陳麗娟 曠華武 楊光惠

摘 要：應(yīng)用凸分析基本理論，在條件C之下，研究了中間點預(yù)不變凸函數(shù)的性質(zhì)，證明了中間點預(yù)不變凸函數(shù)是（0，1）∩Q-預(yù)不變凸的。特別地，中點預(yù)不變凸函數(shù)是（0，1）∩Q-預(yù)不變凸的。最后，討論了所獲結(jié)果在多目標(biāo)規(guī)劃中的一些應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：預(yù)不變凸函數(shù); 中間點預(yù)不變凸函數(shù); 近似凸集; 多目標(biāo)優(yōu)化

中圖分類號：O221

文獻標(biāo)識碼： A

集合與函數(shù)或映射的凸性或廣義凸性在數(shù)學(xué)中有重要應(yīng)用，例如：在最優(yōu)化理論研究中，常常利用目標(biāo)函數(shù)等的凸性或廣義凸性獲得最優(yōu)解所滿足的必要條件或者充分條件[1，2]。作為凸函數(shù)的推廣，預(yù)不變凸函數(shù)是一類重要的廣義凸函數(shù)，楊新民等在專著[2]中對其性質(zhì)、判別準(zhǔn)則、在優(yōu)化中的應(yīng)用等作了較詳細的論述。事實上，1985年，用來定義預(yù)不變凸函數(shù)的不等式已經(jīng)出現(xiàn)[3]。1988年，WEIR和MOND[4]采用Jeyakumar的建議將滿足該不等式的函數(shù)正式命名為預(yù)不變凸函數(shù)。

受文獻[5-8]的啟發(fā)，本文提出并證明了中點預(yù)不變凸函數(shù)對應(yīng)集合的一個新性質(zhì)：中點預(yù)不變凸函數(shù)是（0，1）∩Q-預(yù)不變凸的。最后，討論所獲結(jié)果在極小化問題和多目標(biāo)規(guī)劃問題中的應(yīng)用。

定義1[3]?設(shè)η：Rn×Rn→Rn，SRn，如果y+λη（x，y）∈S，x，y∈S，λ∈[0，1]，稱S是不變凸集。

定義2[3，4]?設(shè)SRn是不變凸集，f：S→R1，如果對x，y∈S，λ∈[0，1]，成立f（y+λη（x，y））≤λf（x）+（1-λ）f（y），稱f（x）是預(yù)不變凸函數(shù)。

當(dāng)η（x，y）=x-y時，不變凸集就是凸集，預(yù)不變凸函數(shù)就是凸函數(shù)。

注意到對凸集與凸函數(shù)，如果存在α∈（0，1）使：

fy+α（x-y）≤αf（x）+（1-α）f（y），x，y∈S。

那么由文獻[5]知（0，1）∩QTc（Q為有理數(shù)集）， 其中：

Tc={t∈（0，1）fy+t（x-y）

≤tf（x）+（1-t）f（y），x，y∈S}。

本文主要目的就是證明以上結(jié)果對預(yù)不變凸函數(shù)也是成立的，即，如果S是Rn中的不變凸集，f：S→R1，且存在α∈（0，1）使：

fy+αη（x，y）≤αf（x）+（1-α）f（y），x，y∈S。

那么本文將證明（0，1）∩QT，其中：

T=t∈（0，1）fy+tη（x，y）≤tf（x）+（1-t）f（y），x，y∈S。

1?主要結(jié)果

除非特別說明， 以下總設(shè)S是Rn中的不變凸集， η：Rn×Rn→Rn，f：S→R1，T與Tc如上述所定義。

研究中發(fā)現(xiàn)，用來證明（0，1）∩QTc的方法不能類比到預(yù)不變凸函數(shù)的情形。 這主要是因為凸集與不變凸集的幾何性質(zhì)等有許多不同之處，例如： 當(dāng)S是凸集時，對S中的點x與y及任意λ∈（0，1），凸組合y+λ（x-y）可表示為x+（1-λ）y-x，具有某種對稱性。但是S是不變凸集時，y+λη（x，y）不一定可表示為x+（1-λ）η（y，x）。事實上，若相等， 令λ→1-， 必有η（x，y）=x-y，S實際上是凸集。再如：當(dāng)S是凸集時，任一系數(shù)是有理數(shù)的凸組合nmx+m-nmy（m>n， 互質(zhì)，正整數(shù)）可轉(zhuǎn)化成m個點{x，x，…，x，y，…，y}的“算術(shù)平均”組合，即：

