繆婷章 喻平

摘要：思維品質(zhì)是指?jìng)€(gè)體在思維活動(dòng)中智力特征的表現(xiàn)，主要包括深刻性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性、批判性和敏捷性五個(gè)方面。心理學(xué)對(duì)中學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的發(fā)展展開了比較深入的研究。將這些研究中的實(shí)驗(yàn)干預(yù)因素或結(jié)論應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)，可以得到的教學(xué)策略有：變式教學(xué)，培養(yǎng)思維的靈活性;開放式教學(xué)，培養(yǎng)思維的深刻性;自主提問，培養(yǎng)思維的獨(dú)創(chuàng)性。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維品質(zhì)變式教學(xué)開放式教學(xué)自主提問

新課程改革提出了以培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)。因此，學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的發(fā)展與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展密切相關(guān)。而心理學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)做過不少研究，本文重點(diǎn)對(duì)一些關(guān)于中學(xué)生的研究做簡(jiǎn)單介紹，并將其結(jié)果應(yīng)用到教學(xué)中。

一、心理學(xué)對(duì)思維品質(zhì)的認(rèn)識(shí)

思維品質(zhì)，又稱思維的智力品質(zhì)，是指?jìng)€(gè)體在思維活動(dòng)中智力特征的表現(xiàn)，主要包括深刻性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性、批判性和敏捷性五個(gè)方面，它們相互促進(jìn)、共同發(fā)展，同時(shí)也有各自獨(dú)特的規(guī)律和特征。

思維的深刻性是指思維活動(dòng)的廣度、深度和難度。一個(gè)人的思維是深刻的，是指他在智力活動(dòng)中，能夠深入地思考問題;善于概括歸類，邏輯思維能力強(qiáng);善于透過現(xiàn)象抓住事物的本質(zhì)和規(guī)律，開展系統(tǒng)的理解活動(dòng);善于預(yù)見事物發(fā)展的進(jìn)程。顯然，研究思維的深刻性主要應(yīng)當(dāng)從概括能力和邏輯推理能力兩個(gè)方面進(jìn)行。

思維的靈活性是指思維活動(dòng)的靈活程度，包括思維起點(diǎn)靈活、思維過程靈活、概括—遷移靈活、組合—分析靈活。判斷一個(gè)人思維靈活性的強(qiáng)弱，不僅要考察他是否善于舉一反三、運(yùn)用自如，還要看他能否靈活地綜合分析問題和解決問題。

思維的獨(dú)創(chuàng)性是指?jìng)€(gè)體在思維活動(dòng)中的創(chuàng)新精神或創(chuàng)造性特征。在實(shí)踐中，除了善于發(fā)現(xiàn)問題之外，更重要的是能夠創(chuàng)造性地解決問題。獨(dú)創(chuàng)性的實(shí)質(zhì)在于能夠?qū)χR(shí)經(jīng)驗(yàn)或思維材料進(jìn)行高度概括后實(shí)現(xiàn)集中而系統(tǒng)的遷移，進(jìn)行新的組合分析，建立新的層次結(jié)構(gòu)。

思維的批判性是指?jìng)€(gè)體在思維活動(dòng)中進(jìn)行獨(dú)立分析和批判的程度，它是思維活動(dòng)中嚴(yán)格地估計(jì)思維材料和精細(xì)地檢查思維過程的智力品質(zhì)。它的實(shí)質(zhì)是思維過程中自我意識(shí)作用的結(jié)果，與自我反思、自我監(jiān)控以及元認(rèn)知等要素交融互補(bǔ)、交叉重疊。

思維的敏捷性是指?jìng)€(gè)體思維活動(dòng)的速度，表現(xiàn)為一種迅速而正確的特征，它反映了智力的敏銳程度。研究思維的敏捷性主要應(yīng)當(dāng)從思考問題時(shí)的速度和準(zhǔn)確度兩個(gè)方面進(jìn)行。

顯然，正如道德品質(zhì)可以衡量一個(gè)人道德水準(zhǔn)的高低一樣，思維品質(zhì)反映的是一個(gè)人思維質(zhì)量的高低，它直接影響人的認(rèn)知水平。

二、心理學(xué)對(duì)中學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)發(fā)展的研究

