汪麗娜 龐晶 （內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院）

微課程是微型學(xué)習(xí)的一種具體形式，主要以短時視頻為載體記錄微型化的教學(xué)內(nèi)容，是對傳統(tǒng)教學(xué)模式的革新[1]。為貫徹落實《教育部關(guān)于全面提高高等教育質(zhì)量的若干意見》精神，推動信息技術(shù)與大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)深度融合，促進(jìn)教師更新教學(xué)理念、革新教學(xué)方法、創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計、提升教學(xué)能力，由教育部高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會和全國高等學(xué)校教學(xué)研究中心共同主辦了“全國高校數(shù)學(xué)微課程教學(xué)設(shè)計競賽”，促進(jìn)了數(shù)學(xué)類課程教育教學(xué)改革的發(fā)展、積累了教學(xué)成果。

微課程具有短小精悍可重現(xiàn)的教學(xué)優(yōu)勢。與傳統(tǒng)教學(xué)50分鐘一節(jié)課的安排方式相比，微課程的教學(xué)時間較短，更利于集中注意力學(xué)習(xí)，符合認(rèn)知規(guī)律。其次，微課程是對某個具體的知識點展開教學(xué)，與傳統(tǒng)教學(xué)相比，其主題更加突出、針對性較強(qiáng)。此外，微課程視頻易于保存?zhèn)鞑?，具有更高的教學(xué)可重現(xiàn)性，可以供多位教師多次再利用，也可以供學(xué)生預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)使用。本文以概率論與數(shù)理統(tǒng)計中最重要的一類定理——中心極限定理為例，闡述微課程教學(xué)設(shè)計及其實踐。文章第一部分介紹中心極限定理的教學(xué)特征；第二部分給出中心極限定理的微課程教學(xué)設(shè)計；第三部分闡述微課程實踐的特點。

一 中心極限定理的教學(xué)特征

在概率論當(dāng)中，將“相互獨立的隨機(jī)變量和的極限分布為正態(tài)分布”這樣的定理統(tǒng)稱為中心極限定理。它是概率論當(dāng)中最重要的一類定理，具有廣泛的實際應(yīng)用背景。例如，應(yīng)用中心極限定理規(guī)劃雨量站網(wǎng)設(shè)計[2]，使得降水監(jiān)測更科學(xué)、經(jīng)濟(jì)；應(yīng)用中心極限定理計算股價期權(quán)價格[3]；中心極限定理在保險精算[4]等行業(yè)中的應(yīng)用。

多數(shù)本科非數(shù)學(xué)專業(yè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計教材中，中心極限定理包括：列維——林德伯格定理和棣莫弗——拉普拉斯定理。2019年考研數(shù)學(xué)大綱中對中心極限定理的考試要求是：了解列維——林德伯格定理和棣莫弗——拉普拉斯定理（數(shù)學(xué)一）；了解列維——林德伯格定理、棣莫弗——拉普拉斯定理，并會用相關(guān)定理近似計算有關(guān)隨機(jī)事件的概率（數(shù)學(xué)三）。

中心極限定理的教學(xué)安排在隨機(jī)變量、分布函數(shù)、數(shù)字特征等先修內(nèi)容之后，抽樣、估計、檢驗等統(tǒng)計學(xué)教學(xué)內(nèi)容之前。從這個意義上講，中心極限定理可以看作是概率、數(shù)理統(tǒng)計兩部分的銜接，有著承上啟下的作用。一方面，中心極限定理可以刻畫正態(tài)分布的形成機(jī)制，解釋正態(tài)分布的普遍性；另一方面，中心極限定理是大樣本統(tǒng)計推斷的理論基石，是學(xué)習(xí)后續(xù)知識的基礎(chǔ)。從教學(xué)地位、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容三個方面，中心極限定理都占有重要的位置。與之形成鮮明的對比，在課程考核時，中心極限定理被忽略了。近10年的碩士研究生入學(xué)考試中，沒有涉及到中心極限定理的考題。