nmx+m-nmy=1mx+1mx+…+1mx+1my+…+1my。

但是當(dāng)S是不變凸集時，組合形式y(tǒng)+nmη（x，y）不具有類似的表達式。

基于以上原因，為了證明（0，1）∩QT，本文將采取一些新的方法：結(jié)合文獻[6]中一些新結(jié)果，即T集合對應(yīng)的函數(shù)具有對稱性和中點凸性，對T中的有限個點，作若干技巧性較高的組合運算，使其運算結(jié)果仍在T中，由此完成對（0，1）∩QT的證明。

定義3[7]?設(shè)SRn，如果α∈（0，1），使得對x，y∈S，成立αx+（1-α）y∈S，則稱S是近似凸集。

條件C[2，8] 設(shè)η：Rn×Rn→Rn，稱η滿足條件C，如果x，y∈S，λ∈[0，1]，以下兩個恒等式成立：

C1 ηy，y+λη（x，y）=-λη（x，y）， C2 ηx，y+λη（x，y）=（1-λ）η（x，y）。

由條件C，可以證明下式成立（見[2]定理5.2.4， [9]性質(zhì)2.2.1，或者根據(jù)[10]中定理2的方法，還可參閱[11，12]）：

η（y+λ1η（x，y），y+λ2η（x，y））=（λ1-λ2）η（x，y），x，y∈S，λ1，λ2∈[0，1]。

引理1?設(shè)η滿足條件C，T≠， 則：

（1） T是近似凸集;

（2）λ∈T，有1-λ∈T;

（3）λ1∈T，λ2∈T，有λ1λ2∈T;

（4）k2n∈T，1≤k≤2n-1，n=1，2，3，……

證明：結(jié)論（1）見參考文獻[6]，結(jié)論（2）見參考文獻[13]。

結(jié)論（3）λ1，λ2∈T， 由條件C，

f（y+λ1λ2η（x，y））=f（y+λ1η（y+λ2η（x，y），y））

≤λ1fy+λ2η（x，y）+1-λ1f（y）

≤λ1λ2f（x）+λ1（1-λ2）f（y）+（1-λ1）f（y）

=λ1λ2f（x）+1-λ1λ2f（y）。

因此，得到λ1λ2∈T。

結(jié)論（4）由[6]中定理3知12∈T，由已證明的結(jié)論（3）知12·12=14∈T，類推12n∈T，n=1，2，…。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明k2n∈T，k=1，2，…，2n-1，n=1，2，3…。

當(dāng)n=1時，由[6]知12∈T;

當(dāng)n=2時，由14∈T，應(yīng)用結(jié)論（2）得34=1-14∈T，從而14，24，34∈T;

假設(shè)n=m時，結(jié)論成立， 即12m，22m，32m，……，2m-12m∈T。

下證k2m+1∈T，1≤k≤2m+1-1。事實上，當(dāng)k=1時，由前證顯然12m+1∈T;當(dāng)1≤k≤2m-1時，根據(jù)已經(jīng)證明的結(jié)論（3）以及歸納假設(shè)，有k2m+1=12×k2m∈T; 當(dāng)2m-1<k≤2m+1-1時，因為1-k2m+1=2m+1-k2m+1，且此時1<2m+1-k≤2m-1，所以可得到2m+1-k2m+1∈T。再根據(jù)結(jié)論（2）知k2m+1=1-（1-k2m+1）∈T，因此k2m+1∈T，1≤k≤2m+1-1。

