王志成

(甘肅省臨夏中學(xué)，甘肅 臨夏 731100)

1 問(wèn)題的提出

“測(cè)定勻變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度”是高中物理實(shí)驗(yàn)中的一個(gè)很重要的學(xué)生實(shí)驗(yàn),也是高考考查頻率極高的一個(gè)實(shí)驗(yàn)．逐差法是此實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的基本方法．若給出奇數(shù)段實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),用逐差法求加速度,就要舍棄其中的一段實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)．請(qǐng)看以下兩道高考題給出的參考答案．

1.1 舍棄最小段數(shù)據(jù)的高考例證

圖1

例1.(2017年新課標(biāo)卷Ⅰ第22題)某探究小組為了研究小車在桌面上的直線運(yùn)動(dòng),用自制“滴水計(jì)時(shí)器”計(jì)量時(shí)間．實(shí)驗(yàn)前,將該計(jì)時(shí)器固定在小車旁,如圖1所示．實(shí)驗(yàn)時(shí),保持桌面水平,用手輕推一下小車．在小車運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,滴水計(jì)時(shí)器等時(shí)間間隔地滴下小水滴,圖2記錄了桌面上連續(xù)6個(gè)水滴的位置．(已知滴水計(jì)時(shí)器每30 s內(nèi)共滴下46個(gè)小水滴)

圖2

(1) 由圖2可知,小車在桌面上是________(填“從右向左”或“從左向右”)運(yùn)動(dòng)的．

(2) 該小組學(xué)生根據(jù)圖2的數(shù)據(jù)判斷出小車做勻變速運(yùn)動(dòng)．小車運(yùn)動(dòng)到圖2中A點(diǎn)位置時(shí)的速度大小為_(kāi)___m/s,加速度大小為_(kāi)___m/s2．(結(jié)果均保留2位有效數(shù)字)

高考參考答案: (1) 從右向左；(2) 0.19，0.037.

圖3

高考參考答案為0.037 m/s2(結(jié)果保留2位有效數(shù)字)．由此可以推斷:舍棄了最小段數(shù)據(jù)83 mm．

1.2 舍棄中間段數(shù)據(jù)的高考例證

例2.(2016年新課標(biāo)卷Ⅰ第22題)某學(xué)生用圖3所示的實(shí)驗(yàn)裝置驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律,其中打點(diǎn)計(jì)時(shí)器的電源為交流電源,可以使用的頻率有20 Hz、30 Hz和40 Hz,打出紙帶的一部分如圖4所示．

該學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中沒(méi)有記錄交變電流的頻率,需要用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和其他條件進(jìn)行推算．

(1) 若從打出的紙帶可判定重物勻加速下落,利用圖4中給出的物理量可以寫(xiě)出:在打點(diǎn)計(jì)時(shí)器打出B點(diǎn)時(shí),重物下落的速度大小為_(kāi)_______;打出C點(diǎn)時(shí)重物下落的速度大小為_(kāi)_______;重物下落的加速度的大小為_(kāi)_______．

圖4

(2) 已測(cè)得s1=8.89 cm,s2=9.50 cm,s3=10.10 cm;當(dāng)?shù)刂亓铀俣却笮?.80 m/s2,實(shí)驗(yàn)中重物受到的平均阻力大小約為其重力的1%．由此推算出f為_(kāi)_______Hz．

1.3 哪種舍棄法更合理的爭(zhēng)論

兩次高考參考答案對(duì)同一問(wèn)題(逐差法求加速度),數(shù)據(jù)處理采用了不同的舍棄法．究竟哪種舍棄法更合理呢?

