劉慶剛 魏青 韓偉信 于新奇 劉麟

摘要：針對(duì)雙邊V型缺口有限寬平板的應(yīng)力集中問(wèn)題，采用有限元軟件ANSYS對(duì)缺口尖端區(qū)域應(yīng)力場(chǎng)進(jìn)行了分析。采用數(shù)值積分方法對(duì)平均應(yīng)力及不同開(kāi)口角度2α、不同尖端半徑ρ條件下的應(yīng)力集中系數(shù)進(jìn)行了計(jì)算，并將有限元分析結(jié)果與Filippi缺口應(yīng)力場(chǎng)方程的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證。結(jié)果表明，有限元分析方法得到的結(jié)果與Filippi方程的計(jì)算結(jié)果最大誤差為3.77%;在缺口尖端處存在明顯的應(yīng)力集中，但隨著到缺口尖端距離的增加應(yīng)力集中系數(shù)降低很快;缺口處最大應(yīng)力集中系數(shù)隨缺口尖端半徑的增大而明顯減小，且減小速率逐漸降低;隨著缺口角度的增加，應(yīng)力集中系數(shù)緩慢減小。因此，采用有限元方法可以有效開(kāi)展含缺口結(jié)構(gòu)的應(yīng)力集中分析，研究方法對(duì)于其他復(fù)雜含缺口結(jié)構(gòu)的安全分析具有一定的參考價(jià)值。

關(guān)鍵詞：斷裂力學(xué); V型缺口; 應(yīng)力集中系數(shù); 有限元; Filippi缺口方程

中圖分類號(hào)：TH114文獻(xiàn)標(biāo)志碼：Adoi： 10.7535/hbgykj.2019yx04003

Abstract： Aiming at the stress concentration problem of bilateral V-notch finite width plates， the finite element software ANSYS is used to calculate the stresses at the V-notch， and the numerical integration method is used to calculate the average stress. The stress concentration factors at different opening angles 2α and different tip transition radius ρ are calculated according to the two numerical methods above. The factors obtained by the numerical method are compared with results by the Filippi notch stress field equation and it is proved that the maximum difference between the two methods is 3.77%. The results show that obvious stress concentration exists at the tip of the V-notch， but the concentration factor decreases fast with the increase of the distance away from the notch tip. The stress concentration factor decreases as the radius increases， but the decreasing rate reduces gradually with the increase of the radius. The concentration factor decreases slowly with the increase of the parameter 2α. Finite element method is reliable for the analysis of the stress concentration at the notch tip， and it is beneficial for the safety analysis of the notch at other complex structures.

Keywords：fracture mechanics; V-notch; stress concentration factor; finite element; Filippi notch equation

缺口會(huì)引起應(yīng)力集中，因此缺口部位是各類航空器、機(jī)械裝置、建筑結(jié)構(gòu)中的薄弱環(huán)節(jié)，其強(qiáng)度問(wèn)題需要予以格外重視。因此，為了保障含缺口結(jié)構(gòu)的安全性，自20世紀(jì)初期含缺口結(jié)構(gòu)的應(yīng)力、應(yīng)變問(wèn)題得到固體力學(xué)領(lǐng)域研究人員的重視，并逐漸形成了“缺口力學(xué)”這一固體力學(xué)的分支。

