蘇學(xué)英

函數(shù)是高中代數(shù)內(nèi)容的主干和核心內(nèi)容，函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)內(nèi)容在更高層次上的抽象、概括、提煉，就是用函數(shù)與變量去思考問(wèn)題，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造新的函數(shù)，再利用函數(shù)的圖像或性質(zhì)去分析問(wèn)題，轉(zhuǎn)化問(wèn)題，從而使問(wèn)題得到解決，其關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，是考生再創(chuàng)造能力和化歸轉(zhuǎn)化能力的體現(xiàn)，因此，構(gòu)造函數(shù)在壓軸題的考查中幾乎年年都出現(xiàn)。

一.如何構(gòu)造函數(shù) ？

構(gòu)造函數(shù)的目的是為了通過(guò)研究構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性得到最值，從而達(dá)到證明不等式或求最值的目的。

而通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性首先要判斷構(gòu)造函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，因此，構(gòu)造函數(shù)的關(guān)鍵在于其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是否易求或易估

二.構(gòu)造函數(shù)后分類討論的依據(jù)是什么？

1、導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性

2、導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)大小的不確定性

3、函數(shù)最值問(wèn)題取得的可能性

4、導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)分布的不確定性

，新課標(biāo)全國(guó)卷壓軸題很多題均可用構(gòu)造函數(shù)的方法來(lái)解答，下面我們分享一些解法：

類型一 直接作差構(gòu)造函數(shù)

例1（2015新課標(biāo)Ⅱ卷21）設(shè)函數(shù) .

（1）證明： 在 單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增；

（2）若對(duì)于任意 ，都有 ，

求 的取值范圍.

思路：（2） 恒成立，等價(jià)于 .由（1）可得最小值為

，最大值可能是 ，故需 ，即 .

構(gòu)造函數(shù) ，可得 的單調(diào)性及 ，進(jìn)而得m的范圍.

例2（2013新課標(biāo)Ⅰ卷21）已知函數(shù) = ， = ，若曲線 和曲線 都過(guò)點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)P處有相同的切線

（Ⅰ）求 的值

（Ⅱ）若 ≥-2時(shí)， ≤ ，求 的取值范圍。

思路：（Ⅱ）作差法構(gòu)造函數(shù)

設(shè)函數(shù) ，

，有題設(shè)可得 ≥0，即 ，

令 =0得， =-2，

此時(shí)，類比二次函數(shù)根的分布進(jìn)行分類討論解答，得 的取值范圍為[1， ].

例3（2012新課標(biāo)Ⅰ卷21）已知函數(shù) 滿足 ；

（1）求 的解析式及單調(diào)區(qū)間；（2）若 ，求 的最大值

思路：（2）因?yàn)?，令 ，得

①當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞增

時(shí)， 與 矛盾

②當(dāng) 時(shí)，

得：當(dāng) 時(shí)，

令 ；則

當(dāng) 時(shí)，

當(dāng) 時(shí)， 的最大值為

類型二 間接構(gòu)造函數(shù)

有些題如果利用類型一直接作差構(gòu)造函數(shù)很難達(dá)到目的，就需要對(duì)函數(shù)適當(dāng)變形（分離指、對(duì)函數(shù)構(gòu)造函數(shù)、放縮、控元構(gòu)造函數(shù)）巧妙構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，達(dá)到化解難點(diǎn)的目的。

例4：（2014新課標(biāo)Ⅰ卷）設(shè)函數(shù) ，曲線 在

點(diǎn)（1， ）處的切線為 .（1）求 ；（2）證明：

思路：采用分離指對(duì)函數(shù)的構(gòu)造法，如果直接采用原函數(shù) 的最小值 ，這需要求出導(dǎo)函數(shù) 的零點(diǎn)，無(wú)法求解。容易看出，導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)求解運(yùn)算的難點(diǎn)在于遇到了 與 這兩個(gè)式子，為化解這個(gè)難點(diǎn)，實(shí)施 與 、的分離，從而轉(zhuǎn)化成不等式 證明

例5.（2016全國(guó)Ⅱ文）已知函數(shù) .

（I）當(dāng) 時(shí)，求曲線 在 處的切線方程；

（Ⅱ）若當(dāng) 時(shí)， ，求 的取值范圍.

思路：若對(duì) 直接求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)很難去判斷，需多次求導(dǎo)。按如下方法巧妙拆分就比較容易：當(dāng) 時(shí)， 若等價(jià)于 ，令 得之。

說(shuō)明：例5.例6采用了分離指、對(duì)函數(shù)構(gòu)造函數(shù)。

例6：（2013新課標(biāo)Ⅱ卷）已知函數(shù)

（1）設(shè) 為 的極值點(diǎn)，求 并討論 單調(diào)性；

（2）當(dāng) 時(shí)，證明

思路：如果不加思考直接用作差法構(gòu)造函數(shù) ，則會(huì)無(wú)法求解 ，問(wèn)題出在含參，因此應(yīng)該控元，放縮到函數(shù) 的最值求解中，結(jié)合二次求導(dǎo)和零點(diǎn)存在定理估算出 的根 ，從而求得 。

說(shuō)明：本題采用放縮、控元構(gòu)造了新的函數(shù)。

例7：（2013新課標(biāo)Ⅰ卷21）如上例2換個(gè)角度

思路：即證明： 恒成立。構(gòu)造函數(shù) ，則即證 恒成立。得 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)討論單調(diào)性求得最值，

相比作差法構(gòu)造函數(shù)分類討論的方法，達(dá)到了事半功倍的效果

說(shuō)明：此題采用分離參數(shù)后構(gòu)造新函數(shù).

高考?jí)狠S題中構(gòu)造函數(shù)法可謂是比比皆是，除了壓軸大題，我們也要關(guān)注12題。所以在訓(xùn)練中要引導(dǎo)學(xué)生丟掉恐懼心，大膽細(xì)致分析，這些題一般都有規(guī)律可循，相信天道酬勤。

（作者單位：寶雞中學(xué)）