摘要：針對駐波振幅極值法測量聲速實驗的測量誤差問題，計算了測量結(jié)果的不確定度和相對誤差，分析了構(gòu)成結(jié)果不確定度的主要因素和引起實驗誤差的可能來源，進一步指出了減小實驗誤差的方法，提高測量精度。

關(guān)鍵詞：聲速;駐波振幅極值法;誤差;不確定度

聲波是一種可在固、液、氣態(tài)彈性媒介中傳播的機械波。頻率在20 kHz以上的短波長聲波稱為超聲波，其具有定向好、功率大、穿透力強以及信息攜帶量大等突出優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于農(nóng)業(yè)、工業(yè)、國防以及科學研究等領(lǐng)域，如超聲波測距和定位、超聲無損檢測、流體測速、測量氣體溫度變化，以及測量材料的彈性模量等。關(guān)于聲速的測量在聲學應(yīng)用技術(shù)領(lǐng)域尤為重要。其中，測量超聲波在空氣中的傳播速度具有強的實際應(yīng)用性和易于實現(xiàn)的特點，是經(jīng)典的近代物理實驗，成為許多高等院校大學物理實驗教學中的基礎(chǔ)實驗項目[1， 2]。教學實驗室主要采用駐波振幅極值法和相位比較法測量聲速。兩者相比較之，在駐波振幅極值法測量過程中，更易產(chǎn)生較大的觀察偏差[3，4]，因此，本文主要對駐波振幅極值法測量聲速實驗進行誤差分析，并指出減小實驗誤差的方法。

1實驗原理

1.1聲波在空氣中的傳播速度

聲波在理想氣體中的傳播可視為絕熱過程，聲速V與氣體的關(guān)系式為[5]：

式中，為氣體的比熱容比，定義為氣體定壓比熱容與定容比熱容的比值，即;R為摩爾氣體常量，R = 8.314 J/（mol?K）;是氣體的摩爾質(zhì)量;T是氣體的熱力學溫度，相對于攝氏溫度t，T = T0 + t，其中T0= 273.15 K。相應(yīng)地，0℃時，聲速V0 = 331.45 m/s。忽略大氣壓和水蒸氣的影響，將空氣近似看作理想氣體，室溫 t 攝氏度下的聲速為[2， 5]：（2）

1.2 聲波傳播特點

在波動過程中，波的傳播速度V與自身的頻率f和波長λ的關(guān)系為：

因此，實驗測出頻率f和波長λ即可計算得到聲速V。對于振動方向、頻率相同，初相位差恒定，且傳播方向相反的兩列平面簡諧波相遇而發(fā)生疊加，形成合成聲波，其聲壓隨空間位置不同呈極大值和極小值分布，這樣的現(xiàn)象稱為駐波現(xiàn)象[5]。駐波方程表達式為，其中合振幅分布2Acos2πx/λ與位置有關(guān)，相位cos2πvt與時間相關(guān)。由此可知，在滿足的位置點，合振幅最大，稱為波腹，此時， （n = 0， 1，2，3???）;在滿足的位置點，合振幅最小，稱為波節(jié)，此時，。則相鄰兩個波腹或波節(jié)之間的距離。利用機械波傳播的駐波現(xiàn)象，設(shè)計實驗測出合成聲波的聲壓中相鄰兩個波腹的距離即可計算出聲波波長λ。

1.3駐波振幅極值法測量聲速

利用主要由壓電陶瓷片構(gòu)成的超聲聲速測定儀發(fā)射和接收超聲波，實驗裝置如下圖1所示。通過函數(shù)信號發(fā)生器將激勵電信號輸入到超聲聲速測定儀的換能器（壓電陶瓷片）S1上，調(diào)節(jié)信號源的輸出頻率為換能器S1的諧振頻率 f0，S1端面發(fā)生機械振動，產(chǎn)生平面超聲波，在空氣中傳播到換能器S2，經(jīng)S2端面反射形成反射波。入射波與反射波在S1、 S2間相遇疊加，形成駐波，換能器S2將聲壓轉(zhuǎn)化為電壓，經(jīng)由示波器監(jiān)測駐波聲壓振幅隨S1與S2的距離ln的周期性變化。聲波的傳播發(fā)生半波衰減，駐波聲壓的振幅隨波源與接收器距離l的增加而衰減，當ln等于超聲波半波長λ/2的整數(shù)倍時，駐波振幅達到極大值，如下圖2所示。測量第1個和第n+1個聲壓極大值的距離ln，λ = 2ln/n，聲速V = λf = 2fln/n[5]。

2實驗內(nèi)容及誤差分析

2.1 實驗內(nèi)容

（1）預(yù)置函數(shù)信號發(fā)生器頻率為 40 kHz、電壓幅度為 10 V。微調(diào)信號發(fā)生器輸出的正弦波頻率為超聲聲速測定儀的諧振頻率f0，使示波器呈現(xiàn)的正弦信號振幅達到最大，確定該值為實驗超聲波的頻率。

（2）轉(zhuǎn)動讀數(shù)鼓輪，逐漸拉開S2，每移動一次半波長λ/2距離出現(xiàn)一次聲壓極大值，連續(xù)測量12個極大值數(shù)據(jù)l1… l12。采用逐差法進行數(shù)據(jù)處理，求出波長平均值和聲速，計算測量結(jié)果的不確定度和相對誤差。

（3）計算實驗室室溫t下的聲速理論值，求實驗相對誤差。

2.2 實驗結(jié)果分析

采用駐波振幅極值法測量超聲波的傳播速度，換能器S1的諧振頻率f0= 40.47 kHz，Δf= 0.010 kHz，溫度t = 26℃。將常溫空氣近似看作理想氣體，該溫度下的理論聲速為。本實驗的測試數(shù)據(jù)歸納于下表1。