林崇德通過測(cè)量發(fā)現(xiàn)，隨著年級(jí)的增高，小學(xué)生思維的靈活性、深刻性、獨(dú)創(chuàng)性都在逐漸增強(qiáng)，其中，思維的靈活性在各年級(jí)之間沒有顯著差異，三、四年級(jí)是思維深刻性和獨(dú)創(chuàng)性發(fā)展的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn);隨著年級(jí)的增高，中學(xué)生思維的靈活性、深刻性、獨(dú)創(chuàng)性、批判性都在逐漸增強(qiáng)，其中，思維的靈活性發(fā)展到高中一年級(jí)趨于穩(wěn)定，初中三年級(jí)是思維深刻性發(fā)展的關(guān)鍵期，思維的獨(dú)創(chuàng)性在整個(gè)中學(xué)階段發(fā)展得還不夠成熟，高中生思維的批判性比初中生更加成熟。

林崇德還對(duì)中學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)做了針對(duì)性的實(shí)驗(yàn)研究。在思維靈活性培養(yǎng)的實(shí)驗(yàn)中，其干預(yù)手段是進(jìn)行發(fā)散思維的訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、不同方向思考問題，用多種方法解決問題。在思維深刻性培養(yǎng)的實(shí)驗(yàn)中，其干預(yù)手段是加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透，著重訓(xùn)練學(xué)生的抽象概括能力和邏輯推理能力。在思維獨(dú)創(chuàng)性培養(yǎng)的實(shí)驗(yàn)中，其干預(yù)手段是鼓勵(lì)學(xué)生自己編制題目，提倡用獨(dú)特的方法解決問題。在思維批判性培養(yǎng)的實(shí)驗(yàn)中，其干預(yù)手段是進(jìn)行自我監(jiān)控的訓(xùn)練，使學(xué)生養(yǎng)成反思的意識(shí)。

其實(shí)，讓學(xué)生自己編制題目，也會(huì)對(duì)其他思維品質(zhì)的發(fā)展產(chǎn)生促進(jìn)作用。曹瑞珍通過讓實(shí)驗(yàn)班的學(xué)生從模仿編題、變式編題、限制條件編題、以舊帶新編題四個(gè)層次開展編題活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)班的學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解比對(duì)照班的學(xué)生更為透徹?？梢姡约壕幹祁}目促進(jìn)了學(xué)生思維品質(zhì)的發(fā)展。

而且，對(duì)學(xué)生進(jìn)行元認(rèn)知的訓(xùn)練，也會(huì)對(duì)其他思維品質(zhì)的發(fā)展產(chǎn)生促進(jìn)作用。董奇在閱讀教學(xué)的研究中，有目的、有計(jì)劃地豐富學(xué)生的各種閱讀元認(rèn)知知識(shí)，并在學(xué)生閱讀的過程中，注意培養(yǎng)他們的元認(rèn)知監(jiān)控能力。經(jīng)過一學(xué)期的干預(yù)，對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)的測(cè)試結(jié)果顯示：實(shí)驗(yàn)組前測(cè)與后測(cè)分?jǐn)?shù)存在顯著差異，實(shí)驗(yàn)組與控制組后測(cè)分?jǐn)?shù)存在顯著差異，從而可以推斷元認(rèn)知與思維品質(zhì)存在因果關(guān)系。因此，加強(qiáng)元認(rèn)知的訓(xùn)練是提高學(xué)生思維品質(zhì)的突破口。于文華和喻平做了類似的研究：對(duì)高三年級(jí)四個(gè)班的學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)科自我監(jiān)控能力和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的測(cè)量，以數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)?yōu)橐蜃兞浚Y(jié)果發(fā)現(xiàn)，自我監(jiān)控能力、思維品質(zhì)以及學(xué)業(yè)成績(jī)存在高相關(guān)關(guān)系;再用結(jié)構(gòu)方程模型進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)自我監(jiān)控能力通過思維品質(zhì)這一中介變量作用于學(xué)業(yè)成績(jī)。這項(xiàng)研究不僅說明了自我監(jiān)控能力對(duì)思維品質(zhì)和學(xué)業(yè)成績(jī)有影響，而且說明了思維品質(zhì)對(duì)學(xué)業(yè)成績(jī)有影響。因此，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的重要性也顯現(xiàn)了出來(lái)。

