劉曉雨　鄒燕

摘要：庫存問題一直以來是困擾我國企業(yè)的難題。庫存問題在公司實際的經(jīng)營過程中有著重要的作用：一方面，它能夠滿足市場，給企業(yè)帶來很多利益；另一方面，保持著過高或者過低的庫存都會給企業(yè)帶來很多更多的庫存成本和缺貨損失。所以，企業(yè)對于庫存的管理非常重視，而庫存問題的分布屬于不確定分布，實際上，只需要利用一些方法找到庫存問題的最差分布，使得庫存成本在最差的分布上最小，也就得到了最大的利潤，那么，該利潤就是所有分布中的最小利潤，但使它達(dá)到最大，也就找到了庫存問題的最優(yōu)解。而魯棒問題是由Scarf最先提出的。對于存貨難題的最小最大問題，Scarf在之前研究者研究的基礎(chǔ)上，又做出了新的貢獻(xiàn)，也就是利用多項式逼近的方法，對兩點分布進(jìn)行分析，找到最差的分布，使得利潤最大，進(jìn)而解決存貨難題。

關(guān)鍵詞：多項式；庫存；利潤；問題；解決

一、函數(shù)與利潤

顯而易見的是，企業(yè)中產(chǎn)品的銷量應(yīng)該是需求量與采購量中的較小者，并且利潤是銷售額減去成本。

當(dāng)需求分布未知的時候，并且只是已知均值與方差的情況下，需要先找到利潤函數(shù)的最小值，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成需求分布已知的情況。由于原來的銷量模型具有拐點，并且其圖形接近于二項式分布，而多項式連續(xù)可求導(dǎo)，所以Scarf利用多項式逼近的方法找到了利潤函數(shù)，并且根據(jù)多個引理，利潤函數(shù)與多項式相等的情況將在兩點分布中取得。

此時，只需要求出兩點分布中的兩點。通過對上述式子的求導(dǎo)以及代數(shù)，我們可以找到多個方程，聯(lián)立這些方程，我們就可以計算出兩點分布中的兩點。那么在求出這兩點后，該分布也已知，進(jìn)而我們就將這一情況轉(zhuǎn)化為了已經(jīng)分布的情況，就可以利用上一情況求解。但是，在此模型中，我們并沒有考慮存在殘差的情況，也就是沒有考慮需求和銷售不對等的情況。所以，在存在殘差時，我們將假定殘差是線性的，只需要在模型后加上殘差，并不會對該模型產(chǎn)生較大的影響。這也就是論文在一開始就假定不存在殘差的原因，這樣既可以簡化模型，還不會對模型產(chǎn)生較大的影響。論文中的創(chuàng)新點是引入了多項式逼近的方法，這一方法對最小最大問題領(lǐng)域的研究產(chǎn)生了較大的影響，解決了存貨難題中的難點進(jìn)而解決了庫存最小最大問題。

二、利用線性規(guī)劃解決利率最大化

對于解決利潤最大化和成本最小化問題中還可以使用線性規(guī)劃。隨著現(xiàn)在我國經(jīng)濟社會不斷的發(fā)展，線性規(guī)劃在我國資源配置等方面起著重要的作用。線性規(guī)劃的實質(zhì)就是解決在有限的人力、物力、財力的情況下，實現(xiàn)資源的最優(yōu)配置。在實現(xiàn)利潤最大化和成本最小化中，可以將其看作線性規(guī)劃問題中的對偶問題。

對偶問題的經(jīng)濟意義是：若原規(guī)劃問題是解決資源的最優(yōu)配置問題的，則它的對偶問題就是求解資源的使用價值的，對偶問題的最優(yōu)解則給出了各種資源最優(yōu)配置的經(jīng)濟估計。建立模型之后，為了更方便的求解，通常把線性規(guī)劃問題化為標(biāo)準(zhǔn)模型，化為標(biāo)準(zhǔn)模型后可以利用圖解法，單純形法等方法求解。在可用資源發(fā)生變化時，可以利用靈敏度分析來分析資源變化對最優(yōu)解的影響。在使用靈敏度分析時，首先在單純形表上改變參數(shù)，檢查是否是原問題和對偶問題的可行解，若是，則最優(yōu)解不變，反之，則需要對單純形表進(jìn)行迭代求出最優(yōu)解。這種方法可以用于研究政府在實施一項比較重大的經(jīng)濟政策后將會對國民經(jīng)濟造成的影響，而在方案評價中靈敏度分析可以用來研究當(dāng)一些條件發(fā)生變化時備選方案價值的變化情況。

