王玉斐

(中國船舶重工集團(tuán)公司第七二三研究所，江蘇 揚(yáng)州 225101)

0 引 言

電池作為許多機(jī)器系統(tǒng)的核心組件，對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的正常工作有著決定性的影響。電池的充放電控制、退化狀態(tài)監(jiān)測(cè)、剩余壽命(RUL)預(yù)測(cè)等問題已經(jīng)成為可靠性工程的研究熱點(diǎn)。研究人員在電流、電壓、時(shí)間和阻抗等在線監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中提取退化特征，然后通過人工智能和統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法追蹤鋰電池退化過程并預(yù)測(cè)鋰電池的RUL[1-4]。Saha et al.[4]為了克服對(duì)電化學(xué)譜(EIS)測(cè)試儀的高度依賴性，提出了一種能反映庫倫效應(yīng)和容量再生現(xiàn)象的鋰電池經(jīng)驗(yàn)退化模型，然后利用粒子濾波(PF)估計(jì)模型參數(shù)并給出RUL預(yù)測(cè)結(jié)果的不確定性表達(dá)。羅悅[5]引入正則化用于改善因粒子的多樣性匱乏而導(dǎo)致的不確定表達(dá)差的問題。范彬[6]針對(duì)PF算法初始參數(shù)設(shè)置困難的問題，將歷史樣本的退化統(tǒng)計(jì)規(guī)律作為目標(biāo)數(shù)據(jù)的退化速率以簡化預(yù)測(cè)算法。然而，基于PF建立的模型參數(shù)無法隨時(shí)間更新，這在一定程度上影響了預(yù)測(cè)精度。自回歸綜合滑動(dòng)平均模型(ARIMA)建模簡單且計(jì)算復(fù)雜度低，經(jīng)常用于時(shí)間序列分析，而鋰電池容量退化趨勢(shì)可以看成非平穩(wěn)時(shí)間序列。朱立穎[7]提出一種改進(jìn)型ARI模型，使ARI模型更好地體現(xiàn)鋰電池退化過程中的“加速”特征，然而卻沒有體現(xiàn)鋰電池退化的一般過程。

本文提出一種融合型的鋰電池壽命預(yù)測(cè)框架，以充分結(jié)合SRCKF算法和ARI模型的優(yōu)勢(shì)。

1 基礎(chǔ)理論

1.1 ARI模型

對(duì)于平穩(wěn)、正態(tài)和零均值的時(shí)間序列{xt},t=1,2,…,N,可以用差分方程來擬合:

xt-φ1xt-1-…-φpxt-p=at-θ1at-1-…-at-q

(1)

式中：φi(i=1,2,…,p)為自回歸系數(shù)；θj(j=1,2,…,q)為滑動(dòng)平均系數(shù)；序列{at}為殘差序列。

若上式能正確描述時(shí)間序列的變化規(guī)律，殘差{at}應(yīng)為白噪聲。在上式中，等式左邊p階多項(xiàng)式稱為p階自回歸(AR)模型；等式右邊q階多項(xiàng)式稱為q階滑動(dòng)平均(MA)模型，上式記為ARMA(p,q)模型[8]。

在工程領(lǐng)域，AR模型相比于MA和ARMA模型，參數(shù)容易估計(jì)且計(jì)算復(fù)雜度低，因此本文使用AR(p)模型:

(2)

AR(p)模型用于時(shí)間序列分析的2個(gè)關(guān)鍵步驟是定階和參數(shù)估計(jì)[8]。完成模型的定階和參數(shù)估計(jì)，就可以利用建立的AR(p)模型對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行多步迭代預(yù)測(cè)。根據(jù)文獻(xiàn)[8]得知,AR(p)的最佳預(yù)測(cè)公式為：

(3)

由式(3)可知，利用AR(p)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，只需利用時(shí)間序列{xt}中xt,xt-1,…,xt+1-p這p個(gè)數(shù)據(jù)。

ARIMA是ARMA模型的擴(kuò)展，其目的是將ARMA應(yīng)用于非平穩(wěn)時(shí)間序列。其定義式如下：

φ(B)(1-B)dxt=θ(B)at

(4)

式中：B為延遲算子，Bwt≡wt-1;d為差分運(yùn)算階數(shù)。

我們記只有自回歸部分的ARIMA為ARI模型。

1.2 SRCKF算法

SRCKF與PF、EKF算法一樣，都是建立在系統(tǒng)狀態(tài)空間之上的[9]，可用下式描述：

(5)