當(dāng)然，影響數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的因素還有很多。李明振通過對(duì)初一、初三、高二各兩個(gè)班的學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維靈活性測(cè)驗(yàn)和鑲嵌圖形測(cè)驗(yàn)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，不同認(rèn)知方式學(xué)生的思維靈活性不同，場(chǎng)獨(dú)立水平高的學(xué)生具有高靈活性。他接著研究了氣質(zhì)與數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的關(guān)系：通過對(duì)初二學(xué)生進(jìn)行氣質(zhì)量表和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)策略問卷的測(cè)量，分析發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的氣質(zhì)類型與數(shù)學(xué)思維品質(zhì)也具有一定的相關(guān)性。

情緒對(duì)思維品質(zhì)也會(huì)產(chǎn)生影響。Vosburg對(duì)88名藝術(shù)和心理學(xué)專業(yè)的學(xué)生用形容詞清單測(cè)量情緒，以現(xiàn)實(shí)生活中的發(fā)散思維任務(wù)為因變量，對(duì)思維的獨(dú)創(chuàng)性進(jìn)行評(píng)分，研究發(fā)現(xiàn)，自然、積極的情緒對(duì)任務(wù)績(jī)效有顯著促進(jìn)作用，消極的情緒對(duì)任務(wù)績(jī)效有抑制作用。因此，積極的情緒有助于思維獨(dú)創(chuàng)性的發(fā)展。

此外，秦向榮和喻平對(duì)數(shù)學(xué)思維的靈活性與深刻性做了研究。通過對(duì)照實(shí)驗(yàn)，對(duì)實(shí)驗(yàn)組的學(xué)生采用四種教學(xué)策略——（1）問題鏈教學(xué)：以問題為主線，以“發(fā)現(xiàn)問題—解決問題—再發(fā)現(xiàn)問題”為過程，不斷產(chǎn)生問題鏈。（2）拋錨式教學(xué)：圍繞某一“錨”（某種類型的個(gè)案研究或問題情境），設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)與教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行探索。（3）分層教學(xué)：針對(duì)不同層次的學(xué)生提出相應(yīng)水平的問題，同時(shí)鼓勵(lì)不同層次的學(xué)生向更高層次發(fā)展。（4）建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖式教學(xué)：把概念圖和思維圖引入教學(xué)，幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)班學(xué)生與對(duì)照班學(xué)生在數(shù)學(xué)思維的靈活性、深刻性方面存在顯著差異，實(shí)驗(yàn)班學(xué)生的這兩種思維品質(zhì)得到了較好的發(fā)展。

三、對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

上述心理學(xué)研究，為在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)提供了可以借鑒的參考線索。

（一）變式教學(xué)：培養(yǎng)思維的靈活性

思維的靈活性意味著思維是多向的，不能固守一條思維鏈，要能夠根據(jù)問題的性質(zhì)靈活地從一個(gè)思考方向轉(zhuǎn)向另一個(gè)思考方向。上述心理學(xué)研究表明，訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維能力，是培養(yǎng)思維靈活性的一種有效策略，諸如一題多解、一題多變等，都是具體的手段。事實(shí)上，將這些教學(xué)手段做進(jìn)一步概括，它們指向的就是變式教學(xué)。

顧泠沅認(rèn)為，變式教學(xué)可以分為概念性變式和過程性變式兩種。概念性變式是指用不同形式的直觀材料或事例說明事物的本質(zhì)屬性，或變換同類事物的非本質(zhì)特征以突出本質(zhì)特征，讓學(xué)生理解哪些是事物的本質(zhì)特征，哪些是事物的非本質(zhì)特征，從而對(duì)一類事物形成科學(xué)概念。過程性變式是指在數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中，通過有層次的推進(jìn)，使學(xué)生分步解決問題，積累多種活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。過程性變式主要應(yīng)用于概念的形成、數(shù)學(xué)對(duì)象和背景的轉(zhuǎn)換、數(shù)學(xué)命題的形成、數(shù)學(xué)問題的解決四種過程。顯然，概念性變式主要是幫助學(xué)生理解一個(gè)概念本質(zhì)屬性的教學(xué)方式，是圍繞一個(gè)概念理解的教學(xué)方式;過程性變式主要是將概念形成和問題解決的過程分解為一系列子過程，從而幫助學(xué)生形成概念和解決問題。

