陳莎莎 沈中宇 杜金金

“函數(shù)的周期性”是滬教版高中數(shù)學(xué)第6章第一節(jié)“三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)”第三課時(shí)的內(nèi)容。滬教版高中數(shù)學(xué)在第3章第四節(jié)“函數(shù)的基本性質(zhì)”中主要介紹了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn)，而在介紹三角函數(shù)的周期性時(shí)才引出周期函數(shù)的概念?！昂瘮?shù)的周期性”是函數(shù)教學(xué)的難點(diǎn)之一，主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面[1]：一是學(xué)生對周期現(xiàn)象描述不清楚、表達(dá)不完整且無法與函數(shù)的周期性建立聯(lián)系;二是學(xué)生對周期函數(shù)概念的理解水平不高，大多數(shù)學(xué)生停留在直觀或形式化的認(rèn)識上。出現(xiàn)這些現(xiàn)象的原因之一是教師在教學(xué)過程中未能注重周期函數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展過程。同時(shí)，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（? 017年版）》將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)作為課程的主要目標(biāo)，并提出數(shù)學(xué)課程要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值[? ]。這要求教師在課堂教學(xué)中，應(yīng)致力于從關(guān)注結(jié)果到關(guān)注過程、從關(guān)注知識到關(guān)注素養(yǎng)、從關(guān)注技能到關(guān)注文化的轉(zhuǎn)變。

實(shí)際上，周期函數(shù)在歷史上經(jīng)歷了漫長的發(fā)展過程。在早期的西方三角學(xué)教科書中，人們從日復(fù)一日、年復(fù)一年的時(shí)間變化中感受到周期現(xiàn)象。之后，周期性與三角學(xué)就緊密聯(lián)系在一起，例如角的終邊和誘導(dǎo)公式。最終，數(shù)學(xué)家給出了周期函數(shù)的形式化定義。數(shù)學(xué)史為教學(xué)設(shè)計(jì)提供了參照，教師可以直接或間接利用歷史素材，設(shè)計(jì)一系列問題，讓學(xué)生在解決問題的過程中經(jīng)歷周期函數(shù)概念的發(fā)生和發(fā)展過程，加深對周期函數(shù)的理解，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。同時(shí)，教師可以通過數(shù)學(xué)史的融入，營造人性化的課堂，實(shí)施數(shù)學(xué)學(xué)科德育。

鑒于以上分析，筆者從HPM視角設(shè)計(jì)本節(jié)課教學(xué)，并擬定如下教學(xué)目標(biāo)。

（1）理解和掌握周期函數(shù)的概念，熟練判斷一個(gè)函數(shù)是否具有周期性并靈活運(yùn)用定義法進(jìn)行證明;

（? ）提升從定性描述到定量刻畫的能力，能夠從多樣化的結(jié)果中發(fā)現(xiàn)共性與差異性并進(jìn)行對比和評價(jià)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng);

（3）從數(shù)學(xué)史中感受數(shù)學(xué)的發(fā)展和魅力，感受數(shù)學(xué)來源于生活且高于生活，體會周期性思想對生活的指導(dǎo)性意義和價(jià)值。

根據(jù)周期函數(shù)概念的歷史，筆者勾勒出三個(gè)關(guān)鍵步驟。

1 周期現(xiàn)象：從時(shí)間到運(yùn)動

周期函數(shù)的概念源于人類對周期現(xiàn)象的觀察。人們最開始觀察到的周期現(xiàn)象都與時(shí)間有關(guān)，如基思（T.Keith）于1810年對一天做出了明確的描述[3];邦尼卡斯?fàn)枺↗.Bonnycastle）于1818年對一個(gè)月進(jìn)行了定義。在此期間，周期與時(shí)間的變化密不可分，物體重復(fù)經(jīng)歷一個(gè)位置的時(shí)間間隔稱之為周期[4]。

人們逐漸認(rèn)識到，時(shí)間間隔其實(shí)對應(yīng)于物體運(yùn)動的間隔，如湯姆森（J. Thomson）于18? 5年提到了天體的運(yùn)動規(guī)律[5]。之后，數(shù)學(xué)家進(jìn)一步將天體的運(yùn)動類比到角的變化[6]。

