吳加奇　張春莉

摘 要：社會(huì)的迅速發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)教育提出了更高的要求，現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育將數(shù)學(xué)與生活緊密聯(lián)系起來(lái)的理念為數(shù)學(xué)教育指明了一個(gè)新的方向。但是教師對(duì)如何在課堂上運(yùn)用這些理念真正讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的連接，建構(gòu)自己的數(shù)學(xué)系統(tǒng)，還存在疑惑。借鑒荷蘭數(shù)學(xué)教育改革的成功經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育的內(nèi)涵與策略，中國(guó)數(shù)學(xué)課堂應(yīng)關(guān)注學(xué)生作品、利用學(xué)生經(jīng)驗(yàn)、借助具體模型來(lái)落實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育理念，幫助學(xué)生迎接未來(lái)的挑戰(zhàn)。

關(guān)鍵詞：現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué);逐步數(shù)學(xué)化;教學(xué)現(xiàn)象學(xué);模型化

中圖分類號(hào)：G427文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：2095-5995（2019）04-0041-04

在信息化、自動(dòng)化、數(shù)字化的影響下，各種智能計(jì)算器能夠代替學(xué)生做所有運(yùn)算時(shí)，有一種聲音出現(xiàn)了，數(shù)學(xué)的主要功能——運(yùn)算對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)已經(jīng)沒有那么重要。[1]那么，在這樣的背景下教師應(yīng)該教什么樣的數(shù)學(xué)？以什么樣的方式來(lái)教學(xué)？哈佛大學(xué)的沃夫曼（Wolfram）教授也提出了類似的疑問(wèn)，同時(shí)他指出數(shù)學(xué)在生活中有著廣泛的應(yīng)用，但這些應(yīng)用對(duì)大眾而言都是無(wú)形的，所以新的趨勢(shì)下的數(shù)學(xué)教育應(yīng)與現(xiàn)實(shí)結(jié)合起來(lái)，從根源上解決數(shù)學(xué)與生活的疏離印象。[2]現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育（Realistic Mathematics Education，RME）是在荷蘭發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域的特定教學(xué)理論，是關(guān)注了現(xiàn)實(shí)在數(shù)學(xué)中地位的數(shù)學(xué)教育模型。荷蘭學(xué)生的數(shù)學(xué)成就在世界各國(guó)中名列前茅，這要?dú)w功于現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育。荷蘭數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)教育提倡改變傳統(tǒng)的以教師為主的機(jī)械性教學(xué)，轉(zhuǎn)為以學(xué)生為主體的主動(dòng)建構(gòu)式教學(xué)。本文希望探尋現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育的內(nèi)涵和意義、原則和策略，探索現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育如何幫助教師利用現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)的觀念設(shè)計(jì)符合學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)課堂，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造，為中國(guó)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)帶來(lái)一些啟示。

一、現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育的背景與內(nèi)涵

現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育是由弗賴登塔爾（Freudenthal）數(shù)學(xué)教育研究所研究提出的一套理論方法。其興起的時(shí)間是20世紀(jì)60年代，當(dāng)時(shí)荷蘭的數(shù)學(xué)教育以機(jī)械式的教學(xué)方法為主，作為這種機(jī)械方法的替代者，美國(guó)的新數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)席卷了荷蘭。為了對(duì)抗美國(guó)新數(shù)學(xué)潮流所帶來(lái)的不適，發(fā)展根植于荷蘭本土的數(shù)學(xué)教育改革，現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育被正式提出。[3]它是結(jié)合范希爾（Van Heile）的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)層級(jí)、弗賴登塔爾（Freudenthal）的教學(xué)現(xiàn)象學(xué)（didactical phenomenology）及特雷弗（Tereffers）的數(shù)學(xué)化綜合而來(lái)的。[4]弗賴登塔爾把數(shù)學(xué)看作人類活動(dòng)的觀點(diǎn)，構(gòu)成了現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育的思想基礎(chǔ)。[5]他認(rèn)為數(shù)學(xué)必須與現(xiàn)實(shí)相聯(lián)系，要接近學(xué)生的經(jīng)歷，要與社會(huì)生活相關(guān)，而且要體現(xiàn)出人類的價(jià)值。數(shù)學(xué)不是一個(gè)閉合的系統(tǒng)，而是一個(gè)數(shù)學(xué)化的活動(dòng)。[6]這就體現(xiàn)了現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育的核心：現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)化。