我們認(rèn)為，“變式”應(yīng)當(dāng)有更加廣泛的含義，不能局限于單個(gè)概念的理解或單個(gè)問題的解決，還應(yīng)包括從一個(gè)概念通過變式生成多個(gè)概念，由一個(gè)命題通過變式生成多個(gè)命題。變式教學(xué)就是設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，提供概念或命題可能會(huì)如何變式的誘因，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究，發(fā)現(xiàn)新概念或新命題的過程。一般說來(lái)，對(duì)概念或命題的變式，可以通過改變命題的條件、變化圖形的位置、設(shè)置不同的情境等方式來(lái)實(shí)現(xiàn)。

【案例1】“函數(shù)的周期性”變式教學(xué)

啟發(fā)引導(dǎo)1函數(shù)周期性定義中的條件是什么？能否把條件做一些變化？

變式1若函數(shù)f（x）滿足f（x+a）=-f（x）（a≠0），f（x）是周期函數(shù)嗎？

變式2若函數(shù)f（x）滿足f（x+a）=±1f（x）（a≠0），f（x）是周期函數(shù)嗎？

啟發(fā)引導(dǎo)2還能進(jìn)一步改變條件嗎？如果改變了條件，發(fā)現(xiàn)它不再是周期函數(shù)了，你能否采用添加條件的辦法，使它變?yōu)橹芷诤瘮?shù)？

變式3若函數(shù)f（x）滿足f（x+a）=f（x-a）（a≠0），f（x）是周期函數(shù)嗎？

變式4若函數(shù)f（x）滿足f（x+a）=f（a-x）（a≠0），且f（x）為奇函數(shù)，f（x）是周期函數(shù)嗎？

啟發(fā)引導(dǎo)3剛才我們是從改變定義的條件去思考的，現(xiàn)在從圖像來(lái)分析，你能得到什么猜想？

變式5若函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x=a和直線x=b（a≠b）對(duì)稱，f（x）是周期函數(shù)嗎？

變式6若函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a，0）和點(diǎn)（b，0）（a≠b）對(duì)稱，f（x）是周期函數(shù)嗎？

這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)不僅可以在知識(shí)教學(xué)的過程中培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，而且能夠在習(xí)得知識(shí)之后培養(yǎng)學(xué)生解決問題的靈活性。因?yàn)橥ㄟ^這種學(xué)習(xí)方式，學(xué)生頭腦中形成了函數(shù)周期性概念的體系，從而能夠應(yīng)對(duì)涉及函數(shù)周期性的不同問題的解決。

（二）開放式教學(xué)：培養(yǎng)思維的深刻性

開放式教學(xué)是指設(shè)計(jì)一種“情境開放”“問題開放”或“方法開放”的環(huán)境來(lái)組織教學(xué)的方式。情境開放，可以讓學(xué)生從不同的角度觀察，從而提出不同的問題;問題開放主要指結(jié)論的開放，可以讓學(xué)生根據(jù)自己的能力得到難度不同的結(jié)論;方法開放指解決問題的方法不一定唯一，可以讓學(xué)生用多種方法來(lái)解決同一個(gè)問題。

無(wú)論情境開放、問題開放，還是方法開放，均需要學(xué)生在開放中尋找問題、研究問題。因此，要求學(xué)生具備一定的抽象概括能力和邏輯推理能力。上述心理學(xué)研究表明，這兩種能力的訓(xùn)練是培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性的有效途徑。

【案例2】“圓的切線與割線”開放式教學(xué)

情境如圖1，AB、AC是圓的切線，ADE是圓的割線，連接CD、BD、BE、CE。

圖1

問題1由上述條件能推出哪些結(jié)論？

探究1由已知條件可知∠ACD=∠CED，而∠CAD=∠EAC，所以△ADC∽△ACE。（1）

所以CD·AE=AC·CE。（2）

同理可證BD·AE=AB·BE。（3）

因?yàn)锳C=AB，所以由（2）（3）可得BE·CD=BD·CE。（4）

思考還能推出其他結(jié)論嗎？

問題2將圖1中的線段AC以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使AC不再是切線，得到下頁(yè)圖2，此時(shí)又能推出哪些結(jié)論？

圖2

探究2由于點(diǎn)C在圓外，設(shè)CE與圓相交于點(diǎn)G，CD與圓相交于點(diǎn)F，連接FG。與探究1所得到的結(jié)論相比較，可以猜想△ADC∽△ACE。（5）

還可以得到FG∥AC。（6）

問題3將AC繼續(xù)以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使圖2中的割線CFD變成切線CD，得到圖3，此時(shí)又能推出哪些結(jié)論？