式中：xk為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，zk為觀測(cè)變量；f(·)和h(·)分別為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和觀測(cè)方程；wk和vk分別為系統(tǒng)噪聲和觀測(cè)噪聲，且均是服從均值為0的高斯分布，記為wk～N(0,Qk)，vk～N(0,Rk)。

SRCKF算法首先計(jì)算容積點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的權(quán)值，三階容積準(zhǔn)則下的基本容積點(diǎn)ξ和對(duì)應(yīng)權(quán)重ω為:

(6)

式中：參數(shù)m表示容積點(diǎn)總數(shù)，且m=2nx，其中nx為系統(tǒng)狀態(tài)的維數(shù)；[1]j表示對(duì)nx維單位向量e=[1,0,…,0]T元素全排列取反所生成的點(diǎn)集。

以nx=2為例，[1]為下列表達(dá):

(7)

步驟1：狀態(tài)估計(jì)

(1) 計(jì)算系統(tǒng)狀態(tài)的容積點(diǎn):

(8)

(2) 計(jì)算容積點(diǎn)的狀態(tài)估計(jì):

(9)

(3) 根據(jù)狀態(tài)方程預(yù)測(cè)：

(10)

(11)

步驟2：量測(cè)更新

(1) 計(jì)算量測(cè)容積點(diǎn):

(12)

(2) 根據(jù)觀測(cè)方程計(jì)算容積點(diǎn)的觀測(cè)估計(jì)值：

Zj,k=h(Xj,k)

(13)

(3) 計(jì)算觀測(cè)值的一步預(yù)測(cè)、預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差的平方根和協(xié)方差:

(14)

(15)

(4) 計(jì)算增益矩陣：

(16)

(5) 更新k時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)和協(xié)方差的平方根：

(17)

2 融合型鋰電池RUL預(yù)測(cè)框架

2.1 非線性改進(jìn)ARI模型

本文在標(biāo)準(zhǔn)的ARI模型中加入表征鋰電池不同時(shí)期不同退化速率的健康因子(HI)，從而提升ARI模型對(duì)鋰電池非線性退化過程的適應(yīng)性。稱帶有健康因子的ARI模型為改進(jìn)型ARI模型。改進(jìn)型ARI模型的定義式如下：

φ(B)(1-B)d(fHI·xt)=θ(B)at

(18)

由上式可知，在時(shí)間序列{xt}之前乘以健康因子fHI。其中，要求HI能表征不同循環(huán)周期下鋰電池的退化速率，從而使預(yù)測(cè)模型能匹配鋰電池真實(shí)的非線性過程，設(shè)定HI的形式如下：

(19)

式中：參數(shù)a、b和c為常數(shù)；k為預(yù)測(cè)過程中容量對(duì)應(yīng)的充放電循環(huán)周期。

顯然，HI是關(guān)于充放電周期k的非線性函數(shù)。對(duì)于鋰電池的歷史樣本數(shù)據(jù)，將ARI模型的原預(yù)測(cè)結(jié)果與真實(shí)的容量值之間建立映射函數(shù)，通過最小二乘法確定參數(shù)a、b和c.通過實(shí)驗(yàn)，本文設(shè)定：a=2.8941×10-5,b=-0.004 7,c=1.175 1?；诟倪M(jìn)型ARI模型的鋰電池RUL預(yù)測(cè)機(jī)制如圖1所示。

圖1 基于改進(jìn)型ARI模型的鋰電池RUL預(yù)測(cè)機(jī)制

2.2 基于SRCKF算法的鋰電池RUL預(yù)測(cè)

采用文獻(xiàn)[5]所提的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ兔枋鲣囯姵氐耐嘶^程：

Ck+1=ηC,kCk+β1,kexp(-β2k/Δtk)

(20)

式中：Ck為第k次循環(huán)周期的充電容量；參數(shù)ηC,k表示充放電過程的庫倫效率；β1,k和β2,k描述電池在靜置時(shí)間Δtk內(nèi)容量再生的能力,為了簡便計(jì)算，這里令Δtk=1。

基于SRCKF的鋰電池RUL預(yù)測(cè)過程包括兩大步驟：

(1) 利用SRCKF算法對(duì)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ徒２⒐烙?jì)模型參數(shù)；

(2) 在上一步建立的模型的基礎(chǔ)上對(duì)容量進(jìn)行多步迭代預(yù)測(cè)。

SRCKF算法首先對(duì)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?20)建模，狀態(tài)方程和觀測(cè)方程分別為式(21)和式(22):

(21)

