周婷婷

[摘? 要] 長(zhǎng)久以來，人們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知還停留在實(shí)用性上，認(rèn)為數(shù)學(xué)僅僅是探索世界的工具，殊不知，數(shù)學(xué)也是一門藝術(shù)，廣泛應(yīng)用在美學(xué)創(chuàng)造的同時(shí)，本身也具有極高的美學(xué)價(jià)值. 文章中，筆者將簡(jiǎn)要分析數(shù)學(xué)之美的三大特性，即簡(jiǎn)潔性、和諧性以及奇異性，并結(jié)合中學(xué)教育，分析數(shù)學(xué)的美學(xué)特性具有的教育價(jià)值.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué);美學(xué)價(jià)值

作為一門現(xiàn)代科學(xué)，數(shù)學(xué)的實(shí)用性一直以來就為人們所熟知，數(shù)學(xué)的誕生和發(fā)展很大程度上就是為了滿足人們的生產(chǎn)需求，數(shù)學(xué)的知識(shí)方法也確實(shí)推動(dòng)了社會(huì)和其他學(xué)科的發(fā)展進(jìn)步. 然而實(shí)用絕不是數(shù)學(xué)的全貌，除了抽象的概念體系和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方法外，數(shù)學(xué)還具有極高的美學(xué)價(jià)值，數(shù)學(xué)的思想方法中除了理性與邏輯外，不乏感性和想象的成分. 從本質(zhì)上說，數(shù)學(xué)是一門將理性與感性完美融和的學(xué)科，也因此具有了獨(dú)特的美感.

普洛克拉斯，古希臘著名數(shù)學(xué)家也曾盛贊過數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，他認(rèn)為數(shù)學(xué)的本質(zhì)就是美，感嘆道，哪里有數(shù)學(xué)，哪里就有美的存在. 的確，只要我們稍加留意，就能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)具有的獨(dú)特之美. 筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)之美至少具有簡(jiǎn)潔性、和諧性和奇異性三種屬性.

[?]言簡(jiǎn)意賅，數(shù)學(xué)之美的簡(jiǎn)潔性

現(xiàn)實(shí)世界中的事物和現(xiàn)象形式多樣，給人一種“亂花漸欲迷人眼”的感覺，而數(shù)學(xué)是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活的一種抽象和概括，數(shù)學(xué)的許多經(jīng)典定理和公式僅用寥寥數(shù)語(yǔ)就能將自然社會(huì)的光怪陸離概括到位，具有一種獨(dú)特的簡(jiǎn)潔之美[1].

比如應(yīng)用極為廣泛的歐拉公式“V+F-E=2”，僅用一個(gè)等式就將簡(jiǎn)單多面體的三個(gè)基本量“頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F和棱數(shù)E”聯(lián)系了起來. 試想，現(xiàn)實(shí)生活中我們遇到的多面體種類多樣，數(shù)量無窮無盡，如果每遇到一個(gè)多面體都對(duì)它進(jìn)行研究和記錄，將會(huì)帶來多大的工作量，但是就是這樣一個(gè)復(fù)雜的問題，用短短一個(gè)公式就可以解決，并且這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的公式對(duì)后來拓?fù)鋵W(xué)以及圖論的發(fā)展起到了重大的推動(dòng)作用，這不禁讓人感嘆數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔之美的精妙. 再比如說，高斯在解決“1+2+3+…+100等于多少”這一問題時(shí)，靈敏地察覺到了這看似費(fèi)時(shí)費(fèi)力的龐大計(jì)算中的簡(jiǎn)單規(guī)律性，即1+100=2+99=…=51+50=101，由此，他將這一百個(gè)數(shù)字求和的復(fù)雜問題，轉(zhuǎn)變成了“101×50”這樣兩數(shù)相乘的簡(jiǎn)單問題，這也是數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔之美的具體表現(xiàn). 除此之外的例子還有很多，紅黃藍(lán)三種顏色的不同搭配可以衍生出世界上所有的顏色，向量中坐標(biāo)的前后位置就可以表示方向，三角函數(shù)用簡(jiǎn)單的符號(hào)和等式架起了角度和坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換橋梁，而空間坐標(biāo)系則可以幫助人們以一種清晰簡(jiǎn)易的方式理解紛繁復(fù)雜的幾何世界.