三角函數(shù)背景下的周期函數(shù)：從描述定義到誘導(dǎo)公式

周期概念的發(fā)展與三角函數(shù)息息相關(guān)。早在18世紀(jì)，歐拉（L. Euler）在《無窮分析引論》中給出了三角函數(shù)的一系列誘導(dǎo)公式，他已經(jīng)認(rèn)識到三角函數(shù)的周期性，但并未具體提出周期和周期函數(shù)的概念[7]。德摩根（A.De Morgan）于1837年根據(jù)角的終邊周而復(fù)始的規(guī)律變化描述性地刻畫了周期現(xiàn)象，但主要還是以文字描述為主[8]。與歐拉類似，西弗（E.P.Seaver）于1871年通過誘導(dǎo)公式呈現(xiàn)了三角函數(shù)的周期性[9]。里德爾（P. R. Rider）于1888年通過三角函數(shù)的圖像特征來描述三角函數(shù)的周期性即三角函數(shù)的值和三角函數(shù)曲線重復(fù)出現(xiàn)，故稱其具有周期性 [10]。但這樣的定義仍然是描述性的定義。

直至1880年，數(shù)學(xué)家開始嘗試對三角函數(shù)的周期性進(jìn)行刻畫，但僅局限于文字描述，一般周期函數(shù)的形式化定義尚未出現(xiàn)。

3 周期函數(shù)形式化定義：從不完善到完善

189? 年，尼克遜（R.C.Nixon）提出了以三角函數(shù)為背景的形式化定義[11]，標(biāo)志周期函數(shù)的概念進(jìn)入新的發(fā)展階段。1899年，加拿大數(shù)學(xué)家穆雷（D.A.Murray）擺脫了三角函數(shù)的束縛，對一般周期函數(shù)進(jìn)行了定義[1? ]：一般地，對于函數(shù)，如果存在常數(shù)T，對任意一個(gè)x值都有，那么函數(shù)叫作周期函數(shù)，常數(shù)T叫作函數(shù)的周期。

雖然上述定義仍有瑕疵，但已經(jīng)十分接近現(xiàn)代關(guān)于周期函數(shù)的定義了。

4 漢語“周期”一詞的由來

“周期”一詞英譯為periodicity，是指具有某個(gè)階段性特征的時(shí)間。然而，“周期”一詞并非英譯而來，最早出現(xiàn)在金元之際數(shù)學(xué)家李冶的讀書筆記《敬齋古今黈》中[15]。據(jù)《漢語大詞典》 考究，事物在變化過程中，某些特征多次重復(fù)出現(xiàn)，其連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時(shí)間，稱為 周期[16]。

1 情境創(chuàng)設(shè)，感性認(rèn)識

課前，教師先讓學(xué)生聆聽一首經(jīng)典歌曲Why nobody fights。

師：此時(shí)此刻你們腦中印象最深刻的是什么？

生（齊答）：印象最深刻的是“Why nobody fights”，因?yàn)檎赘枨际沁@一句歌詞！

師：對，正是這樣的重復(fù)才讓人感覺印象深刻。其實(shí)在我們的日常生活中，這樣的例子比比皆是。語文教師常問：“語文作文，寫了嗎？寫了嗎？寫了嗎？”數(shù)學(xué)教師常問：“一課一練，做了嗎？做了嗎？做了嗎？”英語教師常問：“英語單詞，背了嗎？背了嗎？背了嗎？”這是因?yàn)橹匾氖乱f幾遍？

生（齊答）：三遍！

師：這樣具有規(guī)律的重復(fù)無所不在，你們能不能用一個(gè)學(xué)過的專業(yè)術(shù)語刻畫具有規(guī)律的重復(fù)現(xiàn)象？

生1：循環(huán)。

師：生1是從信息學(xué)的角度思考的，非常好。那能不能從物理的角度思考呢？

生（齊答）：周期。

師：今天我們來共同研究周期性現(xiàn)象。既然你們都知道“周期”這個(gè)詞，那么為什么“周期”會被命名為“周期”？有沒有哪位同學(xué)能夠說文解字，向大家解讀你心目中對于“周期”一詞的理解？