現(xiàn)實(shí)意味著獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的經(jīng)歷是現(xiàn)實(shí)的，每個(gè)人都要在真實(shí)的過(guò)程中逐漸積累數(shù)學(xué)知識(shí)。學(xué)生通過(guò)已熟悉的生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與生活密切相關(guān)，學(xué)習(xí)內(nèi)容也與現(xiàn)實(shí)生活密切聯(lián)系。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，豐富的、現(xiàn)實(shí)的情境被賦予了突出的地位。弗賴登塔爾有一句名言：與其說(shuō)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，還不如說(shuō)是學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)化”;與其說(shuō)是學(xué)習(xí)公理體系，還不如說(shuō)是學(xué)習(xí)“公理化”;與其說(shuō)是學(xué)習(xí)形式體系，還不如說(shuō)是學(xué)習(xí)“形式化”。他認(rèn)為，人們運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法觀察現(xiàn)實(shí)世界，分析研究各種具體的現(xiàn)象，并加以整理組織，這個(gè)過(guò)程就是數(shù)學(xué)化。一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)化是一種由現(xiàn)實(shí)問(wèn)題到數(shù)學(xué)問(wèn)題，由具體到抽象的認(rèn)知活動(dòng)，是人類發(fā)現(xiàn)活動(dòng)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里的具體表現(xiàn)。數(shù)學(xué)化分為橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化。[7]這兩種數(shù)學(xué)化是緊密連接在一起的，橫向數(shù)學(xué)化完成將生活問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，縱向數(shù)學(xué)化繼續(xù)將數(shù)學(xué)問(wèn)題與數(shù)學(xué)系統(tǒng)聯(lián)系在一起，深入數(shù)學(xué)探索。

二、荷蘭現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)策略

現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一個(gè)很重要的作用就是讓學(xué)生建立起生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，讓學(xué)生建構(gòu)自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。弗賴登塔爾認(rèn)為學(xué)生應(yīng)該有一個(gè)體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生以原有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)為起點(diǎn)，在教師的引導(dǎo)下制定出自己的一條學(xué)習(xí)路線，自己創(chuàng)造數(shù)學(xué)。為了給現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育賦予更多的課堂操作性，弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育研究所學(xué)術(shù)領(lǐng)導(dǎo)人之一格雷邁杰爾（Gravemeijer）基于數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)教育，提出了數(shù)學(xué)教學(xué)中的三種啟發(fā)式教學(xué)法，分別是逐步數(shù)學(xué)化的再創(chuàng)造、教學(xué)的現(xiàn)象分析以及即時(shí)建模。[8]

（一）通過(guò)逐步數(shù)學(xué)化引導(dǎo)學(xué)生再創(chuàng)造

弗賴登塔爾認(rèn)為數(shù)學(xué)是一種活動(dòng)，而不是一個(gè)封閉的系統(tǒng)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一個(gè)數(shù)學(xué)化的過(guò)程。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)之前，每個(gè)人都有自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，教師的一個(gè)很重要的任務(wù)就是了解學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。這些數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)可能是來(lái)自于現(xiàn)實(shí)生活的簡(jiǎn)單圖形或是簡(jiǎn)單計(jì)算，但它們是重要的教學(xué)資源，是學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，是學(xué)生構(gòu)造自己學(xué)習(xí)軌跡的支撐材料。通過(guò)了解學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，教師可以引導(dǎo)和幫助學(xué)生從自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)逐步創(chuàng)造出自己的知識(shí)體系，這就是通過(guò)逐步數(shù)學(xué)化而達(dá)到再創(chuàng)造。

（二）教學(xué)的現(xiàn)象分析

教學(xué)的現(xiàn)象分析是根據(jù)弗賴登塔爾的教學(xué)現(xiàn)象學(xué)提出來(lái)的，重點(diǎn)在于探討情境作為學(xué)生學(xué)習(xí)起點(diǎn)的重要性。在這里教學(xué)現(xiàn)象指能夠幫助學(xué)生計(jì)算、推理和數(shù)學(xué)化的情境以及一些概念和工具。[9]特殊的問(wèn)題情境是學(xué)生數(shù)學(xué)化的基礎(chǔ)，能夠讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是來(lái)源于生活并且會(huì)應(yīng)用于生活，這也是現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)所強(qiáng)調(diào)的。如果教師將抽象數(shù)學(xué)內(nèi)容直接教給學(xué)生，學(xué)生是很難接受的。所以，教師需要將數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容融入學(xué)生熟悉的情境，讓學(xué)生在情境中逐漸體會(huì)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)。