雖然中心極限定理應(yīng)用廣泛、地位重要，但是考試“指揮棒”沒有指到這個知識點，造成很多學(xué)生學(xué)習(xí)中心極限定理不夠積極，部分教師對中心極限定理的教學(xué)不夠重視?，F(xiàn)有中心極限定理教學(xué)中存在一些問題：教學(xué)內(nèi)容缺乏巧妙的設(shè)計；教學(xué)手段比較簡單，形象化演示不足；教學(xué)中的應(yīng)用場景做得不夠好，缺乏案例設(shè)計。

二 微課程教學(xué)設(shè)計

中心極限定理從理論上說明了“許多類型”的隨機(jī)變量，它們的極限分布服從正態(tài)分布，這既肯定了正態(tài)分布在概率論中的重要地位，也為計算概率提供了強(qiáng)有力的手段?？紤]到授課對象是理工科非數(shù)學(xué)專業(yè)本科生，他們的主要專業(yè)需求和未來職業(yè)需求是應(yīng)用概率統(tǒng)計的思想和方法。因此，教學(xué)設(shè)計中，重點強(qiáng)調(diào)中心極限定理的研究對象和應(yīng)用中心極限定理解決實際問題。選取案例時，選擇學(xué)生易于產(chǎn)生共鳴的題材；證明定理時，注重形象化的展示；應(yīng)用定理時，清晰明了地強(qiáng)調(diào)如何使用。

列維——林德伯格定理微課程的教學(xué)設(shè)計以如何設(shè)置住宅小區(qū)的停車位數(shù)量開篇，引出中心極限定理的研究對象：獨立隨機(jī)變量的和。使用數(shù)值模擬方式，形象化地展示案例，啟發(fā)學(xué)生提出猜想，引出列維——林德伯格定理。省略定理的證明，采用數(shù)值模擬的方法形象化地驗證定理內(nèi)容。最后，使用列維——林德伯格定理計算開篇提出的案例：小區(qū)停車位數(shù)量問題。

隨著私家車保有量的增加，住宅小區(qū)停車問題越來越嚴(yán)重。根據(jù)小區(qū)的地理位置、預(yù)期房價、未來業(yè)主情況等信息，獲知某住宅小區(qū)一千戶居民的戶擁有汽車數(shù)量的分布情況，問如何設(shè)置該小區(qū)的停車位數(shù)量，使得每輛車具有一個車位的概率不小于0.97。以此案例開篇，引導(dǎo)學(xué)生：已知戶擁有汽車量的分布，如果能夠得到一千戶居民擁有汽車量的分布情況，問題可解。由此引出中心極限定理的研究對象：隨機(jī)變量和的分布。此外，采用數(shù)值模擬的方法將一千戶居民擁有汽車數(shù)量的分布情況呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想：和隨機(jī)變量服從什么分布。

棣莫弗——拉普拉斯定理微課程的教學(xué)設(shè)計以二項分布在醫(yī)學(xué)、保險精算、質(zhì)量檢測等方面的廣泛應(yīng)用開篇，提出問題：在分析計算實際問題時，不可避免地涉及二項概率的計算，n 較大時直接用公式計算比較煩瑣，有更方便的計算方法嗎？開門見山地引出棣莫弗——拉普拉斯定理：n 充分大時，二項隨機(jī)變量漸近服從正態(tài)分布。從數(shù)學(xué)證明、數(shù)值模擬兩個方面驗證定理內(nèi)容。然后，利用定理解決開篇提出的實際問題：保險盈利的概率。

三 微課程教學(xué)實踐

1 案例教學(xué)

案例一：設(shè)置合適的停車位數(shù)量。隨著私家車保有量的增加，停車問題越來越嚴(yán)峻。根據(jù)地理位置、預(yù)期房價、目標(biāo)業(yè)主情況等信息，獲知某住宅小區(qū)居民每戶擁有汽車數(shù)量X 的分布律為：P(X=0)=0.3，P(X=1)=0.6，Ps(X=2)=0.1；問：小區(qū)共有1000 戶住戶，需要多少停車位，可以使該每輛車擁有一個車位的概率不小于0.97。