在缺口力學(xué)領(lǐng)域，國(guó)內(nèi)外學(xué)者以V型缺口為研究對(duì)象做了大量研究。早期，研究人員的研究工作主要集中在含缺口結(jié)構(gòu)應(yīng)力場(chǎng)的解析解方面。人們采用不同的應(yīng)力函數(shù)來(lái)表示缺口周邊應(yīng)力場(chǎng)[1]，研究并解決了鈍裂紋問(wèn)題[2]、尖銳V形缺口和包含尖端過(guò)渡圓弧的V形缺口應(yīng)力場(chǎng)方程[3]，其中FILIPPI提出的計(jì)算公式影響最為廣泛。2002年，F(xiàn)ILIPPI等[4]在前人研究基礎(chǔ)上，考慮平板有限尺寸對(duì)應(yīng)力場(chǎng)的影響，給出更為精確的應(yīng)力計(jì)算式，被后人稱為“Filippi缺口應(yīng)力場(chǎng)方程”，奠定了缺口力學(xué)的理論基礎(chǔ)。對(duì)于尖銳缺口尖端應(yīng)力場(chǎng)，研究中考慮了微觀約束效應(yīng)[5-6]，引入虛擬缺口圓半徑，利用虛擬缺口圓邊界的平均應(yīng)力作為尖銳型缺口尖端的應(yīng)力值[7-9]。近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，有限元方法（FEM）逐漸應(yīng)用于缺口結(jié)構(gòu)應(yīng)力分析中[10-15]。工程問(wèn)題中，如機(jī)械裝置、壓力容器等問(wèn)題，由于裝置結(jié)構(gòu)復(fù)雜難以獲得有效的解析解，試驗(yàn)方法成本較高，實(shí)施困難。因此，有限元方法由于其方便快捷性，越來(lái)越受到人們的重視，在缺口結(jié)構(gòu)應(yīng)力分析中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。

本文以雙邊V型缺口平板為研究對(duì)象，分別采用Filippi缺口方程和有限元方法分析了缺口尖端附近的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)力集中系數(shù)，得到了應(yīng)力集中系數(shù)KT與開(kāi)口角度2α、缺口尖端過(guò)渡半徑ρ的關(guān)系，對(duì)于表征含缺口結(jié)構(gòu)的應(yīng)力狀態(tài)，保障結(jié)構(gòu)安全具有一定的意義。

1缺口應(yīng)力集中系數(shù)分析方法

1.1幾何模型

本文的研究對(duì)象為一長(zhǎng)方形平板，尺寸為H×L，厚度為δ，板兩側(cè)有開(kāi)口角度為2α，尖端半徑為ρ的V型缺口，板材彈性模量E=2×105 MPa，泊松比μ=0.3，在板的頂部和底部分別施加σnom的遠(yuǎn)場(chǎng)拉應(yīng)力，缺口模型示意如圖1所示。

圖1 a）中，a表示單側(cè)開(kāi)口深度，h表示韌帶寬度;圖1 b）中，r0表示缺口尖端圓弧高度，q為確定r0和ρ之間關(guān)系的輔助參數(shù);σθ，σr，τrθ分別表示極坐標(biāo)條件下的應(yīng)力。

1.2解析解

對(duì)于本文所述缺口類型，文獻(xiàn)＼[4＼]給出了Filippi缺口應(yīng)力場(chǎng)方程。在平面拉伸應(yīng)力場(chǎng)下，F(xiàn)ilippi缺口應(yīng)力場(chǎng)方程如式（1）所示。

根據(jù)最大應(yīng)力和名義應(yīng)力值，計(jì)算該V型缺口平板應(yīng)力集中系數(shù) KT。

對(duì)于開(kāi)口角度為45°的V型缺口沿x方向σθ應(yīng)力集中系數(shù)，采用有限元分析得到的結(jié)果和采用Filippi缺口應(yīng)力場(chǎng)方程得到的結(jié)果如圖7所示。由圖7可知，有限元模擬結(jié)果得出的應(yīng)力曲線與Filippi缺口應(yīng)力場(chǎng)方程得到的結(jié)果具有很好的一致性，表明有限元法具有良好的可靠性。

2結(jié)果與討論

2.1缺口尖端附近應(yīng)力場(chǎng)分析

通過(guò)有限元模擬，得到了沿著缺口中心線x， y， z 3個(gè)方向的應(yīng)力分布，坐標(biāo)系情況參見(jiàn)圖1 b）。根據(jù)圖1 b），x，y方向的應(yīng)力分別為σr和σθ。將3個(gè)方向的應(yīng)力繪制成曲線，如圖8所示。圖8中，橫坐標(biāo)x/ρ為應(yīng)力點(diǎn)到缺口弧頂距離與缺口半徑的比值。由圖8可知，y方向的應(yīng)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他2個(gè)方向的應(yīng)力，表明σθ是對(duì)缺口強(qiáng)度影響最大的應(yīng)力。σθ在缺口尖端取得最大值，隨著到缺口尖端距離的增加，σθ逐漸減小并接近平均應(yīng)力值。