引理2?設(shè)η滿足條件C，T≠，則

k=λ3λ2λ3λ2+1-λ31-λ1∈T，λ1，λ2，λ3∈T。

證明：顯然k∈（0，1）且滿足，

λ1k+λ3k+1-kλ2-λ1k=k。

x，y∈S，由[6]中引理1知f（y+η（x，y））≤f（x）。注意到λ1，λ2，λ3∈T，得到：

f（y+kη（x，y））

=f（y+（λ1k+λ3（（k+λ2（1-k））-λ1k））η（x，y））

=f（y+λ1kη（x，y）+λ3η（y+（k+λ2（1-k））η（x，y），y+λ1kη（x，y）））

≤λ3f（y+（k+λ2（1-k））η（x，y））+（1-λ3）f（y+λ1kη（x，y））

=λ3f（y+kη（x，y）+λ2η（y+η（x，y），y+kη（x，y）））+（1-λ3）f（y+λ1η（y+kη（x，y），y））

≤λ3（λ2f（y+η（x，y））+（1-λ2）f（y+kη（x，y）））+（1-λ3）（λ1f（y+kη（x，y））+（1-λ1）f（y））

≤λ2λ3f（x）+（λ3（1-λ2）+（1-λ3）λ1）f（y+kη（x，y））+（1-λ1）（1-λ3）f（y）

=λ2λ3f（x）+λ3（1-λ2）f（y+kη（x，y））+（1-λ3）λ1f（y+kη（x，y））+（1-λ1）（1-λ3）f（y），因此，得到：

（λ2λ3+（1-λ1）（1-λ3））f（y+kη（x，y））≤λ2λ3f（x）+（1-λ1）（1-λ3）f（y）。

即，

f（y+kη（x，y））≤λ2λ3λ2λ3+（1-λ1）（1-λ3）f（x）+（1-λ1）（1-λ3）λ2λ3+（1-λ1）（1-λ3）f（y），

也就是f（y+kη（x，y））≤kf（x）+（1-k）f（y），這說明k=λ3λ2λ3λ2+（1-λ3）（1-λ1）∈T。

定理1?設(shè)η滿足條件C，T≠，則（0，1）∩QT。

證明： 由引理1與引理2，當(dāng)λ3=12∈T時，k=λ2λ2+1-λ1∈T，λ1，λ2∈T。對任意nm∈Q∩（0，1），不妨設(shè)正整數(shù)m，n互質(zhì)。取λ2=n2p，λ1=2p-m-n2p，其中正整數(shù)p充分大，比如p=m+n，則λ1∈T，λ2∈T，λ2λ2+1-λ1=n2pn2p+m-n2p=nm∈T。 因此， Q∩（0，1）T。

根據(jù)參考文獻[9]，若存在α∈（0，1），使：

fy+αη（x，y）≤αf（x）+（1-α）f（y），x，y∈S，

則稱f（x）在S上關(guān)于η是α-預(yù)不變凸的，簡稱f（x）是中間點預(yù)不變凸的。當(dāng)α=12， 簡稱f（x）是中點預(yù)不變凸的。由引理1，中間點預(yù)不變凸函數(shù)一定是中點預(yù)不變凸的。因此本文的主要結(jié)果可以簡述為： 中點預(yù)不變凸函數(shù)是（0，1）∩Q-預(yù)不變凸的。