（三）模型化

模型化是指有效地使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維從情境層次向更高層次發(fā)展的一種教學(xué)行為。[10]數(shù)學(xué)模型既有具體的模型，又有抽象的模型。人們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型，就是要從現(xiàn)實(shí)中獲得一個(gè)具體的模型，通過(guò)對(duì)這個(gè)具體模型的認(rèn)識(shí)而得到抽象的數(shù)學(xué)模型，又進(jìn)一步把數(shù)學(xué)模型具體化為現(xiàn)實(shí)的模型。[11]長(zhǎng)期以來(lái)，建模一直是國(guó)際上所提倡的數(shù)學(xué)技能，然而在日常的學(xué)校教育實(shí)踐中，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力一直沒有得到很好的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)教育的建模研究?jī)A向于關(guān)注建模在學(xué)生學(xué)習(xí)某些數(shù)學(xué)概念方面的作用。[12]然而，生活中人們建立模型的動(dòng)機(jī)是為了解決一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，而不是為了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念。所以，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)際情境建模才能夠更好地培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力?，F(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育中的模型化是垂直數(shù)學(xué)化的過(guò)程，模型起到了溝通不同理解層次的作用。學(xué)生需要知道模型的內(nèi)在關(guān)系，而不只是收獲一兩個(gè)解決特殊問(wèn)題的公式。學(xué)生需要掌握的模型是一般化的?，F(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育中的模型都是源自具體的問(wèn)題情境，這樣解決數(shù)學(xué)問(wèn)題就有了實(shí)際意義。學(xué)生解決同類問(wèn)題越有經(jīng)驗(yàn)，這個(gè)模型也就掌握得越發(fā)牢固。

三、中國(guó)現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)策略

荷蘭的現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)策略也為我們帶來(lái)一些啟示：數(shù)學(xué)教育目標(biāo)由“雙基”向“四基”轉(zhuǎn)變，數(shù)學(xué)教育越來(lái)越關(guān)注現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，將數(shù)學(xué)定位為能夠幫助學(xué)生更好地生活的一門學(xué)科。

（一）關(guān)注學(xué)生作品，讓學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)化實(shí)現(xiàn)再創(chuàng)造

在教學(xué)中，教師的目標(biāo)都是幫助學(xué)生數(shù)學(xué)化，但是在教學(xué)過(guò)程中很多教師忽略了逐步實(shí)現(xiàn)這個(gè)的過(guò)程。一些教師常常急于讓學(xué)生掌握最簡(jiǎn)潔的成果，而忽略了學(xué)生建立思維的過(guò)程。數(shù)學(xué)化的結(jié)果固然重要，但逐步建立的過(guò)程必不可少，否則學(xué)生只是按照教師的思路在學(xué)習(xí)，而沒有自己進(jìn)行數(shù)學(xué)化，更沒有可能自己進(jìn)行再創(chuàng)造。下面通過(guò)“11-20各數(shù)的認(rèn)識(shí)”一課的教學(xué)實(shí)例來(lái)說(shuō)明教師如何引導(dǎo)學(xué)生逐步數(shù)學(xué)化。

在“11-20各數(shù)的認(rèn)識(shí)”一課的教學(xué)中，教師提出了這樣的問(wèn)題：“通過(guò)小棒擺一擺，怎樣能夠一眼看出是12根小棒呢？”學(xué)生呈現(xiàn)了如圖1的作品：