觀點(diǎn)1:舍棄最小段數(shù)據(jù)．理由是小量的測(cè)量不準(zhǔn)確,相對(duì)誤差大．持這一觀點(diǎn)的教師較多．

觀點(diǎn)2:舍棄中間段數(shù)據(jù)．理由是各種版本的物理教材對(duì)偶數(shù)段實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)應(yīng)用逐差法時(shí),有一個(gè)基本要求,要求求差的差值要大,舍棄中間段數(shù)據(jù)后求差時(shí)差值比舍棄最小段數(shù)據(jù)求差的差值大．持這一觀點(diǎn)的教師少．

彼此都不能說(shuō)服對(duì)方．

其實(shí),單次測(cè)量的偶然誤差究竟是多大,我們無(wú)從知曉．因?yàn)榕既徽`差的來(lái)源很多,各實(shí)驗(yàn)又有各自的特點(diǎn),所以很難給出預(yù)測(cè)偶然誤差的統(tǒng)一的規(guī)定．在誤差理論分析中,一般估計(jì)它的最大值．一組等精度單次測(cè)量偶然誤差,其最大不會(huì)超過(guò)儀器最小分度值的一半．

例1中,5段實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),每一個(gè)數(shù)據(jù)是一個(gè)單次測(cè)量的,但5個(gè)數(shù)據(jù)又是等精度測(cè)量．考慮到中學(xué)實(shí)驗(yàn)測(cè)量紙帶常用的是最小刻度(精度)為毫米的直尺,測(cè)量時(shí)直尺兩端的讀數(shù)誤差各取最小分度的一半即0.5 mm．所以,5段實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)各自單次測(cè)量的絕對(duì)誤差的估計(jì)值應(yīng)取相同值Δs=±1 mm．可見(jiàn),觀點(diǎn)1的理由“小量的測(cè)量不準(zhǔn)確,相對(duì)誤差大”的判斷正確,所以持觀點(diǎn)1的教師多,如文獻(xiàn)[1-2]也是這種觀點(diǎn)．

筆者認(rèn)為,相對(duì)誤差大的一組數(shù)據(jù)對(duì)間接測(cè)量加速度的測(cè)量誤差的影響不一定大．根據(jù)誤差理論,[3]間接測(cè)量的誤差不僅取決于直接測(cè)量誤差的大小,同時(shí)也取決于函數(shù)(間接測(cè)量的計(jì)算公式)的具體形式,不同函數(shù)的誤差傳遞公式不同．因此,舍棄相對(duì)誤差大的數(shù)據(jù)是沒(méi)有理論根據(jù)的,只有通過(guò)間接測(cè)量的誤差分析后,才能判斷這兩種舍棄法的優(yōu)劣．

2 不同舍棄法的誤差分析

根據(jù)任意函數(shù)(間接測(cè)量的計(jì)算公式)的絕對(duì)誤差傳遞公式．

對(duì)于任意函數(shù)Y=F(X1,X2,…,Xm),在考慮誤差之后,則為Y+ΔY=F(X1+ΔX1,X2+ΔX2,…,Xm+ΔXm)．

在分析絕對(duì)誤差時(shí),由于誤差本身的正或負(fù)是不可知的,因此,上式中各ΔX的系數(shù)均取絕對(duì)值,即任意函數(shù)(間接測(cè)量的計(jì)算公式)的絕對(duì)誤差傳遞公式為

(1)

由于同一次實(shí)驗(yàn)的同一條紙帶求加速度,加速度的真值是同一個(gè)值．舍棄不同段數(shù)據(jù)測(cè)量值(計(jì)算出的加速度)不同,但加速度真實(shí)值(客觀存在值)相同,所以絕對(duì)誤差大的相對(duì)誤差也大．因此,比較絕對(duì)誤差的大小即可．

2.1 舍棄中間段數(shù)據(jù)的絕對(duì)誤差

若例1中舍棄中間段數(shù)據(jù),則應(yīng)用逐差法后求加速度平均值的計(jì)算公式為

(2)

根據(jù)絕對(duì)誤差傳遞公式(1),求出用(2)式計(jì)算加速度的絕對(duì)誤差為

(3)

式中Δs=±1 mm.

2.2 舍棄最小段數(shù)據(jù)的絕對(duì)誤差

若例1中舍去最小段數(shù)據(jù),則應(yīng)用逐差法后求加速度平均值的計(jì)算公式為

(4)

根據(jù)絕對(duì)誤差傳遞公式(1),求出用(4)式計(jì)算加速度的絕對(duì)誤差為

(5)

式中Δs=±1 mm.