下例表明： 當(dāng)η不滿足條件C時，T≠不能保證（0，1）∩QT。因此，條件C是保證（0，1）∩QT的一個必要條件。

例1?設(shè)S=-12，12，定義η：S×S→R（已限制在S×S）為：

η（x，y）=-3y，x∈-12，12，y∈-14，14，?0，x∈-12，12，y∈-12，-14∪14，12。

定義f：S→R1為：

f（x）=12，x∈-14，0∪0，14，-12，x∈-12，-14∪14，12∪{0}。

則13∈T，23T。

證明：

由定義知S關(guān)于η是不變凸集，由η-14，-14=34≠0知條件C不成立。

注意到：

y+13η（x，y）

=0，x∈-12，12，y∈-14，14，y，x∈-12，12，y∈-12，-14∪14，12。

易知13∈T。

取x=0，y=-18，得到f y+23η（x，y）=f 18=12>-16=23f（x）+13f（y）， 因此23T。

在引理2中，考慮了T中的三個點，應(yīng)用相似方法，考慮T中的n個點，可以得到下面的定理2。注意到：定理1表明當(dāng)η滿足條件C時，只要存在一個α∈T，不管α是無理數(shù)還是有理數(shù)，那么必定成立（0，1）∩QT。定理2表明，當(dāng)α是無理數(shù)時，不僅（0，1）∩QT，而且T中還有某些特殊形式的無理數(shù)。因此，定理2既不是引理2，也不是定理1的重復(fù)敘述或推論。

定理2?設(shè)η滿足條件C，s1，s2，…，sn∈T，則t1，t2，…，tn∈T，其中，

ti=∑nj=is1s2…sj∏n-jk=11-sk+j∏nk=11-sk+∑nj=1s1s2…sj∏n-jk=11-sk+j∈T，i=1，2，…n。

即，

t1=s11-s21-s3…1-sn+s1s21-s3…1-sn+……+s1s2s3…sn1-s11-s21-s3…1-sn+s1（1-s2）1-s3…1-sn+……+s1s2s3…sn，t2=s1s21-s3…1-sn+s1s2s31-s4…1-sn+……+s1s2s3…sn1-s11-s21-s3…1-sn+s1（1-s2）1-s3…1-sn+……+s1s2s3…sn，……tn=s1s2s3…sn1-s11-s21-s3…1-sn+s1（1-s2）1-s3…1-sn+……+s1s2s3…sn。

證明：

首先，由t1，t2，…，tn表達式知（i）：

t1=s1+（1-s1）t2，

ti=siti-1+（1-si）ti+1，i=2，3，…，n-1，

tn=sntn-1.

（i）

將（i）改寫成（ii）：

t1=t2+s1（1-t2），

ti=ti+1+si（ti-1-ti+1），i=2，3，…，n-1，

tn=0+sn（tn-1-0）.（ii）

fy+t1η（x，y）≤s1f（x）+1-s1fy+t2η（x，y），fy+t2η（x，y）≤s2fy+t1η（x，y）+1-s2fy+t3η（x，y），fy+t3η（x，y）≤s3fy+t2η（x，y）+1-s3fy+t4η（x，y），……fy+tn-2η（x，y）≤sn-2fy+tn-3η（x，y）+1-sn-2fy+tn-1η（x，y），fy+tn-1η（x，y）≤sn-1fy+tn-2η（x，y）+1-sn-1fy+tnη（x，y），fy+tnη（x，y）≤snfy+tn-1η（x，y）+1-snf（y）. （iii）

其次，利用y+tiη（x，y）=y+ti+1η（x，y）+siηy+ti-1η（x，y），y+ti+1η（x，y），得到（iii）：

最后，證明f（y+tiη（x，y））≤tif（x）+（1-ti）f（y）， 從而ti∈T，i=1，2，…，n。

事實上，將（iii）中不等式依次稱第1，第2，……，第n不等式。將第n不等式，即：

f（y+tnη（x，y））≤snf（y+tn-1η（x，y））+（1-sn）f（y）。

代入第n-1不等式，得到：

fy+tn-1η（x，y）≤sn-1fy+tn-2η（x，y）+1-sn-1snfy+tn-1η（x，y）+1-snf（y）?；喓?，有：

（sn-1sn+sn-1（1-sn）+（1-sn-1）（1-sn））f（y+tn-1η（x，y））≤（sn-1sn+sn-1（1-sn））f（y+tn-2η（x，y））+（1-sn-1）（1-sn）f（y）。

