段建民，黃小龍

(北京工業(yè)大學信息學部，北京 100124)

在1/4車輛模型中無法反映前后懸架之間的聯(lián)動關(guān)系，而在半車懸架協(xié)同控制中，不僅期望反映行駛平順性的垂直加速度和俯仰角加速度值小，又要求懸架的動行程只能在給定的行程內(nèi)變化，同時要求車輪和路面間的動位移較小，這樣車輪和路面具有良好的附著效果，然而這3個評價標準在客觀上存在矛盾。為解決此問題，文獻[1—2]針對兩自由度車輛的懸架模型設(shè)計混合H2/H∞狀態(tài)反饋控制器，該控制器只是針對1/4車，無法體現(xiàn)行駛平順性和操縱穩(wěn)定性的性能指標，尤其對路面劇烈變化的凸包，未做相關(guān)的性能約束。文獻[3]提出混合H2/H∞輸出反饋控制器，通過選取加權(quán)函數(shù)對懸架的頻域性能指標進行整定，但性能指標改善不明顯。針對上述問題，也有文獻采用別的控制方法，但存在相應(yīng)的不足，如：利用模糊PID控制車身加速度和懸架動撓度，對其他性能未做約束，魯棒性能差；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的學習過程較長，進而適應(yīng)性和實時性較差；LQG控制很難選擇合適的加權(quán)值，使其性能限制在范圍內(nèi)。

H∞控制方法能較好處理魯棒穩(wěn)定性的問題，但動態(tài)性能較差。H2控制方法能夠得到優(yōu)越的動態(tài)性能，但魯棒穩(wěn)定性較差。如果結(jié)合2種控制方法的優(yōu)點，設(shè)計 H2/H∞混合控制器，使主動懸架系統(tǒng)不僅具有較大的魯棒穩(wěn)定性，而且滿足一定的魯棒性能要求。本文選擇4自由度半車電液主動懸架作為控制對象，設(shè)計出一種基于LMI的H2/H∞多目標全狀態(tài)反饋最優(yōu)魯棒控制器。該控制系統(tǒng)選擇用H2范數(shù)表示平順性指標，選擇操縱穩(wěn)定性指標H∞范數(shù)表示控制力、懸架行程約束和接地性。仿真結(jié)果表明該控制方案與被動懸架相比，在舒適性與操縱穩(wěn)定性方面得到相應(yīng)的改善。

1 運動方程

半車四自由度主動懸架模型的變量符號如圖1所示，半車身質(zhì)量和俯仰運動的轉(zhuǎn)動慣量分別用m2，Iφ表示；前、后輪的非簧載質(zhì)量分別用m1f和m1r表示；前懸架產(chǎn)生的彈性力和阻尼力分別用ksf和csf表示；后懸架產(chǎn)生的彈性力和阻尼力分別用ksr和csr表示；前、后輪胎產(chǎn)生的彈性力分別為ktf和ktr；車身繞y軸俯仰角為φ；前、后簧下質(zhì)量位移分別用zuf和zur表示；前、后路面擾動位移輸入分別用zrf和zrr表示；前、后懸架組件縱向距離到車身質(zhì)心的距離分別由a和b表示；前、后懸架控制力分別用uf和ur表示。根據(jù)牛頓第二定律可獲得半車懸架系統(tǒng)動態(tài)微分方程：

圖1 半車四自由度主動懸架動力學模型

(1)

當俯仰角φ較小時，可以近似得到：

zsf(t)=zc(t)-aφ(t)

(2)

zsr(t)=zc(t)+bφ(t)

(3)

對式(1)-(3)變換，可以得到:

(4)

(5)

式中，x=[x1(t)x2(t)x3(t)x4(t)x5(t)x6(t)x7(t)x8(t)]T

u(t)=[uf(t)ur(t)]T

在半車主動懸架控制器設(shè)計中，需要考慮以下的性能要求。

(6)

2)懸架行程約束。懸架行程在安全的行程范圍內(nèi)滿足式(7)不等式：

|zsf(t)-zuf(t)|≤zfmax
|zsr(t)-zur(t)|≤zrmax

(7)

式中，前、后懸架最大行程值分別用zfmax和zrmax表示。

3)接地性。實現(xiàn)操縱穩(wěn)定性需滿足式(8)不等式：

|ksf(zuf(t)-zrf(t))|≤Ff
|ksr(zur(t)-zrr(t))|≤Fr

(8)