（1）求聲速V的計算過程：V = λ f = 8.678 ⅹ10-3ⅹ40470 = 351.2 （m/s）

（2）V的不確定度計算[2]：

由于聲速V是經(jīng)測量波長λ和頻率f后求得，因此，聲速V的不確定度由λ和f的不確定度合成，計算過程如下所示。

λ的不確定度計算：使用螺旋測微器測量距離l，儀器讀數(shù)鼓輪的最小分度為0.01mm，則儀器的標準誤差Δ = 0.01 mm，λ的B類不確定度分量為：

因此，f的不確定度計算：

V的合成不確定度表達為：

所以聲速的測量結(jié)果為：?（P = 68.3%）

相對誤差為：

2.3誤差分析

根據(jù)聲速V的合成不確定度uv可知，uv由波長λ分量不確定度uλ和頻率 f分量不確定度uf構(gòu)成，并且uλ的貢獻最大，這說明，測量λ時讀數(shù)l的重復(fù)性引起主要的測量結(jié)果不確定度。結(jié)合實驗條件，駐波振幅極值法測量聲速的測量誤差主要源于駐波場的偏離、波長λ的測量誤差、諧振頻率 f的確定誤差以及實驗環(huán)境影響等方面[3， 6]。具體分析如下：

（1）偏離嚴格的駐波場。

超聲波在空氣中的傳播，處于近場區(qū)時并不以簡諧波傳播，聲壓振幅無嚴格的周期性規(guī)律特征;當傳播至10cm以上的遠場區(qū)，超聲波以簡諧波傳播，經(jīng)由反射疊加形成駐波。聲速測量儀的兩個換能器端面間的最大距離約20cm，實際實驗操作在兩換能器間距大于4cm后開始記錄數(shù)據(jù)，因而，由換能器發(fā)射的超聲波并非全程以簡諧波傳播，經(jīng)反射疊加也并非形成標準的駐波場。非標準的駐波場導致了在不同區(qū)間測得振幅的兩個相鄰極大值的間距λ/2不同，使得測量結(jié)果產(chǎn)生較大誤差。另外，接受換能器作為反射端面，也產(chǎn)生散射，激起散射波，影響超聲波入射波與反射波的疊加。

（2）波長λ的測量誤差。

轉(zhuǎn)動螺旋測微器的鼓輪調(diào)節(jié)聲速測量儀兩個換能器間的距離，記錄聲壓振幅出現(xiàn)極大值時換能器S2的位置，但對這樣特殊位置的確定易發(fā)生判斷偏差，引入人為誤差。

（3）諧振頻率 f的確定誤差。

調(diào)節(jié)正弦波輸出頻率等于超聲換能器S1的諧振平率f0，示波器呈現(xiàn)的聲壓電壓達到最大。盡管正弦波頻率不等于諧振頻率f0時，超聲聲速測量儀的聲波發(fā)射器與接收器的間距是半波長整數(shù)倍時，聲壓振幅也達到最大值，這一現(xiàn)象易引起調(diào)節(jié)諧振頻率f0時的判斷錯誤，造成結(jié)果誤差。

（4）實驗環(huán)境帶來的誤差。

在教學實驗中，學生人數(shù)較多且實驗操作時間長，實驗者的走動和呼吸、實驗臺的振動等均影響空氣密度，影響聲波在空氣中的傳播，引起誤差。另外，將實驗室空氣視為理想氣體，計算聲速理論值亦引入誤差。

3 減小誤差的方法

結(jié)合上述誤差來源的分析和實驗條件，根據(jù)駐波振幅極值隨位置呈周期性分布的特性，提出以下可能的改進方法，從而提高實驗測量精度。

（1）增加聲速測量儀兩個壓電換能器間的距離，以滿足超聲波以簡諧波傳播，與反射波形成標準的駐波場，盡可能使任一區(qū)間的兩個相鄰駐波極大值的間距λ/2為一固定常數(shù)，與測量位置無關(guān)。

（2）將聲波反射面改用為面積較大的硬質(zhì)材料，提高反射率和降低散射，減小散射對駐波場的影響。

（3）調(diào)節(jié)正弦波輸出頻率f接近聲速測量儀換能器的諧振頻率f0時，使示波器呈現(xiàn)的聲壓振幅達到極大值，記錄此時輸出頻率f。同時，增加兩個換能器間的距離，若觀察到電壓信號繼續(xù)增加至最大值，說明，此前的正弦波輸出頻率f為發(fā)射換能

器的諧振頻率f0，不是駐波在某距離下的共振干涉頻率[4]。

（4）為減少實驗環(huán)境的空氣密度變化，實驗測量過程中，要求操作者身體不觸碰實驗操作臺，減少不必要的走動，保持安靜。

4結(jié)論

本文針對駐波振幅極值法測量聲速實驗的測量誤差，從聲速V不確定度的組成確定測量l重復(fù)性是引起結(jié)果不確定度的主要來源，進一步從非標準駐波場、測量l的人為判斷誤差、諧振頻率f0的確定以及實驗環(huán)境等方面分析對測量結(jié)果造成影響的可能原因，也指出了減小誤差的方法，提高實驗測量精度。

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資助項目：

2019年佛山科學技術(shù)學院高層次人才科研啟動項目“過渡金屬離子Mn4+摻雜氟化物窄帶紅光材料的合成、結(jié)構(gòu)及其器件應(yīng)用研究”。

作者簡介：

鄧婷婷（1989-），女，廣東茂名人，佛山科學技術(shù)學院講師，博士，從事大學物理實驗教學、光源與照明專業(yè)相關(guān)課程教學和研究。