利用此不等式及第（n-2）不等式，得：

（sn-2sn-1sn+sn-2sn-1（1-sn）+sn-2（1-sn-1）（1-sn）+（1-sn-2）（1-sn-1）（1-sn））f（y+tn-2η（x，y））

≤（sn-2sn-1sn+sn-2sn-1（1-sn）+sn-2（1-sn-1）（1-sn））f（y+tn-3η（x，y））+（1-sn-2）（1-sn-1）（1-sn）f（y）。

記：

An=sn，An-1=sn-1sn+sn-11-sn，An-2=sn-2sn-1sn+sn-2sn-11-sn+sn-21-sn-11-sn，……A2=s2s3…sn+s2s3…sn-11-sn+s2s3…sn-21-sn-11-sn+…+s2（1-s3）（1-s4）…（1-sn），A1=s1s2s3…sn+s1s2…sn-11-sn+s1s2…sn-21-sn-11-sn+…+s1（1-s2）（1-s3）（1-s4）…（1-sn）。

應(yīng)用（iii）中的n個不等式，像上面那樣作倒序迭代，有：

fy+tnη（x，y）≤Anfy+tn-1η（x，y）+1-snf（y），An-1+1-sn-11-snfy+tn-1η（x，y）≤An-1fy+tn-2η（x，y）+1-sn-11-snf（y），An-2+1-sn-21-sn-11-snfy+tn-2η（x，y）≤An-2fy+tn-3η（x，y）