Ck+1=akCk+bkexp(-ck)+vk

(22)

2.3 基于改進(jìn)ARI模型和SRCKF算法的融合型框架

由于SRCKF算法是基于系統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)退化模型建模，然而經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ褪菍?duì)鋰電池退化過程的總體描述，并不完全適應(yīng)于特定個(gè)體不同時(shí)期的退化過程。針對(duì)SRCKF算法過度依賴經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷娜秉c(diǎn)，考慮引入鋰電池的個(gè)體數(shù)據(jù)特征。改進(jìn)型ARI模型可以對(duì)鋰電池進(jìn)行長期趨勢(shì)預(yù)測(cè)，未來時(shí)刻的容量預(yù)測(cè)值包含了鋰電池個(gè)體的退化信息。因此，我們考慮將改進(jìn)型ARI模型與SRCKF算法結(jié)合起來，構(gòu)建一種融合型鋰電池RUL預(yù)測(cè)算法。

將基于改進(jìn)型ARI模型的電池容量預(yù)測(cè)值疊加觀測(cè)噪聲作為SRCKF算法預(yù)測(cè)過程中的真實(shí)觀測(cè)序列。因此，本文所提的融合型算法不僅體現(xiàn)了鋰電池全壽命退化過程，還包含了鋰電池的個(gè)體差異性。融合型算法預(yù)測(cè)框架見圖2。

圖2 基于SRCKF和改進(jìn)ARI模型融合型算法的鋰電池RUL預(yù)測(cè)框架

3 試驗(yàn)結(jié)果及分析

將改進(jìn)的ARI模型和SRCKF算法的融合框架測(cè)試于馬里蘭大學(xué)的電池?cái)?shù)據(jù)庫。以CS2_35，CS2_37和CS2_38 3組數(shù)據(jù)為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，分別對(duì)鋰電池進(jìn)行前期、中期和后期預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)效果圖如圖3所示。

圖3 基于改進(jìn)ARI+SRCKF鋰電池RUL預(yù)測(cè)(CS2_35)

圖4 基于改進(jìn)AR+SRCKF鋰電池RUL預(yù)測(cè)(CS2_37)

圖5 基于改進(jìn)ARI+SRCKF鋰電池RUL預(yù)測(cè)(CS2_38)

為了評(píng)估RUL預(yù)測(cè)算法的性能，常用容量預(yù)測(cè)平均絕對(duì)誤差(MAE)、容量預(yù)測(cè)均方根誤差(RMSE)和壽命預(yù)測(cè)絕對(duì)誤差作為衡量準(zhǔn)則[5]。

以CS2_35號(hào)電池為例，比較以上3種算法在不同起始時(shí)刻的RUL預(yù)測(cè)效果。表1為以上3種算法對(duì)CS2_35號(hào)鋰電池在不同時(shí)期預(yù)測(cè)性能的比較。

由表1可知,3種算法的中、后期預(yù)測(cè)效果均明顯好于前期，這是因?yàn)殡S著預(yù)測(cè)起始時(shí)刻的后移，歷史數(shù)據(jù)包含的退化信息增多。并且，融合型算法預(yù)測(cè)效果好于單一的ARI和SRCKF模型。

表1 3種算法對(duì)CS2_35號(hào)鋰電池在不同時(shí)期預(yù)測(cè)性能比較

4 結(jié)束語

本文旨在對(duì)鋰電池的退化狀態(tài)進(jìn)行監(jiān)測(cè)并預(yù)測(cè)剩余使用壽命，主要工作如下：

(1) 針對(duì)ARI模型容量預(yù)測(cè)誤差隨充放電循環(huán)次數(shù)逐漸增大的問題,將表征鋰電池不同生命周期下的退化速率的健康因子加入到ARI中，使改進(jìn)的ARI模型更符合鋰電池真實(shí)退化趨勢(shì)。

(2) 由于SRCKF算法是對(duì)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ徒?，但?jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ筒⒉灰欢ㄅc特定單體電池的特定時(shí)期的退化過程相符，因此，改善濾波算法對(duì)預(yù)測(cè)精度的提高是有限的。針對(duì)基于SRCKF鋰電池的RUL預(yù)測(cè)算法過度依賴經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膯栴}，提出了一種基于SRCKF和改進(jìn)ARI的融合型預(yù)測(cè)算法。通過將ARI模型的長期容量預(yù)測(cè)作為SRCKF算法預(yù)測(cè)階段的真實(shí)容量觀測(cè)值，使SRCKF算法融入不同電池樣本的差異特性。