比較(3)式、(5)式可知:舍棄中間段的絕對(duì)誤差小于舍棄最小段的絕對(duì)誤差．顯然舍棄中間段數(shù)據(jù)求加速度的方法更合理．例1的高考參考答案是不合理的．例2的高考參考答案是合理的．

0.039 m/s2．

3 完整理解逐差法減小誤差的理論根源

在“測(cè)定勻變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度”的實(shí)驗(yàn)中,教師講解時(shí)都要特別強(qiáng)調(diào)應(yīng)用逐差法的兩個(gè)要點(diǎn):一要“充分利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)”,二要“求差時(shí)差值要大”．強(qiáng)調(diào)這兩個(gè)要點(diǎn)的理論根源是什么?也就是逐差法減小誤差的理論根源是什么呢?

3.1 應(yīng)用逐差法要強(qiáng)調(diào)“充分利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)”的理論根源

根據(jù)偶然誤差的高斯分布規(guī)律“絕對(duì)值相等、符號(hào)相反的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等”可知,應(yīng)用逐差法要強(qiáng)調(diào)“充分利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)”的理論根源是:多次測(cè)量求平均值,以抵消“絕對(duì)值相等、符號(hào)相反的誤差”,從而減小偶然誤差．這只是逐差法減小誤差的理論根源的一個(gè)方面．

例1的分析中,兩種不同的舍棄法在充分利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)上是一樣的,都用了4個(gè)數(shù)據(jù)．這一點(diǎn)上看兩種舍棄法是等效的．

逐差法時(shí)充分利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求加速度和圖像法充分利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)畫(huà)出s-T2圖像通過(guò)圖像斜率求加速度是等效的,兩者都能達(dá)到充分抵消絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差的效果．逐差法的優(yōu)點(diǎn)在于求解快速,圖像法的優(yōu)點(diǎn)是直觀,容易發(fā)現(xiàn)、剔除個(gè)別錯(cuò)誤數(shù)據(jù)．[2]

3.2 應(yīng)用逐差法要強(qiáng)調(diào)“求差時(shí)差值要大”的理論根源

應(yīng)用逐差法要強(qiáng)調(diào)“求差時(shí)差值要大”的理論根源,很多教師是不清楚的．

逐差法“求差時(shí)要差值要大”的理論根源是間接測(cè)量的誤差不僅跟直接測(cè)量的誤差有關(guān),還跟間接測(cè)量的計(jì)算公式有關(guān),即誤差傳遞公式?jīng)Q定．通過(guò)例1的兩種不同的舍棄法的誤差分析中明顯可以看出,間接測(cè)量的誤差還跟間接測(cè)量的計(jì)算公式有關(guān)．即采用不同的舍棄法計(jì)算加速度的公式(2)式和(4)式不同,加速度不同的計(jì)算公式的誤差傳遞公式(3)式和(5)式不同．同時(shí)也看出,舍棄某一數(shù)據(jù)后“求差時(shí)差值大”的逐差法的誤差?。@是逐差法減小誤差的理論根源的另一個(gè)方面．

例1的分析中,舍棄中間數(shù)據(jù)求差時(shí)的差值要比舍棄最小數(shù)據(jù)求差時(shí)的差值大,從逐差法減小誤差的理論根源的另一個(gè)方面看,舍棄中間數(shù)據(jù)產(chǎn)生的誤差小．

4 結(jié)束語(yǔ)

綜合考慮逐差法減小誤差的理論根源的兩個(gè)方面后,例1分析中,兩種不同舍棄法的優(yōu)劣顯而易見(jiàn)了．兩次高考命題組給出的參考答案采用不同的舍棄法,就是沒(méi)有完整的理解逐差法減小誤差的理論根源所致．

只有完整的理解了逐差法減小誤差的理論根源的兩個(gè)方面,才能在應(yīng)用逐差法時(shí)游刃有余,靈活變通,不會(huì)出錯(cuò)．

高考是選拔性考試,試題及參考答案的科學(xué)性和嚴(yán)肅性是最基本的要求,只有堅(jiān)持了科學(xué)性和嚴(yán)肅性,才能體現(xiàn)高考的客觀性和公正性．