三、利潤與庫存最大化

利潤是總收入減去了會計成本和機會成本等總成本。公司生產(chǎn)和經(jīng)營的目標(biāo)是能夠?qū)⒗麧欁畲蠡?。但是，什么是最大的利潤？廠商從事生產(chǎn)或出售商品的目的是為了賺取利潤。如果總收益大于總成本，就會有剩余，這個剩余就是利潤。值得注意的是，這里講的利潤，不包括正常利潤，正常利潤包括在總成本中，這里講的利潤是指超額利潤。如果總收益等于總成本，廠商不虧不賺，只獲得正常利潤，如果總收益小于總成本，廠商便要發(fā)生虧損。

Scarf利用多項式逼近的方法解決了存貨難題中的最小最大問題，為這一問題的解決提供了新的方法，而利用線性規(guī)劃模型能夠為企業(yè)制定生產(chǎn)計劃提供有力的依據(jù)，根據(jù)線性規(guī)劃的結(jié)果合理的制定生產(chǎn)計劃，能夠使企業(yè)以最優(yōu)的成本獲得最大的利潤。但是，由于原料價格等波動，需要綜合市場等因素，所以還需要通過修正參數(shù)等方法對模型進(jìn)行進(jìn)一步的優(yōu)化和改善。

存貨難題下的最小最大問題具有魯棒性，魯棒是Robust的音譯，也就是健壯和強壯的意思。它是在異常和危險情況下系統(tǒng)生存的關(guān)鍵。比如說，計算機軟件在輸入錯誤、磁盤故障、網(wǎng)絡(luò)過載或有意攻擊情況下，能否不死機、不崩潰，就是該軟件的魯棒性。所謂“魯棒性”，是指控制系統(tǒng)在一定（結(jié)構(gòu)，大小）的參數(shù)攝動下，維持其它某些性能的特性。根據(jù)對性能的不同定義，可分為穩(wěn)定魯棒性和性能魯棒性。以閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒性作為目標(biāo)設(shè)計得到的固定控制器稱為魯棒控制器。魯棒線性優(yōu)化求解的是在數(shù)據(jù)有干擾的情況下的最優(yōu)解。它與一般線形優(yōu)化問題的區(qū)別在于，它的數(shù)據(jù)不是確定的值，而是一組會在某確定區(qū)間里浮動的值，但是在這種情況下我們?nèi)匀豢梢郧蟮靡粋€最優(yōu)解，使得它適用于這些干擾的數(shù)據(jù)，也就是說我們的解是robust的。所以，它具有一些缺點：

[1]魯棒優(yōu)化問題本身具有很大的保守性，這種保守性使得在不確定程度很大的情況下，優(yōu)化值離最優(yōu)值之間存在著較大的差異。

[2]若已知需求均值和方差，對于集成供應(yīng)鏈，采取魯棒訂貨策略將會損失一定數(shù)量的利潤，而對于分散供應(yīng)鏈，采取魯棒訂貨策略將會使供應(yīng)鏈的利潤提高，因此將會有很好的效果。

[3]作為管理科學(xué)和運籌學(xué)的核心思想之一的最優(yōu)化思想，已經(jīng)被廣泛的應(yīng)用在經(jīng)濟、金融、計量等研究領(lǐng)域，比如計量中對模型參數(shù)的估計就是遵循最優(yōu)化的思路。

總結(jié)

Scarf為后來的研究者提供了一個新思路，也就是利用多項式逼近的方法解決最小最大庫存問題中的難點，進(jìn)而解決了庫存最小最大問題。雖然在后來研究者研究過程中，這一多項式逼近求解的方法有一些缺陷，但是不可否認(rèn)的是，這一方法確實突破了庫存最小最大問題中的瓶頸，所以后來人對它的評價總是好大于壞。而在它的基礎(chǔ)上，后來的研究者得到了更多的方法求解這類問題。

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作者簡介：

劉曉雨，出生于1998年1月，在讀本科，現(xiàn)讀于煙臺南山學(xué)院商學(xué)院工程管理系工程管理1603。

鄒燕，碩士研究生，現(xiàn)就職于煙臺南山學(xué)院商學(xué)院。