許亮亮 鄭玉芳 陳昌萍

摘 要：基于高階剪切變形理論和Von Karman非線性理論建立磁電彈性梁的非線性模型，采用Hamilton原理推導(dǎo)磁電彈性梁的非線性平衡微分方程，利用伽遼金方法對(duì)該非線性偏微分方程組進(jìn)行求解。數(shù)值計(jì)算中，具體討論了外部荷載、跨高比、磁場(chǎng)及電場(chǎng)等因素對(duì)磁電彈性梁非線性靜力響應(yīng)的影響。

關(guān)鍵詞：Reddy三階剪切理論;Von Karman非線性理論;磁電彈性梁;伽遼金法

中圖分類號(hào)：O343.5

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，智能材料的耦合性能引起學(xué)者們的關(guān)注。磁電彈性材料由于存在壓電、壓磁和磁電三種耦合效應(yīng)，能夠?qū)崿F(xiàn)機(jī)械能-電能-磁能之間的能量轉(zhuǎn)換，從而在智能結(jié)構(gòu)和電子信息等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。再者梁構(gòu)件廣泛應(yīng)用于工程實(shí)際，所以對(duì)磁電彈性梁力學(xué)行為的研究具有十分重要的意義。

江愛民等[1-4]根據(jù)橫觀各向同性磁電彈性體的三維基本方程，研究了在均布荷載作用下、集中荷載以及線性電勢(shì)和磁勢(shì)作用下，不同邊界條件的磁電彈性梁的平面問題。Milazzo等[5]提出了一種可以等效磁電彈性層合梁的彈性單層梁的有限元模型，研究了磁電彈性層合梁的靜力問題。Huang等[6-7]利用解析法和半解析法研究了在任意荷載作用下的各向異性磁電彈性梁的平面應(yīng)力問題。Annigeri等[8]采用有限元方法研究了多相層狀磁電彈性梁的自由振動(dòng)問題。Vinyas等[9]采用總勢(shì)能原理對(duì)熱環(huán)境下的多層磁電彈性梁進(jìn)行了靜力分析。Xu等[10]基于歐拉-伯努利梁模型，研究了磁電彈性梁的屈曲和振動(dòng)問題。Ansari等[11]在一階剪切變形梁理論的基礎(chǔ)上，建立了尺寸相關(guān)的非線性磁電彈性納米梁模型，研究了具有不同邊界條件的磁電熱彈性納米材料梁的后屈曲行為。Xiao等[12]基于Eringen的非局部彈性理論，分析了磁電熱彈性納米梁的非線性屈曲問題。Alibeigi等[13]利用Von Karman幾何非線性等理論研究了不同熱載荷、電場(chǎng)和磁場(chǎng)作用下磁電彈性納米梁的屈曲響應(yīng)。從研究成果來看，磁電彈性材料結(jié)構(gòu)的非線性特性由于其復(fù)雜性，研究成果相對(duì)較少。

本文基于高階剪切變形理論和Von Karman非線性理論建立磁電彈性梁的非線性力學(xué)模型，采用Hamilton變分原理推導(dǎo)了磁電彈性梁的非線性平衡微分方程。通過伽遼金方法對(duì)該非線性偏微分方程組進(jìn)行求解，討論外部荷載、梁的跨高比、磁場(chǎng)以及電場(chǎng)等因素對(duì)梁非線性靜力響應(yīng)的影響，探討了磁電彈性梁的力-電-磁耦合機(jī)理。

1?基本方程

考慮長(zhǎng)度為l，寬為b，高為h的矩形截面磁電彈性材料梁。Oxy 平面位于梁的中性層上，其原點(diǎn)位于最左側(cè)的截面形心上。采用Reddy三階剪切理論，梁的位移場(chǎng)可表示為：

u（x，z）=u0（x）+zφ（x）-cz3（φ（x）+dw0（x）dx），

w（x，z）=w0（x）。

（1）

其中，u0為中性層內(nèi)任一點(diǎn)的軸向位移;w0為

縱向位移;φ為橫截面轉(zhuǎn)角，c=4/（3h2）。根據(jù)Von Karman幾何非線性理論，可得到位移-應(yīng)變關(guān)系如下：

εx=ux+12wx2， γxz=uz+wx。

（2）

將式（1）代入式（2），得到梁的應(yīng)變?yōu)椋?/p>

εx（x，z）=ε0x+zε1x-cz3ε2x，γxz（x，z）=γ0xz-3cz2γ1xz。

（3）

其中

ε0x=du0dx+12dw0dx2， ε1x=dφdx， ε2x=dφdx+d2w0dx2，γ0xz=φ+dw0dx， γ1xz=φ+dw0dx。

（4）

磁電彈性材料的本構(gòu)關(guān)系如下：

σxx=C11εx+e31z+q31z，σxz=C55γxz，

（5）

Dz=e31εx-η33z-d33z，

（6）

Bz=q31εx-d33z-u33z。

（7）

其中，Cij、eij、qij、ηij、dij、uij分別是彈性常數(shù)、壓電常數(shù) 、壓磁常數(shù)、介電常數(shù)、電磁常數(shù)和磁導(dǎo)常數(shù);σxx（σxz）、Dz和Bz分別為應(yīng)力分量 、電位移分量和磁通密度分量;和ψ分別表示電勢(shì)和磁勢(shì)。