生1：物理上，周期代表轉(zhuǎn)一圈的時(shí)間。

生? ：“周”可以理解為星期，意為一星期的時(shí)間。

生3：我猜“周期”一詞是time英譯過來的。

師：事實(shí)上“周期”的英文為periodicity，由形容詞period和名詞性后綴icity構(gòu)成，意為具有某個(gè)階段性特征的時(shí)間。但“周期”一詞并非英譯而來，它最早出現(xiàn)于我國金元之際數(shù)學(xué)家李冶的讀書筆記《敬齋古今黈》中。據(jù)《漢語大詞典》考究，事物在變化過程中，某些特征多次重復(fù)出現(xiàn)，其連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時(shí)間，稱為周期。二者綜合，周期可以被定義為特征重復(fù)出現(xiàn)的時(shí)間間隔?！爸芷凇币辉~的語義如此豐富，值得我們進(jìn)一步明確和探索。

【設(shè)計(jì)意圖】教師通過歌曲和生活中的重復(fù)現(xiàn)象，讓學(xué)生體會周期性現(xiàn)象，引出“周期”概念;通過對詞語的考究，讓學(xué)生進(jìn)一步了解“周期”一詞的來源和意義。

模型刻畫，概念初探

教師接著讓學(xué)生指出物理中最典型的周期運(yùn)動，從而引出勻速圓周運(yùn)動。

師：我們可以用大家所熟知的單位圓模型來刻畫周期運(yùn)動。物理上，經(jīng)過一個(gè)周期后，點(diǎn)P的位移不會發(fā)生變化，線速度和角速度也不會發(fā)生變化。用物理量刻畫運(yùn)動的周期性隱藏著淺顯的數(shù)學(xué)原理。經(jīng)過一個(gè)周期后，點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到原來的位置（如圖1）。在數(shù)學(xué)上有沒有什么數(shù)學(xué)量可以刻畫旋轉(zhuǎn)？

生4：角可以刻畫旋轉(zhuǎn)。

師：角逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一圈，即一個(gè)周期后，它的角度增加了360°，這不是發(fā)生變化了嗎？

生5：但角的終邊沒有發(fā)生變化。

師：一個(gè)周期后，點(diǎn)P的位移沒有發(fā)生變化。在數(shù)學(xué)上有沒有什么量可以刻畫點(diǎn)P的位置？

生6：坐標(biāo)。

師：你能否寫出單位圓上點(diǎn)P的坐標(biāo)？

生6：P（cosα，sinα）。

師：當(dāng)角α逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一圈時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)發(fā)生變化嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】勻速圓周運(yùn)動是典型的周期性運(yùn)動，通過物理量刻畫周期性，揭露物理量背后所對應(yīng)的數(shù)學(xué)量，又通過數(shù)學(xué)量刻畫周期性。

3 結(jié)合圖像，定性理解

從勻速圓周運(yùn)動的刻畫中，教師引出三角函數(shù)的周期性。

師：弧度制下的角和實(shí)數(shù)一一對應(yīng)，因此我們引入三角函數(shù)。老師不禁想問，三角函數(shù)是否具有周期性？我們可以先從直觀的圖像上進(jìn)行判別。

師：老師看到大部分學(xué)生都在點(diǎn)頭，看來三角函數(shù)屬于周期函數(shù)。更一般地，任意函數(shù)是否都具有周期性呢？

生（齊聲）：不一定。

師：那函數(shù)圖像滿足什么特征時(shí)，具備周期性呢？

生1：規(guī)律變化。

生? ：重復(fù)出現(xiàn)。

生3：可以經(jīng)過平移得到。

師：同學(xué)們都說得很好，但通過幾何直觀做出的判斷往往模糊不清。比如高斯取整函數(shù)，有些學(xué)生認(rèn)為是周期函數(shù)，有些學(xué)生認(rèn)為不是周期函數(shù)。圖像可以通過描點(diǎn)法繪制，但我們不可能描完所有的點(diǎn)，也不可能畫出無窮的圖像，所以類比函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等，我們最終要回歸到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩棵枋觥?/p>

【設(shè)計(jì)意圖】觀察三角函數(shù)和其他周期函數(shù)的圖像，從幾何直觀認(rèn)識函數(shù)的周期性。教師總結(jié)出周期函數(shù)圖像的共性，讓學(xué)生體會定量刻畫函數(shù)周期性的必要性。

