王家強(qiáng)

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，如何通過一個典型例子的解題教學(xué)，達(dá)到讓學(xué)生學(xué)會編制“一張知識網(wǎng)”網(wǎng)絡(luò)所有相關(guān)的知識，達(dá)到觸類旁通，舉一反三，以少勝多的教學(xué)效果，盡量減輕給學(xué)生繁重學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，提高教學(xué)效率的最佳途徑。下面試圖通過一道有關(guān)弦長公式的運(yùn)用的例子的教學(xué)來說一說自己在這方面的做法和體會，與同行商榷。

摘選自2016年全國卷卷II的第23題：在直角坐標(biāo)系中，圓C的方程為.

（I）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程;

（II）直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），l與C交于A、B兩點(diǎn)，，求l的斜率.

分析1：這道題目的第一問比較基礎(chǔ)，主要考察直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互相轉(zhuǎn)化，絕大多數(shù)同學(xué)都能正確寫出答案來，如下：

【解析】（Ⅰ）圓的極坐標(biāo)方程為.

分析2：這道題目的教學(xué)應(yīng)該放在的第二個問題的教學(xué)上，選擇這道題目的目的也主要是看中第二問簡單明了，適合自己的學(xué)生目前的學(xué)習(xí)水平，易于開展深入性復(fù)習(xí)教學(xué)，通過這一題的教學(xué)讓學(xué)生很好地把有關(guān)“弦長”的算法“一網(wǎng)打盡”，真正達(dá)到復(fù)習(xí)的高效教學(xué)如下：

（教師）設(shè)問1：直線l的參數(shù)方程告訴我們這條直線的有什么“特征”？請同學(xué)來表達(dá)自己的理解。

學(xué)生1很快就回答：經(jīng)過原點(diǎn)且傾斜角為的一條直線。

設(shè)問2：這樣的直線你們還能夠用其它形式的方程來表示嗎？

學(xué)生2經(jīng)過思考、討論，覺得答案很多，發(fā)現(xiàn)這條直線還可以有這么一些形式方程來表示：

面對學(xué)生給出五花八門的答案，我微信著不可置否。

（繼續(xù)問學(xué)生）設(shè)問3：大家來共同思考：以上答案都對嗎？你們個人有什么意見補(bǔ)充？（學(xué)生陷入思考和討論）

學(xué)生3：我認(rèn)為①答案不一定正確的，因?yàn)樗锌赡鼙硎疽粭l與x軸垂直的直線，這時斜率不存在，無法表示成y=kx或這個形式，應(yīng)該分斜率存在或者不存在兩種情形處理。

學(xué)生4：方程②的表達(dá)欠完整，應(yīng)該再附上這個條件

同學(xué)們思考得嚴(yán)密周到，也表達(dá)完整無缺！

設(shè)問4：題目條件中也就是弦長已知，那么大家想一想，|AB|可以有怎樣表達(dá)？

學(xué)生1：直線與圓相交所得的弦長，d是圓心到直線的距離，跟k有直接關(guān)系：

解法一：圖像分析可知直線的斜率一定是k，則直線的方程為，由垂徑定理及點(diǎn)到直線距離公式知：，即，整理得

學(xué)生2：聯(lián)系，決定用直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程進(jìn)行解題

解法二、將直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)）代入圓的方程中得：

設(shè)A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別t1、t2是則由韋達(dá)定理得

學(xué)生3：由于A、O、B三點(diǎn)共線，故可以考慮采用極坐標(biāo)系中弦長公式

解法三、直線將直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)）化為極坐標(biāo)方程為，再代入圓極坐標(biāo)方程，得：

設(shè)點(diǎn)

學(xué)生4：聯(lián)系到以前學(xué)的弦長公式求解

解法四、由圖像可知直線的斜率k一定存在，故設(shè)直線l的方程是y=kx，點(diǎn)

則由

兩邊平方，化簡得：

學(xué)生5：幾何方法。數(shù)形結(jié)合，作出圖形如下，利用傾斜角與斜率關(guān)系，

轉(zhuǎn)化為解直角三角形，但注意斜率可以是正負(fù)的：

如圖，中，由勾股定理得

變式訓(xùn)練：在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），直線與曲線相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（2，1），求的變化范圍。

通過一道難度中等偏下的高考選做題作為例題教學(xué)及一道變式訓(xùn)練，啟發(fā)學(xué)生對它進(jìn)行多維思考，有機(jī)地將學(xué)生學(xué)過的一些有關(guān)弦長公式糅合一起，進(jìn)行系統(tǒng)復(fù)習(xí)。采取這樣的復(fù)習(xí)教學(xué)方式，比較適合我們?nèi)魏我凰钠胀ǜ咧袑W(xué)生目前的數(shù)學(xué)水平和思維能力，比起一堂課洋洋灑灑講好多題的滿堂灌的解題教學(xué)，這樣教學(xué)更能充分調(diào)動學(xué)生思考問題解決問題的積極性，突出學(xué)生主體地位和老師的輔助作用，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維，觸類旁通，因而效果也比較理想。提倡在高三復(fù)習(xí)中進(jìn)行這樣目的明確的微專題復(fù)習(xí)——盡量把教學(xué)要求設(shè)計(jì)達(dá)到大多數(shù)同學(xué)“跳一跳，就能摘到果實(shí)吃”，這樣的課才有生機(jī)，充滿活力！