案例二：隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布。以加工零件為例，一位工人在機(jī)床上加工零件，加工過程中受到一些隨機(jī)因素的影響：噪聲干擾、電磁場微變；空氣擾動、大地微震；機(jī)床本身有磨損；工人的技術(shù)熟練程度不同；工人感覺器官無規(guī)律變化等等。這些隨機(jī)因素的影響使得加工出的零件與要求存在一定誤差。這個隨機(jī)誤差是由大量的微小的相互獨立的隨機(jī)因素綜合影響構(gòu)成的，因此，根據(jù)中心極限定理它近似服從正態(tài)分布。

案例三：戀愛保險盈利的概率。2017年初，某網(wǎng)絡(luò)平臺推出一項戀愛保險：投保人支付少量的保金（有三個檔次），如果在第3～13年內(nèi)結(jié)婚，可以獲贈近保金20 倍的祝福金。這項保險具有祝福和承諾的美好含義，推出當(dāng)天即售出1.5 萬份。簡化實際問題，假設(shè)每個投保人交納99 元保金，符合約定條款的概率為0.04，符合約定條款后可獲贈祝福金1999 元。忽略其他成本，如果有一萬人投保，問：保險公司獲利的概率是多少？

將案例引入教學(xué)中，學(xué)生可以認(rèn)識到抽象的定理在現(xiàn)實中的應(yīng)用，啟發(fā)學(xué)生數(shù)理統(tǒng)計的廣泛應(yīng)用，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)他們喜愛數(shù)理統(tǒng)計。在中心極限定理微課程教學(xué)實踐時，使用了三個案例。這些案例來源于實際，貼近學(xué)生生活，使教學(xué)更生動；此外，理解這些案例不需要深厚的專業(yè)知識，適用于各個學(xué)院的學(xué)生，應(yīng)用范圍較廣。引入列維——林德伯格定理時，使用數(shù)值模擬方法處理了案例一，合理設(shè)置住宅小區(qū)的停車位數(shù)量；講授列維——林德伯格定理的應(yīng)用時，使用了案例二，解釋為什么物理實驗中將隨機(jī)誤差認(rèn)定為服從正態(tài)分布；在應(yīng)用棣莫弗——拉普拉斯定理處理實際問題時，使用了案例三，啟發(fā)學(xué)生初步了解保險精算。

2 形象化教學(xué)

形象化教學(xué)可以將抽象的內(nèi)容具化地展示出來。在棣莫弗——拉普拉斯定理的微課程教學(xué)設(shè)計中，采用數(shù)學(xué)證明和數(shù)值模擬相結(jié)合的方式驗證定理內(nèi)容。如圖1 所示，每次生成一萬組隨機(jī)數(shù)、每組一百個數(shù)據(jù)。圖1 是參數(shù)為n=100，p=0.2 的二項分布隨機(jī)數(shù)頻率直方圖。圖形呈現(xiàn)出“中間高、兩邊低、左右對稱”的特點，符合正態(tài)鐘形曲線的特征。圖1 的數(shù)值模擬柱狀圖不僅輔助了定理的證明，而且鍛煉了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力，引導(dǎo)他們先大膽猜想再嚴(yán)格證明，這也是科學(xué)研究中常用的一種思維方式，理論證明與數(shù)值模擬相符。