2.2開(kāi)口角度對(duì)應(yīng)力集中系數(shù)KT的影響

取缺口尖端過(guò)渡半徑ρ分別為0.5，1.25和2.5 mm，取不同的開(kāi)口角度，通過(guò)上述有限元法和Filippi缺口應(yīng)力場(chǎng)方程計(jì)算KT，結(jié)果如圖9所示。由圖9可知，有限元方法和Filippi缺口應(yīng)力場(chǎng)方程得到的結(jié)果具有很好的一致性。3個(gè)過(guò)渡圓弧半徑條件下，缺口應(yīng)力集中系數(shù)均隨著開(kāi)口角度的增加而減小。

2.3缺口尖端過(guò)渡半徑對(duì)應(yīng)力集中系數(shù)KT的影響

取缺口的開(kāi)口角度分別為45°，90°，135°，同樣采用有限元法和Filippi缺口應(yīng)力場(chǎng)方程計(jì)算KT，結(jié)果如圖10所示。由圖10可得，應(yīng)力集中系數(shù)隨缺口尖端過(guò)渡半徑增大KT減小，且減小速率降低;3種角度條件下，當(dāng)過(guò)渡半徑從05 mm增加到25 mm時(shí)，最大應(yīng)力集系數(shù)分別下降了5027%，5062%和3753%。對(duì)比圖9和圖10可以發(fā)現(xiàn)過(guò)渡圓弧半徑對(duì)應(yīng)力集中系數(shù)的影響大于開(kāi)口角度的影響。

3結(jié)論

通過(guò)對(duì)雙邊V型缺口有限寬平板的有限元計(jì)算及Filippi缺口應(yīng)力場(chǎng)驗(yàn)證，得出以下結(jié)論。

1）利用有限元方法計(jì)算了不同參數(shù)下的缺口應(yīng)力集中系數(shù)值，并與采用Filippi缺口方程的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，兩者最大相差為3.77%，表明有限元方法具有良好的可靠性。

2）沿著缺口中心線方向，σθ的數(shù)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他2個(gè)方向的應(yīng)力，是決定缺口結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的主要因素;隨著到缺口尖端距離的增加，σθ值迅速減小，并逐漸接近平均應(yīng)力。

3）V型缺口平板在缺口尖端處的應(yīng)力集中程度較大，尖端過(guò)渡半徑ρ對(duì)應(yīng)力集中系數(shù)KT的大小有顯著影響。當(dāng)開(kāi)口角度為45°時(shí)，尖端過(guò)渡圓弧半徑ρ從0.5 mm增加至1.25 mm，應(yīng)力集中系數(shù)KT從7.59下降到4.86，降幅為35.97%;圓弧半徑ρ從1.25 mm增加至2.5 mm，應(yīng)力集中系數(shù)KT從4.86下降到3.54，降幅為27.16%。由此可知，隨半徑的增大應(yīng)力集中系數(shù)逐漸減小，且減小速率逐漸降低。

4）當(dāng)開(kāi)口角度為45°，90°，135°時(shí)，尖端過(guò)渡圓弧半徑ρ從0.5 mm增加至2.5 mm，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力集中系數(shù)KT的降幅依次為50.27%，50.62%和3753%。因此，過(guò)渡圓弧半徑對(duì)應(yīng)力集中系數(shù)的影響大于開(kāi)口角度。

本文的分析結(jié)論是在固定板厚下得出的，沒(méi)有考慮到板厚對(duì)應(yīng)力分布狀態(tài)的影響，有待進(jìn)一步研究。另外，許多工程零部件，可能存在缺口尖端過(guò)度圓弧半徑為0的特殊結(jié)構(gòu)即尖銳缺口問(wèn)題，也需要進(jìn)一步研究和探討。

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