顯然這些學(xué)生作品的呈現(xiàn)層次就隱含著逐步數(shù)學(xué)化的過(guò)程。教師接著問(wèn)學(xué)生：“你覺得哪種擺法可以一眼看出是12根？”在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)，前三個(gè)作品都不能一眼看出來(lái)，而是要通過(guò)計(jì)算，而第四個(gè)作品可以一眼看出是12根。大多數(shù)時(shí)候教學(xué)在這里就停止了，像是完成了數(shù)學(xué)化的過(guò)程，而我們聽到一位教師有不同的處理辦法。就在大多數(shù)學(xué)生都認(rèn)可第四個(gè)作品時(shí)，教師開始引導(dǎo)學(xué)生提出疑問(wèn)。有學(xué)生提出了質(zhì)疑，10個(gè)擺一堆才能一眼看出來(lái)，怎么保證那一堆就是10個(gè)呢？其實(shí)這堂課這位學(xué)生的質(zhì)疑才是點(diǎn)睛之筆。這一堆為什么是10個(gè)呢，學(xué)生按群認(rèn)數(shù)最多能認(rèn)識(shí)5個(gè)或者6個(gè)，10個(gè)一堆不容易按群認(rèn)出來(lái)?？墒鞘畟€(gè)十個(gè)數(shù)顯然更方便，怎樣解決這個(gè)問(wèn)題呢？這時(shí)教師拿出了一根橡皮筋，這是學(xué)生之前學(xué)習(xí)“1-10的認(rèn)識(shí)”時(shí)見過(guò)的，啟發(fā)學(xué)生想到約定10根小棒捆成一捆，能夠看到用橡皮筋捆成一捆就想到10。到這里十進(jìn)制的概念才真正轉(zhuǎn)化為學(xué)生自己的經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造。

在課堂教學(xué)中，教師一定要關(guān)注各個(gè)層次的學(xué)生作品來(lái)呈現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)化的路徑，讓學(xué)生看到逐步數(shù)學(xué)化的過(guò)程，不能省略其中的關(guān)鍵步驟。利用教師呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)化的過(guò)程，學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)過(guò)程中了解知識(shí)形成與發(fā)展的過(guò)程，更好地將數(shù)學(xué)知識(shí)與自己的原有經(jīng)驗(yàn)結(jié)合起來(lái)，從逐步數(shù)學(xué)化的程序中反思自己的思考步驟，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)化的方法，建構(gòu)自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

（二）利用學(xué)生經(jīng)驗(yàn)，從情境推動(dòng)學(xué)生思維的發(fā)展

教學(xué)的起點(diǎn)是學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，教師將數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生熟悉的經(jīng)驗(yàn)結(jié)合在一起能夠更好地幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，下面通過(guò)“集合”一課的教學(xué)案例來(lái)說(shuō)明。

集合的學(xué)習(xí)對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定難度，集合這個(gè)概念比較抽象，當(dāng)兩個(gè)集合有交集的時(shí)候，原先直接把兩部分加起來(lái)求總數(shù)的經(jīng)驗(yàn)已不再適用。教師在教學(xué)中需要巧妙地利用學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)來(lái)幫助學(xué)生理解集合的概念。首先，教師給出了一幅圖，圖中有蘋果、菠菜、梨、土豆，讓學(xué)生把相同類別的物品圈在一起，來(lái)感受相同類別的物品可以組成一個(gè)集合。接著教師提出了這樣的情境性問(wèn)題：“咱們班的同學(xué)前段時(shí)間參加了語(yǔ)文和數(shù)學(xué)的競(jìng)賽，4位同學(xué)獲得了語(yǔ)文優(yōu)勝獎(jiǎng)，5位同學(xué)獲得了數(shù)學(xué)優(yōu)勝獎(jiǎng)，但獲獎(jiǎng)人數(shù)卻只有8位，大家知道是怎么回事嗎？”面對(duì)這個(gè)真實(shí)的情境問(wèn)題，學(xué)生對(duì)結(jié)果十分好奇，“明明語(yǔ)文和數(shù)學(xué)一共有9張獎(jiǎng)狀，為什么只有8個(gè)人呢？”“4+5=8這個(gè)算式不成立啊，怎么回事？”這時(shí)有位同學(xué)說(shuō)道：“XXX同學(xué)平時(shí)語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都很好，會(huì)不會(huì)他既得了語(yǔ)文優(yōu)勝獎(jiǎng)，又得了數(shù)學(xué)優(yōu)勝獎(jiǎng)呢？”這位學(xué)生的提示幫助大家解開了迷思。于是教師選了幾位學(xué)生在臺(tái)上演示，讓大家來(lái)觀察。臺(tái)上演示的學(xué)生讓獲得語(yǔ)文優(yōu)勝獎(jiǎng)的學(xué)生站在左邊，獲得數(shù)學(xué)優(yōu)勝獎(jiǎng)的站在右邊，而把學(xué)生XXX放在了中間，他們認(rèn)為這一位學(xué)生和兩邊的獲得語(yǔ)文或者數(shù)學(xué)優(yōu)勝獎(jiǎng)的學(xué)生不一樣。教師質(zhì)疑道：“那XXX同學(xué)既不屬于左邊這個(gè)集合也不屬于右邊這個(gè)集合，那和臺(tái)下沒有獲獎(jiǎng)的同學(xué)有什么區(qū)別？”學(xué)生開始思考怎樣表示出XXX同學(xué)既屬于左邊又屬于右邊。教師鼓勵(lì)學(xué)生用集合圈把自己的思考表示出來(lái)。這個(gè)外顯化的操作，讓學(xué)生紛紛有了想法，學(xué)生紛紛畫出了自己的集合圈。