根據(jù)Hamilton原理

0=??∫h/2-h/2∫（k）Ω

σxxδε（k）xx+σxzδε（k）xz-

Dzδz-Bzδz

dxdydz-

∫Ωqδwdxdy，

（8）

得到

0=∫h/2-h/2∫（k）Ω??N1δε（0）x+M1δε（1）x+

P1δε（2）x+Q1δγ（0）xz+K1δγ（1）xz-Dzδz-

Bzδzdxdydz-??∫Ωqδwdxdy。

（9）

其中，q為橫向荷載，N1，M1，P1，Q1，K1表示如下：

（N1，M1，P1）=∫h/2-h/2σxx（1，z，-cz3）dz，

（10）

（Q1，K1）=∫h/2-h/2σxz（1，-3cz2）dz。

（11）

將式（9）中δu0，δw0，δφ，δ，δψ分離出來，得到以下控制方程：

N1x=0，

（12）

x（N1dw0dx）-2P1x2+Q1x+K1x+q=0，

（13）

M1x+P1x-Q1-K1=0，

（14）

Dzz=0，

（15）

Bzz=0。

（16）

將式（6）～（7）中的Dz和Bz分別代入式（15）～（16），并考慮梁的上下表面磁場(chǎng)和電場(chǎng)的邊界條件如下：

ψ=0，=0（z=-h/2），ψ=Ω0，=V0（z=h/2）。（17）

得到：

ψ，z=13λ1A1+λ3A3z3+λ1A2+λ3A4z+Ω0h，，z=13λ1A3+λ2A1z3+λ1A4+λ2A2z+V0h。

（18）

其中：

λ1=d33d233-η33μ33，λ2=-μ33d233-η33μ33，

λ3=-η33d233-η33μ33，A1=-3ce31dφdx+d2w0dx2，

A2=e31dφdx，A3=-3cq31dφdx+d2w0dx2，

A4=q31dφdx。

將式（3）～（5）代入式（10）和（11），得到

N1=du0dxA11+（dw0dx）2A12+T1，

M1=dφdxA21+d2w0dx2A22+T2，

P1=dφdxA31+d2w0dx2A32+T3，

Q1=φA41+dw0dxA42，

K1=φA51+dw0dxA52。

其中：

A11=∫h/2-h/2C11dz，

A12=∫h/2-h/212C11dz，

T1=∫h/2-h/2e31z+q31zdz;

A21=∫h/2-h/2z2C11-C11cz4dz，

A22=∫h/2-h/2-C11cz4dz，

T2=∫h/2-h/2e31z+q31zzdz;

A31=∫h/2-h/2-z4cC11+c2z6C11dz，

A32=∫h/2-h/2C11c2z6dz，

T3=∫h/2-h/2-cz3e31z+q31zdz;

A41=∫h/2-h/2C55-3cz2C55dz，

A42=∫h/2-h/2C55-3cz2C55dz;

A51=∫h/2-h/2-3cz2C55+9c2z4C55dz，

A52=∫h/2-h/2-3cz2C55+9c2z4C55dz。

將N1，M1，P1，Q1，K1代入控制方程式（12）～（14），并引入如下的無(wú)量綱化參數(shù)：

ξ=xl，δ=lh，u-0=u0l，w-0=w0h，A-1j=A1jC11h，

A-2j=A2jC11h3，A-3j=A3jC11h3，A-4j=A4jC11h，A-5j=A5jC11h，

T-1=T1C11h，Q=qC11，Ω=Ω0q31hC11，V=V0e31hC11。

則得到磁電彈性梁的非線性平衡微分方程為

d2u-0dξ2δ2A-11+dw-0dξd2w-0dξ22A-12=0，

（19）

d2u-0dξ2dw-0dξδ2A-11+dw-0dξ2d2w-0dξ23A-12+

du-0dξd2w-0dξ2δ2A-11-d3φdξ3δA-31-d4w-0dξ4A-32+

d2w-0dξ2δ2（A-42+

A-52+T-1）+dφdξδ3（A-41+A-51）+Qδ4=0，

（20）

d2φdξ2δ（A-21+A-31）+d3w-0dξ3（A-22+A-32）-dw-0dξδ2（A-42+A-52）-φδ3（A-41+A-51）=0。

（21）

2?數(shù)值求解

考慮磁電彈性梁為兩端簡(jiǎn)支，則其邊界條件可表示為：

ξ=0，1∶u-0=w-0=0，Mξ=0。

（22）

對(duì)應(yīng)的位移解可取為：

u-0=∑SymboleB@

m=1sin（2πmξ）U，

w-0=∑SymboleB@

m=1，3，…sin（πmξ）W，

φ=∑SymboleB@

m=1，3，…cos（πmξ）Φ。

（23）

將式（23）代入控制方程式（19）～（21），應(yīng)用伽遼金方法并取一階截?cái)鄬?duì)方程組進(jìn)行處理之后可得到一組非線性代數(shù)方程組，對(duì)此方程組求解可求得相應(yīng)的位移解。

