湯華英

新課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出，高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析，高中的新授課在高二基本上完成，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平已經(jīng)有了階段性的達(dá)成，高三的復(fù)習(xí)課是核心素養(yǎng)連續(xù)性﹑整合性發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期。因此，在高三的復(fù)習(xí)課中創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題，尋找解決問(wèn)題的通性通法，使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在情境和問(wèn)題的互動(dòng)中得到快速提升，顯得尤為重要和迫切。

一、創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題

本學(xué)期初，筆者參加市教育局組織的一次高三一輪備考研討課活動(dòng)，主講老師的課堂內(nèi)容是《二次函數(shù)》，在講解二次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，給學(xué)生設(shè)置了這些問(wèn)題：

例1：已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+3，若y=f（x）在區(qū)間[-4，6]上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_________。

變式1：已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+3，若 y=f（x）在區(qū)間[-4，6]上是單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_________。

變式2：已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+3，若y=f（x） 在區(qū)間[-4，6]上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為_(kāi)_________。

變式3：已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+3，若 y=f（x）在區(qū)間[-4，6]上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_________。

在師生共同完成上面例題加三個(gè)變式之后，老師總結(jié)為：討論二次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，只需抓住對(duì)稱(chēng)軸與所給定義域的關(guān)系。然后，又設(shè)置了一個(gè)例題。

例2：求函數(shù)f（x）=x2-2x+2在區(qū)間[t，t+1]上的最小值。

遺憾的是，學(xué)生冥思苦想，不知如何下筆，問(wèn)題出在哪呢？?jī)蓚€(gè)例題和三個(gè)變式所創(chuàng)設(shè)的數(shù)學(xué)情境充分體現(xiàn)了二次函數(shù)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題也是自然的，從簡(jiǎn)單到較復(fù)雜，從課堂效果來(lái)看，學(xué)生對(duì)函數(shù)含參單調(diào)性問(wèn)題有畏難心理。首先，要幫助學(xué)生樹(shù)立信心；其次，高三的備考容量大﹑內(nèi)容多﹑時(shí)間緊，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)尋找解決這類(lèi)問(wèn)題的通性通法。因此，高三復(fù)習(xí)課的教學(xué)除了教純粹的數(shù)學(xué)知識(shí)，還要教研究此類(lèi)問(wèn)題的方法和策略，前者是基礎(chǔ)，后者有助于提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。

二、關(guān)注主題教學(xué)，重視通性通法

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)主線內(nèi)容，學(xué)生在初中就有學(xué)習(xí)，而且有直觀感受，如利用二次函數(shù)的圖象求最值。在高中繼續(xù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)，其一是為學(xué)習(xí)其它類(lèi)型函數(shù)做鋪墊，較好地銜接初、高中函數(shù)的內(nèi)容，其二是它具有單調(diào)性，對(duì)稱(chēng)性，最值等性質(zhì)，研究這些性質(zhì)的方法，可以類(lèi)比去研究其它函數(shù)。所以，在研究二次函數(shù)時(shí)，要選擇能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的﹑適用范圍更廣的方法。

譬如前面兩個(gè)例題，表面上感覺(jué)不同，第一個(gè)例題函數(shù)f（x）是含參的，區(qū)間是確定的；第二個(gè)例題函數(shù)f（x）是確定的，區(qū)間是含參的，但它們的共同點(diǎn)都與函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性有關(guān)，解決這類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題可按以下步驟進(jìn)行。

第一步：求出所給函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（不管函數(shù)是否含參）；第二步：對(duì)所給區(qū)間是增區(qū)間，減區(qū)間，有增有減進(jìn)行分類(lèi)討論；第三步：所給區(qū)間怎樣才會(huì)是增區(qū)間，減區(qū)間，有增有減，只需考慮所給區(qū)間與第一步中求出的函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間之間的包含關(guān)系，把單調(diào)性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合之間的包含關(guān)系，得到解決這類(lèi)問(wèn)題的程序思想方法，具體解題步驟如下。

例如，第一個(gè)例題，先求f（x）=x2+2ax+3的單調(diào)區(qū)間，f（x）開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸x=-a，∴f（x）在（-∞，-a]上單調(diào)遞減，在[-a，-∞）上單調(diào)遞增，∵[-4，6]上是單調(diào)遞增區(qū)間，∴[-4，6]要成為[-a，+∞）的子區(qū)間，∴-4≥-a，即a≥4。

這種程序思想方法同樣適用上面三個(gè)變式和第二個(gè)例題，例如求解例2，第一步：先求f（x）=x2-2x+2的單調(diào)區(qū)間，f（x）開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸x=1，∴f（x）在（-∞，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增，第二步，對(duì)所給區(qū)間[t，t+1]分類(lèi)討論，當(dāng)[t，t+1]為增區(qū)間時(shí)，第三步，只需[t，t+1]為[1，+∞）的子區(qū)間，即t≥1時(shí)，f（x）min=f（t），當(dāng)[t，t+1]為減區(qū)間時(shí)，即t+1≤1時(shí)，f（x）min=f（t+1），當(dāng)[t，t+1]先減后增時(shí)，即t≤1≤t+1時(shí)，f（x）min=f（1）。顯然，這種方法具有一般性，特別是，類(lèi)比上面求解二次函數(shù)含參單調(diào)性解題過(guò)程，還可解決其它函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題。

例：（ 年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷理科·21）已知函數(shù) ，g（x）=-1nx。

當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線y=f（x）的切線；

用min{m，n}表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)h（x）=min{f（x），g（x）}（x>0），討論h（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

分析：第（1）問(wèn)略，第（2）問(wèn)：①當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）=-1nx<0，

∴h（x）=min{f（x），g（x）}≤g（x）<0，∴h（x）在（1，+∞）上無(wú)零點(diǎn)。

②當(dāng)x=1時(shí)，g（1）=0，而 ，若 ，則 ，

∴h（x）=min{f（1），g（1）}=g（1）=0，∴x=1是h（x）的一個(gè)零點(diǎn)。若 ，

則f（1）<0，∴此時(shí)h（x）=min{f（1）， g（1）}=f（1）<0，∴此時(shí)x=1不是h（x）的零點(diǎn)。當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，∵g（x）=-1nx>0，∴只需考慮f（x）在（0，1）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。本題函數(shù)f（x）的解析式是含參的，區(qū)間（0，1）是確定，與這次研討課的題型一樣，也是先求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，再對(duì)給定的區(qū)間是增區(qū)間，減區(qū)間，或有增有減來(lái)分類(lèi)討論，再轉(zhuǎn)化為區(qū)間的包含關(guān)系，也是用上面的程序思想方法。

解：③當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）=-1nx>0，所以只需考慮f（x）在（0，1）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，∵ f'（x）=3x2+a，當(dāng)a≥0時(shí)， 在f'（x）>0上恒成立，∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，又∵ ，∴此時(shí)f（x）在（0，1）上沒(méi)有零點(diǎn)。當(dāng)a<0時(shí)，令f'（x）=3x2+a=0，得 ，由f'（x）>0，得 或 ，由f'（x）<0，得 ，考慮到給定區(qū)間是（0，1），∴f（x）只需考慮 這個(gè)減區(qū)間和 這個(gè)增區(qū)間，第一步完成。

第二步，對(duì)（0，1）區(qū)間分類(lèi)討論：當(dāng)（0，1）為減區(qū)間時(shí)。