圖3

……

這里，通過情境與問題的開放，引導(dǎo)學(xué)生探究提出不同的問題，得到不同的結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。

（三）自主提問：培養(yǎng)思維的獨(dú)創(chuàng)性

自主提問是指學(xué)生在教師設(shè)置的情境中提出新的問題，或在自己設(shè)計(jì)的情境中提出問題。研究表明，小學(xué)階段，讓學(xué)生自己編擬題目是培養(yǎng)學(xué)生思維獨(dú)創(chuàng)性的有效方法;到了中學(xué)階段，除了對(duì)學(xué)生進(jìn)行自編題目的訓(xùn)練之外，更要注意對(duì)學(xué)生進(jìn)行自主提出問題的訓(xùn)練。因?yàn)閮烧呤怯幸欢▍^(qū)別的：自編題目時(shí)往往提供的信息是充足的，學(xué)生只要設(shè)計(jì)一種情境將已知信息填補(bǔ)到問題中;而提出問題時(shí)往往提供的信息是不充分的，學(xué)生需要自己設(shè)計(jì)或補(bǔ)充條件來(lái)提出問題。顯然，自主提問要有一定深度的思維方能實(shí)現(xiàn)，這恰是思維獨(dú)創(chuàng)性的體現(xiàn)。

美國(guó)學(xué)者布朗（S.Brown）與沃爾特（M.Walter）給出了在已知數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)上提出問題的“whatifnot”策略（否定假設(shè)法），即對(duì)概念、命題或問題等進(jìn)行分析，確定其各個(gè)屬性，對(duì)每個(gè)屬性運(yùn)用“如果不是這樣的話，那又可能是什么”的法則來(lái)提出新問題。

【案例3】從“等腰三角形腰上的高問題”出發(fā)的自主提問教學(xué)

問題1如圖4，在等腰△ABC中，AB=AC，P為BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD⊥AB，過點(diǎn)P分別作AB、AC兩腰上的高PE、PF，你能發(fā)現(xiàn)三條高之間的數(shù)量關(guān)系嗎？

圖4

這是一個(gè)結(jié)論未知但唯一的問題。學(xué)生解答完成后，教師可以提問：根據(jù)這個(gè)問題的啟示，你能聯(lián)想到什么問題？你能提出一個(gè)猜想嗎？此時(shí)學(xué)生可能會(huì)提出如下問題：

問題2如果P是線段BC上任意一點(diǎn)，結(jié)論還成立嗎？

問題3如果P在BC的延長(zhǎng)線上，結(jié)論還成立嗎？

問題4如果P是等腰△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，會(huì)有什么結(jié)論？

然后，教師可以進(jìn)一步提問：除了改變P的位置探究結(jié)論，你還能提出其他相關(guān)問題嗎？學(xué)生改變思路后，可能又會(huì)提出如下問題：

問題5如果在直角三角形、等邊三角形中，結(jié)論還成立嗎？

問題6對(duì)于一般的三角形，會(huì)得到什么結(jié)論？

接著，教師可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“在等腰△ABC中”這一屬性進(jìn)行否定假設(shè)，學(xué)生會(huì)推廣到四邊形中。

問題7在四邊形中存在類似的結(jié)論嗎？

探究如圖5，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，P為BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CG⊥AD，過點(diǎn)P分別作AD、BC兩腰上的高PE、PF，探究三條高之間的數(shù)量關(guān)系。

圖5

問題8在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，沒有了腰，怎么研究呢？

探究可以連接對(duì)角線，構(gòu)造出三角形。如圖6，在平行四邊形ABCD中，連接AC、BD，交于點(diǎn)O，過點(diǎn)C作CG⊥BD，過點(diǎn)P分別作BD、AC的垂線PE、PF，探究三條垂線之間的數(shù)量關(guān)系。

圖6

這時(shí)，教師可以繼續(xù)引導(dǎo)：同學(xué)們還能提出什么問題？對(duì)“垂直（高）”這一屬性進(jìn)行否定假設(shè)，可以得到什么結(jié)論？

問題9將垂直改成平行，是否還具有上述的各種結(jié)論？

……

通過一個(gè)問題的提出和示范變形，引導(dǎo)學(xué)生利用“whatifnot”策略再提出更多的新問題。學(xué)生在自主提出問題的過程中，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題的能力，進(jìn)而促進(jìn)數(shù)學(xué)思維獨(dú)創(chuàng)性的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

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