偉大的科學(xué)家愛因斯坦認(rèn)為美的本質(zhì)歸于簡(jiǎn)單，數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性非常契合美本身，不過，數(shù)學(xué)之美的簡(jiǎn)潔并不意味著數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是簡(jiǎn)單的，相反，大多數(shù)時(shí)候，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象十分復(fù)雜，也正是如此，數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔之美才顯得更加精妙和震撼人心.

[?]包容有序，數(shù)學(xué)之美的和諧性

數(shù)學(xué)作為一門研究規(guī)律的學(xué)科，其本身也遵循著一定的規(guī)律，數(shù)學(xué)規(guī)律能反映出自然現(xiàn)象之間的和諧之處，數(shù)學(xué)本身也是充滿和諧的.

舉例說明，歐氏幾何中的黃金分割比例一直以來被人們視作美與和諧的化身，從“美神”維納斯的雕像，到各大地標(biāo)志性建筑物的設(shè)計(jì)，甚至是在音樂創(chuàng)作之中，黃金比例一次又一次地給人們帶來了美的體驗(yàn)，而人們之所以覺得美，就是因?yàn)樵谶@樣的比例中蘊(yùn)含著一種和諧不突兀的關(guān)系，這正是數(shù)學(xué)之美的規(guī)律性的體現(xiàn)[2].

除了數(shù)學(xué)中某些特殊的數(shù)字能帶來美感之外，我們?cè)跀?shù)學(xué)公式中也能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)包容有序的和諧之美. 比如，歐拉恒等式eπi+1=0，這短短一個(gè)公式就將數(shù)學(xué)中幾個(gè)重要的量囊括其中了，它將自然對(duì)數(shù)的底e，圓周率π以及虛實(shí)數(shù)的單位1和i，還有在數(shù)學(xué)歷史上具有極其重要作用的數(shù)0都統(tǒng)一到了一個(gè)公式里面，令人不禁贊嘆數(shù)學(xué)強(qiáng)大的包容能力，它將這些奇妙的數(shù)字結(jié)合得如此和諧有趣，也因此被眾多數(shù)學(xué)家們稱贊為是上帝創(chuàng)造的公式. 另一個(gè)歐拉公式eix=cosx+isinx也蘊(yùn)藏著這樣的和諧之美，這個(gè)歐拉公式在指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)之間架起了轉(zhuǎn)換的橋梁，讓我們發(fā)現(xiàn)它們之間存在的微妙聯(lián)系，讓人們發(fā)現(xiàn)看似分離和雜亂的數(shù)學(xué)體系之間強(qiáng)大的融合性與奇妙的和諧性.

在數(shù)學(xué)的研究過程中，數(shù)學(xué)家們還經(jīng)常發(fā)現(xiàn)一些協(xié)調(diào)的圖案，例如，如下所示的就是數(shù)學(xué)家們?cè)谘芯慷?xiàng)式系數(shù)變化規(guī)律時(shí)得到的楊輝三角.

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1? 1

1? 2? 1

1? 3? 3? 1

1? 4? 6? 4? 1

1? 5? 10? 10? 5? 1

……

[?]超越常識(shí)，數(shù)學(xué)之美的奇異性

數(shù)學(xué)是對(duì)世界的抽象，總會(huì)有一些超出我們?nèi)粘ＵJ(rèn)知的知識(shí)，需要我們靜下心來去研究和感悟才能明白，這賦予數(shù)學(xué)一種奇異神秘的美感，也正是這樣的美感吸引著一代又一代的數(shù)學(xué)家們，讓他們投入了大量的精力，只為發(fā)掘出這背后隱藏的奇妙美感[3].