圖1 二項分布隨機(jī)數(shù)頻率直方圖

此外，某些情況下受知識所限不能給出嚴(yán)格證明時，形象化教學(xué)可以起到驗證證明的輔助作用。由于知識所限，教材中省略了列維——林德伯格定理的證明。在微課程教學(xué)實踐中，我們使用數(shù)值模擬方法驗證了定理的內(nèi)容，形象化地展示了列維——林德伯格定理，這有利于學(xué)生理解和領(lǐng)悟定理內(nèi)容，如圖2 和圖3 所示。圖2 以指數(shù)分布為例，數(shù)值模擬了列維——林德伯格定理。生成參數(shù)為二分之一的指數(shù)分布隨機(jī)數(shù)，每次生成一萬組、每組 n 個數(shù)據(jù)（a：n=1；b：n=2；c：n=10；d：n=100），計算隨機(jī)數(shù)的和，做頻率直方圖。觀察這些直方圖，隨著n 的增加，圖形呈現(xiàn)出鐘形曲線的特征，趨近正態(tài)曲線。通過圖2 的演示，學(xué)生可以觀察到：隨著隨機(jī)變量疊加之個數(shù)的增大，曲線由偏態(tài)逐漸向正態(tài)接近的動態(tài)演化過程，加深學(xué)生對中心極限定理的理解。

圖2 以指數(shù)分布為例，展示列維—林德伯格定理

圖3 以一些常見分布為例，數(shù)值模擬列維——林德伯格定理。分別生成四種不同分布（圖3a：參數(shù)為2 的泊松分布；圖3b：參數(shù)為0、4 的均勻分布；圖3c：參數(shù)為三分之一的幾何分布；圖3d：參數(shù)為10、0.2 的二項分布）的隨機(jī)數(shù)，每次生成一萬組、每組100 個數(shù)據(jù)；計算隨機(jī)數(shù)的和，做頻率直方圖，可以觀察到圖形呈現(xiàn)出正態(tài)鐘形曲線的特征。圖3 的可視化展示再次印證了中心極限定理的重要作用：不論隨機(jī)變量服從什么分布，不論隨機(jī)變量是離散型還是連續(xù)型，滿足一定條件時，隨著隨機(jī)變量個數(shù)的疊加，部分和隨機(jī)變量都近似服從正態(tài)分布。

圖3 以一些常見分布為例，展示列維—林德伯格定理

3 教學(xué)的系統(tǒng)性

教學(xué)設(shè)計中融入簡短的科學(xué)發(fā)展史信息，提高學(xué)生對中心極限定理的認(rèn)知。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計教材和教學(xué)中，遵循了從一般到特殊的邏輯規(guī)律，將列維——林德伯格定理安排在棣莫弗——拉普拉斯定理的前面；并且，使用列維——林德伯格定理的一般性結(jié)論證明了棣莫弗——拉普拉斯定理。事實上，從歷史發(fā)展進(jìn)程的角度，棣莫弗——拉普拉斯定理出現(xiàn)的更早。1733年，棣莫弗研究了二項概率的近似計算問題；約40年后，拉普拉斯建立了中心極限定理較一般的形式；到20世紀(jì)30年代，獨立和中心極限定理的最一般形式最終完成[5]。介紹科學(xué)發(fā)展史可以培養(yǎng)學(xué)生的理性思維；與此同時，為那些感興趣的學(xué)生提供繼續(xù)深入認(rèn)識中心極限定理的渠道。

微課程中的第一個字——微，包含了兩層含義。一方面，微課程教學(xué)時間短，相對于傳統(tǒng)的課堂教學(xué)一學(xué)時50 分鐘時長而言，微課程視頻時長在10 分鐘左右甚至更短。另一方面，微課程教學(xué)內(nèi)容少，一個微課程講授一個知識點。微課程時間短，更方便學(xué)生將碎片化的時間利用起來，這是微課程的特點和優(yōu)點。但同時，微課程教學(xué)設(shè)計應(yīng)避免將知識碎化，教學(xué)設(shè)計中更應(yīng)加強(qiáng)教學(xué)完整性、系統(tǒng)性的考量。兩個中心極限定理微課程教學(xué)設(shè)計時，特別注意了合理設(shè)置課程結(jié)構(gòu)。教學(xué)過程依據(jù)“案例引子→可視化展示→定理→應(yīng)用于案例→小結(jié)”的結(jié)構(gòu)；微課程結(jié)束部分安排了課程小結(jié)，注重了講授的完整性和系統(tǒng)性；定理和定理的應(yīng)用兩部分時長占比超過70%，突出了課程的重點。此外，配以一定的輔助材料：練習(xí)題及其詳解和數(shù)值模擬時的程序代碼。