畫圖后，學(xué)生理解到兩個(gè)集合圈包含了三個(gè)部分，即只獲得語(yǔ)文優(yōu)勝獎(jiǎng)的學(xué)生、只獲得數(shù)學(xué)優(yōu)勝獎(jiǎng)的學(xué)生和兩個(gè)獎(jiǎng)都獲得的學(xué)生。那么算式就應(yīng)該是3+1+4=8，也有學(xué)生寫出了4+5-1=8的算式，將重復(fù)計(jì)算的人數(shù)減去得到最后的答案。接著教師繼續(xù)啟發(fā)道：“圖中是有8位同學(xué)獲獎(jiǎng)，那么獎(jiǎng)狀數(shù)目不變，獲獎(jiǎng)人數(shù)還有沒有其他可能？”借助現(xiàn)實(shí)的經(jīng)驗(yàn)以及直觀的操作，學(xué)生把可能的情況考慮得非常全面，還創(chuàng)造性地畫出了一個(gè)集合包含另一個(gè)集合的情況，如圖2所示?？梢?，只有充分利用學(xué)生經(jīng)驗(yàn)建立起的情境，才有可能幫助他們完成自己的再創(chuàng)造。

在教學(xué)中，教師選用適當(dāng)?shù)那榫?、概念?lái)導(dǎo)入新的學(xué)習(xí)內(nèi)容是十分必要的。而且同一個(gè)內(nèi)容可能有很多原型可以聯(lián)系起來(lái)，教師應(yīng)對(duì)比不同的情境選用一種或幾種適合學(xué)生的教學(xué)現(xiàn)象來(lái)幫助學(xué)生建立新的認(rèn)識(shí)。這不但要求教師涉獵廣泛，了解數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程，也要求教師能夠聯(lián)系不同的事物為學(xué)生提供豐富的情境幫助學(xué)生數(shù)學(xué)化。

（三）借助具體模型，幫助學(xué)生搭建通往正式數(shù)學(xué)的橋梁

在教學(xué)中，教師會(huì)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：同一個(gè)類型的問(wèn)題，學(xué)生只會(huì)做教過(guò)的那一種，面對(duì)變式學(xué)生就像遇見新問(wèn)題一樣不知所措或錯(cuò)誤百出，不能進(jìn)行知識(shí)遷移。這是因?yàn)閷W(xué)生只掌握了一兩個(gè)具體的模型，并沒有將模型一般化讓其適應(yīng)其他類似的情況。下面以“植樹問(wèn)題”一課為例來(lái)闡述教師怎樣搭建模型讓學(xué)生掌握一般化的知識(shí)模型。

教師用植樹節(jié)的情境引入這堂課，并提出問(wèn)題：如果園林工人要在全長(zhǎng)1000米的小路一邊植樹，每隔10米栽一棵（兩端要栽），一共要栽多少棵樹？學(xué)生給出了很多答案：