4 概念探究，定量描述

教師引導(dǎo)學(xué)生回歸之前學(xué)過的誘導(dǎo)公式。

本節(jié)課采用重構(gòu)、附加和順應(yīng)三種方式將講解內(nèi)容融入數(shù)學(xué)史。首先，周期函數(shù)概念的歷史作為一條主線貫穿于始終。在情境創(chuàng)設(shè)環(huán)節(jié)，學(xué)生對周期現(xiàn)象有了初步的感性認(rèn)識;在模型刻畫環(huán)節(jié)，學(xué)生對周期現(xiàn)象的認(rèn)識從時(shí)間過渡到了運(yùn)動;在定性理解環(huán)節(jié)，學(xué)生從圖形直觀上認(rèn)識了三角函數(shù)的周期性，并給出描述性定義;在概念探究環(huán)節(jié)，學(xué)生經(jīng)歷了從三角函數(shù)周期性的定量刻畫到一般周期函數(shù)的形式化定義的過程。由此可見，本節(jié)課融入數(shù)學(xué)史的主要方式為重構(gòu)式。其次，在一般周期函數(shù)定義的形成過程中，教師讓三名學(xué)生各自獨(dú)立地給出自己的定義，并將其與歷史上三位數(shù)學(xué)家的定義進(jìn)行比較，這屬于附加式。最后，教師讓學(xué)生對數(shù)學(xué)家的三種定義進(jìn)行辨析，找出其中的缺陷或不足，這屬于順應(yīng)式。

以史為鑒，學(xué)生經(jīng)歷周期函數(shù)概念從現(xiàn)象到本質(zhì)、從定性到定量、從不完善到完善的自然發(fā)展過程，構(gòu)建了知識之諧。數(shù)學(xué)史的融入為學(xué)生創(chuàng)造自行定義周期函數(shù)、穿越時(shí)空與數(shù)學(xué)家“對話” 的機(jī)會，為他們提供了一個(gè)展示自己、充分?表達(dá)的平臺，讓他們獲得一份歸屬感、獲得感和成就感，從而營造了探究之樂。從角終邊的變化到三角函數(shù)的周期性，再到一般函數(shù)的周期性，學(xué)生經(jīng)歷了完整的數(shù)學(xué)抽象過程，因而數(shù)學(xué)史實(shí)現(xiàn)了能力之助。通過呈現(xiàn)歷史上數(shù)學(xué)家的不完善定義，學(xué)生體會數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)活動的本質(zhì)，樹立動態(tài)的數(shù)學(xué)觀，感悟獨(dú)立思考、敢于質(zhì)疑、追求創(chuàng)新的理性精神，達(dá)成了德育之效。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳健.學(xué)生對周期函數(shù)概念的理解[D].上海：華東師范大學(xué)，? 007.

[? ]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（? 017年版）[S].北京：人民教育出版社，? 017.

[3]Keith T.An introduction to the theory & practice of plane & spherical trigonometry[M].London：T Davison，1810.

[4]Bonnycastle J A.Treatise on plane & spherical trigonometry[M].London：Cadell & Davies，1818.

[5]Thomson J.Elements of plane and spherical trigonometry[M].Belfast，18? 5.

[6]Day J.A treatise of plane trigonometry[M].New Haven：Howe & Spalding，18? 4.

[7]歐拉.無窮分析引論[M].張延倫，譯.太原：山西教育出版，1997.

[8]Morgan A de.Elements of trigonometry & trigonometry[M].London：Taylor & Walton，1837.

[9]Seaver E P.The formulas of plane and spherical trigonometry[M].Boston：Sever，F(xiàn)rancis & Co.，1871.

[10]Rider P R，DavisA.Plane trigonometry[M].New York：D Van Nostrand，1888.

[11]Nixon R C J.Elementary plane trigonometry[M].Oxford：The Clarendon Press，189? .

[1? ]Murray D A.Plane trigonometry for colleges and secondary schools[M].New York：Longmans，Green & Company，1908.

[13]Bohannan R D.Plane trigonometry[M].Boston：Allyn & Bacon，1904.

[14] Dresden A.Introduction to the calculus[M].New York：H. Holt & Company.

[15]李冶.敬齋古今黈[M].北京：中華書局，1995.

[16]羅竹風(fēng).漢語大詞典[M].上海：漢語大詞典出版社，1993.