3?數(shù)值結(jié)果與討論

在數(shù)值計(jì)算中，選取材料由BaTiQ3和CoFe2O4組成，各組分體積分?jǐn)?shù)為50%，其材料參數(shù)如下：

C11=C22=213×109 N/m2，

C12=113×109 N/m2，C55=50×109 N/m2，

C44=C66=49.9×109 N/m2，

e31=e32=-2.71 C/m2，q31=q32=222 N/Am2，

u33=0.839×10-4 Ns2/C2，

η33=6.37×10-9 C2/Nm2，

d33=2750×10-12 Ns/VC。

圖1給出了在h=0.5，Ω=0.001和V=0.001的情形下，梁跨中撓度在不同的外荷載下隨跨高比的變化規(guī)律。從圖中可以看出，加大外荷載或跨高比，都會(huì)使梁的撓度加大，且外荷載越大，梁變形的程度越大，體現(xiàn)了明顯的非線性特征。

圖2和圖3分別給出了在h=0.5和Q=0.01的情形下，梁跨中的撓度在不同的跨高比下隨磁場(chǎng)強(qiáng)度和電場(chǎng)強(qiáng)度的變化規(guī)律。由圖2可以看出，在不同跨高比下，梁的撓度隨磁場(chǎng)強(qiáng)度加大而減小，且變化較為平緩。從圖3可知，在不同跨高比下，梁撓度隨電場(chǎng)強(qiáng)度的增大而減小，但曲線一開始急劇下降，而后趨于平緩。

圖4和圖5分別給出了在h=0.5，Ω=0，V=0和Q=0.01的情形下，磁勢(shì)和電勢(shì)沿梁厚度方向的變化特性。由圖中可以看出，在機(jī)械荷載作用下，梁內(nèi)部產(chǎn)生磁勢(shì)和電勢(shì)，且最大值處于梁的中性層上。磁勢(shì)和電勢(shì)由中間向兩端減小，靠近兩端的區(qū)域變化明顯，而靠近中間區(qū)域變化相比而言相對(duì)平緩。

4?結(jié)語(yǔ)

本文研究了磁電彈性梁在力電磁載荷作用下的非線性靜力響應(yīng)。通過高階剪切變形理論和Von Karman非線性理論建立了磁電彈性梁的非線性力學(xué)模型，探究了外荷載、梁的跨高比、磁場(chǎng)和電場(chǎng)對(duì)梁變形的影響，以及磁勢(shì)和電勢(shì)沿梁厚方向的變化規(guī)律。數(shù)值結(jié)果表明：

（1）在相同條件下，外荷載或跨高比的增大會(huì)極劇加大梁的變形程度，且具有明顯的非線性特征。

（2）磁場(chǎng)和電場(chǎng)的改變對(duì)梁的撓度具有顯著的影響，可以通過施加外磁場(chǎng)或外電場(chǎng)來控制結(jié)構(gòu)的變形。

（3）在外荷載作用下，磁電彈性梁內(nèi)部產(chǎn)生磁勢(shì)和電勢(shì)，且最大值發(fā)生梁的中性層上，可以利用力電磁的相互轉(zhuǎn)換的這個(gè)特性對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行主動(dòng)控制。

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（責(zé)任編輯：曾?晶）

Nonlinear Static Analysis of Magneto￣electro￣elastic Beams Based

on Higher Order Shear Deformation Theory

XU Liangliang1， ZHENG Yufang1*， CHEN Changping2

（1. College of Civil Engineering， Fuzhou University， Fuzhou 350116， China;

2.School of Civil Engineering and Architecture， Xiamen University of Technology， Xiamen 361024， China）

Abstract：

Based on the higher order shear deformation theory and Von Karman nonlinear theory， the nonlinear model of magneto￣electro￣elastic beams was established. The nonlinear equational differential equations of magneto￣electro￣ elastic beams were derived by using Hamilton principle， and the nonlinear partial differential equations were solved through applying the Galerkin method. In the numerical calculations， the influences of the external load， span ratio， magnetic field and electric field on the nonlinear static response of magneto￣electro￣elastic beams were discussed.

Key words：

Reddy third￣order shear theory; Von Karman nonlinear theory; magneto￣electro￣elastic beam; Galerkin method