+1-sn-2 1-sn-1

1-snf（y），

……A2+1-s21-s3…1-snfy+t2η（x，y）≤A2fy+t1η（x，y）+1-s21-s3

……1-snf（y），A1+1-s11-s2…1-snfy+t1η（x，y）≤A1f（x）+1-s11-s2……1-snf（y）。（ⅳ）

因為：

A1=s1（1-s2）（1-s3）…（1-sn）+s1s2（1-s3）…（1-sn）+…+s1s2…sn，

所以A1就是t1表達式的分子。A=A1+1-s11-s2…1-sn是ti表達式的分母。利用（ⅳ）中最后一個不等式，有：

fy+t1η（x，y）≤t1f（x）+1-t1f（y），

即知t1∈T，且t1=A1A。

進一步，由（ⅳ）中與A2相關(guān)的不等式，成立：

（A2+（1-s2）（1-s3）……（1-sn））f（y+t2η（x，y））

≤A2（A1Af（x）+（1-A1A）f（y））+（1-s2）（1-s3）……（1-sn）f（y）。

將A1=s1（A2+（1-s2）（1-s3）……（1-sn））代入，得到：

fy+t2η（x，y）≤A2s1Af（x）+1-A2s1Af（y）。

因為A2=s2（1-s3）…（1-sn）+s2s3（1-s4）…（1-sn）+…+s2s3…sn，所以A2s1A=t2且

f（y+t2η（x，y））≤t2f（x）+（1-t2）f（y）。

則t2∈T，且t2=s1A2A。

類似地，成立t3=s1s2A3A，t4=s1s2s3A4A，……，tn-1=s1s2…sn-2An-1A，且

fy+tiη（x，y）≤tif（x）+1-tif（y），i=1，2，……，n-1，

可知ti∈T，i=1，2，……，n-1。

最后一步，由（ⅳ）中第1個不等式知：

fy+tnη（x，y）≤

sntn-1f（x）+（1-tn-1）f（y）+1-snf（y）

=sntn-1f（x）+1-sntn-1f（y）

=sns1s2…sn-2sn-1Af（x）

+1-sns1s2…sn-2sn-1Af（y）

=tnf（x）+1-tnf（y）

因此tn∈T，且tn=s1s2…sn-2sn-1AnA。

2?應(yīng)用

由定理1知Q∩（0，1）T且Q∩（0，1）稠密于0，1，所以有以下的一個推論：

推論1[2，9，13，14] 設(shè)η滿足條件C，且T≠，則T在0，1中稠密。

推論1可以應(yīng)用于建立預(yù)不變凸函數(shù)的判別準(zhǔn)則，參考[2，9，14]等，例如：當(dāng)η滿足條件C，T≠且f下半連續(xù)時，則f是預(yù)不變凸函數(shù)。因為η（x，y）=x-y時，不變凸集就是凸集，預(yù)不變凸函數(shù)就是凸函數(shù)，所以推論1也可以應(yīng)用于建立凸函數(shù)的判別準(zhǔn)則[2]。

現(xiàn)在，討論所獲結(jié)果在極小化問題和多目標(biāo)規(guī)劃問題中的應(yīng)用。

定理3

設(shè)η滿足條件C，且T≠，則f的每一個局部極小點是全局極小點。

證明：

由定理1知（0，1）∩QT。設(shè)x0∈S是f的一個局部極小點，即ε>0，x∈Bεx0∩S，fx0≤f（x）。任取y∈S，由S是關(guān)于η的不變凸集，則α∈（0，1），x0+αηy，x0∈S。取充分小的有理數(shù)α∈（0，1）∩QT使得x0+αηy，x0∈Bεx0∩S，此時成立：

fx0≤fx0+αηy，x0≤αf（y）+（1-α）fx0，

由此得到fx0≤f（y）。由y∈S任意性知x0是f的全局極小點。

考慮多目標(biāo)規(guī)劃問題（MP）：

minF（x）=f1（x），…，fm（x）T，x∈S，

其中fi：S→R1（i=1，2，…，m），F(xiàn)：S→Rm是向量值函數(shù)，集合SRn是關(guān)于η：Rn×Rn→Rn的不變凸集。 記：

Rm+={λ=λ1，…，λm∈Rm：λi0，i=1，…，m}，

Rm++={λ=λ1，…，λm∈Rm：λi>0，i=1，…，m}，

Ti={t∈（0，1）|fiy+tη（x，y）≤tfi（x）+（1-t）fi（y），x，y∈S}，i=1，2，…m。

根據(jù)[2]中定義5.4.4和定義5.4.5知：

（1）點x-∈S稱為問題（MP）的全局有效解，如果不存在任何點y∈S，使得F（y）∈Fx--Rm+＼0。

（2）點x-∈S稱為問題（MP）的局部有效解，如果存在x-的鄰域Nx-，使得不存在任何點y∈S∩Nx-，滿足F（y）∈Fx--Rm+＼0。

（3）點x-∈S稱為問題（MP）的全局弱有效解，如果不存在任何點y∈S，使得F（y）∈F（x-）-Rm++。

（4）點x-∈S稱為問題（MP）的局部弱有效解，如果存在x-的鄰域Nx-，使得不存在任何點y∈S∩Nx-，滿足F（y）∈Fx--Rm++。

定理4

設(shè)η滿足條件C且Ti≠（i=1，2，…m），則問題（MP）的任何局部有效解是它的全局有效解。

證明：

設(shè)x0是問題（MP）的局部有效解，則存在一個鄰域Bεx0，不存在x∈Bεx0∩S使fi（x）≤fix0，i=1，2，…，m，且至少存在一個1≤j≤m使fj（x）<fjx0。假設(shè)x0不是全局有效解，則存在x*∈S，使得fix*≤fix0，i=1，…，m，且至少存在一個1≤j≤m使fjx*<fjx0。由Ti≠以及定理1知（0，1）∩QTi。取充分小的有理數(shù)α∈（0，1）∩QTi，使得x0+αηx*，x0∈Bεx0∩S，則：

