荷分配的影響，此時(shí)，給定內(nèi)齒圈的彈性浮動(dòng)支撐剛度為Kr=9.42×106N/m，給定太陽(yáng)輪浮動(dòng)時(shí)的花鍵間隙量為0.3 mm。

由圖9可以看出，當(dāng)誤差共同作用時(shí)，不浮動(dòng)條件下，各行星輪i(i=1,2,…,6)上的均載系數(shù)分別為1.334 1、1.456 0、1.356 5、1.259 8、1.123 3、1.187 5，得到系統(tǒng)的均載系數(shù)為1.456 0。三種浮動(dòng)狀態(tài)下(如圖(b)、(c)、(d)所示)的均載系數(shù)分別為1.023 6，1.018 7，1.012 0，內(nèi)齒圈單獨(dú)完全浮動(dòng)下要比太陽(yáng)輪單獨(dú)完全浮動(dòng)對(duì)均載特性的改善效果好。

圖9 誤差共同作用下的浮動(dòng)均載系數(shù)
Fig.9 Floating load-sharing coefficient under the common effect of error

4 結(jié)論

1) 通過(guò)引入齒輪承載接觸仿真方法，真實(shí)地反應(yīng)了各嚙合位置的均載力學(xué)情況。推導(dǎo)了系統(tǒng)的變形協(xié)調(diào)條件，從本質(zhì)上反映了由構(gòu)件彈性變形導(dǎo)致的均載問(wèn)題。

2) 均載系數(shù)隨系統(tǒng)各誤差呈周期性變化，太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈的制造誤差影響頻率較安裝誤差大；隨著各構(gòu)件誤差值的增大，系統(tǒng)均載系數(shù)均變大，其中太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈的制造誤差影響最大，行星架影響次之，行星輪的影響較??；

3) 當(dāng)存在花鍵間隙時(shí)，系統(tǒng)均載系數(shù)隨時(shí)間變化呈非線(xiàn)性變化，當(dāng)花鍵間隙量增大到一定程度時(shí)，均載系數(shù)又呈周期性變化。隨著間隙量的增大，均載系數(shù)逐漸減小，最終達(dá)到均載，給定誤差Ep2下的行星輪2的均載系數(shù)影響最大。

4) 太陽(yáng)輪間隙浮動(dòng)和內(nèi)齒圈徑向浮動(dòng)能有效改善系統(tǒng)的均載特性，太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈同時(shí)浮動(dòng)的效果更好，單獨(dú)浮動(dòng)情況下，內(nèi)齒圈的浮動(dòng)效果要好。