有一則故事是這樣展開的，從前有一個(gè)國(guó)力雄厚的國(guó)家，國(guó)王十分擅長(zhǎng)下象棋，他的臣子和百姓中沒有一個(gè)能成為他的對(duì)手，因此他發(fā)出了懸賞令，內(nèi)容是如果有人能打敗他，自己就許諾達(dá)成那個(gè)人一個(gè)不太過分的愿望. 在懸賞下，有一位勇士前來挑戰(zhàn)國(guó)王，這位勇士棋藝超人，擊敗了這位常勝的國(guó)王，國(guó)王很是開心，就問他想要什么獎(jiǎng)勵(lì)，這位勇士說道：“尊敬的國(guó)王陛下，我所求不復(fù)雜，只想要一些大米.” 國(guó)王問道：“那么你想要多少大米呢？”這位勇士指著棋盤說道：“陛下您看這塊棋盤一共有64個(gè)方塊，在第一個(gè)方塊上放1粒米，第二個(gè)方塊上放2粒米，以此類推，每一個(gè)方塊上盛放米粒的數(shù)量是前一個(gè)方塊數(shù)量的一倍即可，把這些米加起來，就是我想要的大米的總數(shù)了.” 國(guó)王一聽，笑道：“這還不容易？這位勇士所需真少啊，我國(guó)國(guó)力雄厚，達(dá)成你的愿望十分輕松. ”說罷，國(guó)王就命人抬來十袋大米讓這位勇士帶回去，可這時(shí)這位勇士突然說道：“陛下，這十袋大米是完全不夠的，您難道是想說話不算話嗎？”國(guó)王疑惑，便叫來財(cái)政大臣校對(duì)，財(cái)政大臣聽聞要求后稍加計(jì)算，連忙向國(guó)王稟報(bào)：“陛下，這位勇士可不是知足，而是貪心至極啊，照他的說法來做的話，別說這十袋米，就是把整個(gè)國(guó)庫(kù)中的余糧盡數(shù)給他也不夠啊. ”國(guó)王大驚，為了保全顏面，國(guó)王叫來所有大臣共商對(duì)策，宰相出來說道：“陛下不必?fù)?dān)憂，臣有一計(jì)，既然這位勇士要求在每一個(gè)方塊上都放上一定數(shù)量的大米，那就讓他自己去國(guó)庫(kù)里數(shù)，這樣龐大的數(shù)量，他就算數(shù)一輩子也數(shù)不完.” 國(guó)王將宰相的計(jì)謀和勇士說后，勇士悻悻地拿著十袋米走了. 確實(shí)，如果不從數(shù)學(xué)的角度來思考，按照常識(shí)，人們會(huì)認(rèn)為棋盤也就這么大，十袋米絕對(duì)能把棋盤填滿，但是如果從數(shù)學(xué)角度來計(jì)算，總共需要的大米數(shù)實(shí)際上是一個(gè)等比數(shù)列求和問題，總數(shù)應(yīng)是20+21+…+263，這是一個(gè)極大的天文數(shù)字，和常識(shí)相去甚遠(yuǎn)，數(shù)學(xué)的奇異之美就在此展現(xiàn). 除此之外，類似于“以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列的求和，其結(jié)果無限趨近于1”這樣的數(shù)值計(jì)算，還有極限與連續(xù)的概念等，都在展現(xiàn)著數(shù)學(xué)之美的奇異之處.

[?]數(shù)學(xué)美學(xué)特性的教育價(jià)值

數(shù)學(xué)的美一方面可以用來欣賞，另一方面也可以發(fā)揮一定的教育功能. 數(shù)學(xué)在中學(xué)教育階段屬于難度較大的學(xué)科，許多學(xué)生覺得數(shù)學(xué)抽象又枯燥，產(chǎn)生了恐懼和厭惡心理，其實(shí)這是由于他們沒有感受到數(shù)學(xué)之美. 教師在日常教學(xué)過程中可以適當(dāng)?shù)刈寣W(xué)生接觸到知識(shí)概念之外的內(nèi)容，讓他們體會(huì)到數(shù)學(xué)之美，從而消除心理距離，激發(fā)起學(xué)生探索數(shù)學(xué)的興趣和積極性. 舉例說明，在講授多面體性質(zhì)的時(shí)候，教師可以先不要給出歐拉公式，而是讓學(xué)生自主去探索頂點(diǎn)、面和棱之間的數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生自己去體會(huì)總結(jié)與精煉的過程，最后再給出歐拉公式，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔之美;再比如，教師在講到二項(xiàng)式系數(shù)相關(guān)內(nèi)容的時(shí)候，可以將楊輝三角呈現(xiàn)在學(xué)生面前，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)協(xié)調(diào)之美的同時(shí)，加深印象;在講到等比數(shù)列求和相關(guān)問題時(shí)，教師可以向?qū)W生講述上面那則故事，讓學(xué)生切身體會(huì)到一種思維的碰撞感，從而對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 李三平. 關(guān)于數(shù)學(xué)思維[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1996，5（1）：17.

[2]? 李莉. 關(guān)于數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1995，4（1）：31.

[3]? 黃光榮. 對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002，11（2）：22.