式中，前、后輪胎的靜載分別用Ff和Fr表示，其計算公式如下:

Fr(a+b)=m2ga+m1rg(a+b)

Ff+Fr=(m2+m1f+m1r)g

這里我們定義第二組控制輸出

(9)

式(9)包含著對式(7)和式 (8)的性能約束，這時可以得到含外部擾動輸入的半車主動懸架系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程式：

(10)

式中，

C2=

C∞=

廣義被控主動懸架的狀態(tài)方程描述如下：

(11)

式中，u為控制信號；ω為外部輸入信號；z∞和z2為對應(yīng)的H∞和H2指標被控輸出，且有x∈Rn，u∈Rm，ω∈Rq，z∞∈Rr1，z2∈Rr2。

2 多目標優(yōu)化控制算法設(shè)計

圖2為主動懸架H2/H∞多目標狀態(tài)反饋優(yōu)化控制器設(shè)計框圖。從圖中可以看出，其核心設(shè)計問題為控制器控制律的算法設(shè)計，即通過設(shè)計相應(yīng)的控制算法求解控制增益矩陣K，液壓裝置看成執(zhí)行機構(gòu)。

圖2 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

設(shè)計一個全狀態(tài)反饋控制器u=Kx， 由此相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)描述為：

(12)

閉環(huán)系統(tǒng)(12)若滿足以下性能指標：1)閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，即閉環(huán)系統(tǒng)的全部極點必須位于S平面左半平面；2)給定標量γ1為正數(shù)，從外部擾動ω到z∞的閉環(huán)傳遞函數(shù)Tz∞ω的H∞范數(shù)不大于上界γ1，以確保閉環(huán)系統(tǒng)對由ω=△z∞進入的不確定性具有擾動抑制；3)從外部擾動ω到z2的閉環(huán)傳遞函數(shù)Tz2ω的H2范數(shù)盡可能小，以確保采取H2范數(shù)度量的系統(tǒng)有優(yōu)越的性能。 則稱為系統(tǒng)(11)的多目標H2/H∞的狀態(tài)反饋控制器[5-6]。

定理1 對于廣義線性時不變系統(tǒng)(11)以及標量γ1>0，γ2>0，存在一個狀態(tài)反饋H2/H∞控制律，當且僅當存在對稱正定矩陣X和Z，使得，

AX+B2W+(AX+B2W)T<0

tr(Z)<γ2

求解得到一個最優(yōu)解X、W，則廣義線性時不變系統(tǒng)(11)的狀態(tài)反饋H2/H∞控制律為

u=WX-1x

3 半車全狀態(tài)多目標最優(yōu)H2/H∞控制仿真分析

為驗證所提出基于LMI的H2/H∞多目標優(yōu)化控制算法的效果，仿真工況根據(jù)《GB/T 4970-2009 汽車平順性試驗方法》要求，假設(shè)平整路面上有一個包塊，作為路面擾動脈沖輸入，路面的時域模型可表達為[7-8]

式中：zr(t)為路面垂向位移，m；h和l分別表示包塊的高度和寬度，m；v0為恒定的車輛前進速度，m/s。在本次仿真中，v0為10 m/s，h=0.07 m，l=2 m，并假設(shè)前后輪路況一樣，只是存在(a+b)/v0時間延時，即相差0.3 s。

表1為半車主動懸架的模型參數(shù)。

表1 車輛參數(shù)

根據(jù)車輛參數(shù)通過matlab計算得到γ1和γ2相關(guān)數(shù)據(jù)，由最小二乘法擬合得到曲線，如圖3所示。從圖中可以看出，系統(tǒng)的H2的范數(shù)和H∞的范數(shù)之間存在著一種反比例的關(guān)系，即γ2增大時，γ1減小。這說明了在實際設(shè)計當中，反映行駛平順性的垂直加速度和俯仰角加速度值與懸架動行程、輪胎動位移和接地性始終存在矛盾，是不可兼得的。若γ1取的值過小，主動懸架的閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)性能優(yōu)越，但行駛平順性稍差[9]；若γ1取的值過大，主動懸架的閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)性能越差，但行駛平順性能夠提高。這就需要對γ1進行合理的折中，設(shè)計的控制器才能滿足具體的工況要求。