作品一 1000÷10=100（棵）

100+1=101（棵）

作品二 1000÷10=100（棵）

100+2=102（棵）

作品三 1000÷10=100（棵）

100×2=200（棵）

此時(shí)學(xué)生只是利用已有經(jīng)驗(yàn)列式，對(duì)結(jié)果的含義并沒有深入地思考，出現(xiàn)了多樣性的答案。這時(shí)，教師并沒有急于給出評(píng)判，而是繼續(xù)給學(xué)生充分的時(shí)間，讓學(xué)生利用學(xué)具擺一擺或在紙上畫一畫，把自己的想法用實(shí)物或者圖畫呈現(xiàn)出來(lái)。這時(shí)學(xué)具與畫圖就是教師提供給學(xué)生的具體模型，學(xué)生可以借助具體模型來(lái)描述數(shù)量之間的關(guān)系。有的學(xué)生用一根小棒代表一段路，一個(gè)磁扣代表一棵樹;有的學(xué)生用了更抽象的線段圖模型，用點(diǎn)代表樹，用線段代表一段路。借助實(shí)物或線段圖，學(xué)生探索并發(fā)現(xiàn)兩端種樹時(shí)點(diǎn)與段之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，只要抓住這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，問(wèn)題就迎刃而解了。緊接著教師又引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一般化模型進(jìn)行推廣：如果我們把每棵樹的位置看成“點(diǎn)”，樹與樹之間的距離看成“段”，生活中像棵數(shù)和段數(shù)這樣有點(diǎn)、段關(guān)系的事物還有很多，你能舉出相關(guān)的例子嗎？由于點(diǎn)段之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系已經(jīng)根植于學(xué)生頭腦當(dāng)中，所以學(xué)生可以用點(diǎn)或段去代表不同的東西。于是學(xué)生紛紛舉例，如安裝路燈、鋸木頭、上樓梯、在操場(chǎng)上插彩旗。這些問(wèn)題雖然看似不再和植樹相關(guān)，但是背后蘊(yùn)含的原理卻是一致的，學(xué)生不僅學(xué)會(huì)了解決植樹問(wèn)題，更是學(xué)會(huì)了解決這一類問(wèn)題的模型。

我們可以看到教師的幾次引導(dǎo)讓學(xué)生經(jīng)歷了從具體情境到數(shù)學(xué)問(wèn)題的橫向數(shù)學(xué)化后，又有一個(gè)縱向數(shù)學(xué)化的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程將具體的數(shù)學(xué)模型抽象為更一般的數(shù)學(xué)模型，讓它的應(yīng)用更廣泛。所以在教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問(wèn)題中的數(shù)學(xué)關(guān)系，幫助他們擺脫對(duì)情境中具體圖像的依賴，建立數(shù)學(xué)模型，讓數(shù)學(xué)作為一種模式的作用逐漸體現(xiàn)出來(lái)。

（吳加奇? 張春莉，北京師范大學(xué)教育學(xué)部，北京 100875）

參考文獻(xiàn)：

[1] Gravemeijer K， Stephan M， Julie C， et al. What Mathematics Education May Prepare Students for the Society of the Future？[J]. International Journal of Science & Mathematics Education， 2017（1）：105-123.

[2][10] 張楠.發(fā)展中的荷蘭真實(shí)數(shù)學(xué)教育RME[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2006（2）：23-24.

[3][11] Wolfram C.Teaching. Kids Real Math with Computers[EB/OL]. http：//www.ted.com/talks/conrad wolfram teaching kids real math with computers， 2010-07.

[4] David C Webb，Henk van der Koojj，Monica R Geist. Design Research in the Netherlands： Introducing Logarithms Using Realistic Mathematics Education [J]. Journal of Mathematics Education at Teachers College， 2011（1）：47-53.

[5][9] [荷]弗賴登塔爾. 作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M]. 陳昌平，唐瑞芳，等，編譯.上海：上海教育出版社，1995：146，111.

[6] Van den Heuvel-Panhuizen M. Mathematics Education in the Netherlands： A Guided Tour[J]. Freudenthal Institute CD-rom for ICME9， 2000（8）： 1-32.

[7] [荷]弗賴登塔爾.數(shù)學(xué)教育再探：在中國(guó)的講學(xué)[M].劉意竹，等，譯.上海：上海教育出版社，1999：110.

[8] Gravemeijer K. Local Instruction Theories as Means of Support for Teachers in Reform Mathematics Education[J]. Mathematical Thinking & Learning， 2004（2）：105-128.

[12] Gravemeijer K P， Lehrer R， Oers H J V. Symbolizing， Modeling and Tool Use in Mathematics Education[J]. Mathematics Education Library， 2010（1）：66.

[13] Freudenthal H. Why to Teach Mathematics so as to Be Useful[J]. Educational Studies in Mathematics， 1968（1-2）：3-8.

（責(zé)任編輯：夏豪杰）