fix0+αηx*，x0≤αfix*+（1-α）fix0≤fix0，i=1，2，…，m。

且fjx0+αηx*，x0≤αfjx*+（1-α）fjx0<fjx0，

這與x0是問題（MP）的局部有效解相矛盾.因此，問題（MP）的任何局部有效解一定是全局有效解。

定理4的特殊情形（m=1）是定理3，定理3推廣了[2]中定理5.2.1。類似分析知文獻[15]中的定理1可以改進為以下定理。

定理5

設(shè)η滿足條件C且Ti≠（i=1，2，…m），則問題（MP）的任何局部弱有效解是它的全局弱有效解。

定理3-5表明：為了獲得函數(shù)的局部-全局性質(zhì)[2]，只需函數(shù)具有中間點凸性或中間點預(yù)不變凸性。由定理1，只需要函數(shù)具有中點凸性或中點預(yù)不變凸性。也就是說，函數(shù)的中點凸性或中點預(yù)不變凸性這種局部性質(zhì)會影響函數(shù)的全局性質(zhì)。

參考文獻：

[1]史樹中. 凸分析[M]. 上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社， 1990.

[2]楊新民， 戎衛(wèi)東. 廣義凸性及其應(yīng)用[M]. 北京： 科學(xué)出版社， 2015.

[3]JEYAKUMAR V. Strong and weak invexity in mathematical programming[J]. Methods of Operations Research， 1985， 55：109-125.

[4]WEIR T， MOND B. Pre￣invex functions in multiple objective optimization[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 1988， 136（1）：29-38.

[5]KUHN N. A note on t￣convex functions[C]. General Inequalities 4. International Series of Numerical Mathematics， Birkhauser， Basel， 1984，71：269-276.

[6]曠華武. 中點凸性與廣義凸函數(shù)相關(guān)集合的對稱性問題[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識，2019，49（4）：185-192.

[7]JEYAKUMAR V， GWINNER J. Inequality systems and optimization [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 1991， 159（1）：51-71.

[8]MOHAN S R， NEOGY S K. On invex sets and preinvex functions[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 1995， 189（3）：901-908.

[9]楊玉紅.預(yù)不變凸性及在半無限多目標(biāo)優(yōu)化問題的最優(yōu)性和對偶性中的應(yīng)用[D]. 呼和浩特：內(nèi)蒙古大學(xué)，2017.

[10]曠華武，顏寶平. ?研究預(yù)擬凸性的一種新方法[J].貴州大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2003，20（3）：255-257.

[11]孫文兵. 分形空間中的廣義預(yù)不變凸函數(shù)與相關(guān)的Hermite-Hadamard型積分不等式[J].浙江大學(xué)學(xué)報（理學(xué)版），2019（05）：543-549.

[12]WU S H， AWAN M U， MIHAI M V， et al. Estimates of upper bound for a k th order differentiable functions involving riemann￣liouville integrals via higher order strongly h￣preinvex functions[J]. Journal of Inequalities and Applications，2019，2019（1）.

[13]曠華武，譙高東. 廣義凸函數(shù)相關(guān)集合的稠密性問題[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識，2016，46（9）：211-220.

[14]YANG X M， LI D. On properties of preinvex functions [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2001， 256（1）：229-241.

[15]WANG S Y， LI Z F， CRAVEN B D. Global efficiency in multiobjective programming[J]. Optimization， 1999， 45（1）：369-385.

（責(zé)任編輯：于慧梅）

The Midpoint Preinvex Functions

are（0，1）∩Q-Preinvex Functions

CHEN Lijuan， KUANG Huawu*， YANG Guanghui

（College of Mathematics and Statistics， Guizhou University， Guiyang 550025， China）

Abstract：

Applying the basic theory of convex analysis， under the condition C， the properties of the intermediate point preinvex functions are studied， and it is proved that the intermediate point preinvex functions are （0，1）∩Q-preinvex functions. In particular， the midpoint preinvex functions are （0，1）∩Q-preivex functions. Finally， some applications of these results in multi￣objective programming are discussed.

Key words：

preinvex function; midpoint preinvex function; nearly convex set; multiobjective optimization