圖3 H2保性能指標值γ2和H∞擾動抑制度γ1之間的關(guān)系

CaseⅠ：γ1值選取方法[2]。從圖3中可以看出，γ1值從2.5開始后，隨著H∞的范數(shù)減小，H2的范數(shù)變化緩慢。這說明設(shè)計的控制器保證最好折中的γ1值在2.5 附近，以便實現(xiàn)系統(tǒng)魯棒性能和時域性能的優(yōu)勢。本文選取γ1=2.5進行H2/H∞控制器的迭代求解，求出的全狀態(tài)最優(yōu)控制反饋增益矩陣為

CaseⅡ：為了形成對比驗證，選取另外一個γ1值為11，求出的反饋增益矩陣如下。該工況下，行駛平順性得到極大提高，但閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)性能變得很糟糕。

為了研究該方法的可行性，將與半車被動懸架進行對比。在時域內(nèi)比較垂直加速度、俯仰角加速度、懸架動行程、控制執(zhí)行力和輪胎動位移動態(tài)特性。由表2可知：CaseⅠ主動懸架與被動懸架相比車身加速度、俯仰角加速度分別降低了59.1%，84.21%；CaseⅡ主動懸架與被動懸架相比車身加速度、俯仰角加速度分別降低了51.29%，75.75%。圖4和圖5是車身垂直加速度和俯仰角加速度的時域響應(yīng)圖。通過與被動懸架比較，該方法可以同時降低垂直加速度和俯仰角加速度，實現(xiàn)擾動抑制，改善車輛行駛的舒適性，但是CaseⅡ主動懸架在犧牲 H∞性能基礎(chǔ)上，得到更好的H2性能。

表2 性能指標均方根的比較

由圖6和圖7 前、后懸架動行程的時域響應(yīng)圖可知：CaseⅠ懸架的行程能夠約束在最大行程之內(nèi)，避免沖擊限位裝置，不僅獲得較好的平順性，而且安全性得到保障，使安全性與平順性達到最好的折中狀態(tài)；CaseⅡ懸架的動行程收斂速度沒有被動懸架快，雖然平順性改善，但以動撓度惡化為代價。圖8和圖9是主動懸架主動控制力的時域響應(yīng)圖。執(zhí)行機構(gòu)輸出控制力限制在設(shè)計范圍為(-2 500 N，2 500 N)，避免液壓裝置輸出飽和，但是CaseⅡ懸架的輸出控制力動態(tài)特性劣于CaseⅠ懸架，出現(xiàn)振蕩，然后穩(wěn)定。圖10和圖11是主動懸架前輪和后輪動位移的時域響應(yīng)圖。在前后輪經(jīng)過凸包時，該動載和靜載之比小于1，保證輪胎的接地性，實現(xiàn)車輛行駛的安全性，但CaseⅠ懸架的操縱穩(wěn)定性優(yōu)勢比較明顯。

圖4 車身加速度

圖5 俯仰角加速度

圖6 主被動前懸架行程

圖7 主被動后懸架行程

圖8 CaseⅠ前后懸架主動控制力對比

圖9 CaseⅡ前后懸架主動控制力對比

圖10 CaseⅠ主動懸架輪胎動位移

圖11 CaseⅡ主動懸架輪胎動位移

4 結(jié)論

1)主動懸架H2/H∞控制器能夠在統(tǒng)一框架下，同時處理性能指標與魯棒穩(wěn)定之間合理折中問題，實現(xiàn)平順性和操縱穩(wěn)定性多目標優(yōu)化控制，克服了其他控制方法在解決該問題時的缺陷。

2)在時域進行仿真，選擇合理的γ1值，驗證CaseⅠ主動懸架的車身垂直加速度和俯仰加速度的值比被動懸架明顯降低。該控制器不僅提高了主動懸架的動態(tài)性能，而且改善車輛行駛的舒服性。當選擇γ1的值越大，車輛行駛的舒服性得到提高，但操縱穩(wěn)定性逐步變差，即平順性的改善是以犧牲操縱穩(wěn)定性為代價的。γ1的值超過一定值后，系統(tǒng)超調(diào)現(xiàn)象加劇，動態(tài)性能惡化[10]。

3)主動懸架H2/H∞多目標狀態(tài)反饋控制器仿真結(jié)果表明，該方法能夠有效實現(xiàn)對懸架動行程、主動控制力和接地性的性能約束。