錢呈

[摘? ?要]數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學知識、數(shù)學能力、數(shù)學思想和數(shù)學情感態(tài)度的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學學習過程中逐步形成的.概念教學是發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要載體.

[關鍵詞]核心素養(yǎng); 概念教學;銳角三角比;意義

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）23-0013-03

當前，數(shù)學教育的目標已從數(shù)學知識的傳授轉向數(shù)學核心素養(yǎng)的養(yǎng)成.數(shù)學概念是數(shù)學對象本質屬性的反映，是構建數(shù)學理論體系的基石.在概念教學中，教師常會出現(xiàn)“重知識，輕過程”的現(xiàn)象，將概念看成定論，重灌輸輕引導.由于缺乏過程性體驗，學生對概念的本質缺乏理解，造成學生思維能力薄弱，所學知識無法靈活遷移，概念教學也缺少了應有的教育價值.數(shù)學概念教學的意義不僅在于讓學生掌握數(shù)學概念本身，更重要的是讓學生在獲得概念本質屬性的過程中，通過觀察、比較、分析、歸納、抽象、概括等數(shù)學活動，體會蘊含的數(shù)學思想方法，優(yōu)化思維品質，從而促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展.

現(xiàn)筆者以《銳角三角比的意義》的教學為例，探究如何在概念教學中培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

一、教學內容

本節(jié)課是第一課時，主要讓學生經(jīng)歷銳角的正切概念的形成過程，掌握正切、余切的定義.本節(jié)內容的學習過程中蘊含豐富的數(shù)學思想，有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng).在探索發(fā)現(xiàn)直角三角形邊角關系的過程中，學生經(jīng)歷“感知——猜測——驗證——歸納”的問題探究過程，體會從特殊到一般、從抽象到具象的數(shù)學思想，豐富學生的數(shù)學活動經(jīng)驗.在利用相似三角形論證時，發(fā)展學生的推理能力;在引入三角比的符號表示過程中培養(yǎng)學生的符號意識;在銳角三角比的實際應用中，讓學生經(jīng)歷實際問題數(shù)學化的過程，培養(yǎng)學生的“數(shù)學建?！币庾R.本章的學習為后續(xù)高中階段學習任意角的三角比、三角函數(shù)打下基礎.

二、教學目標和設計思路

（一）教學目標

1.經(jīng)歷正切概念的形成過程，理解正切和余切的定義，掌握求正切和余切值的方法.

2.經(jīng)歷從實際問題抽象出數(shù)學問題的過程，感受數(shù)學與生活的聯(lián)系，體會數(shù)學的應用價值.

3.經(jīng)歷“感知——猜測——驗證——歸納”的問題探究過程，逐步提高分析問題、解決問題的能力，逐步養(yǎng)成良好的個性思維品質.

（二）教學重點及難點

教學重點：經(jīng)歷銳角的正切概念的形成過程，掌握正切、余切的定義.

教學難點：正切、余切概念的形成.

（三）教學設計思路

三角比的概念來源于實際測量中的應用，教師教學設計時利用航海測量問題引入，體現(xiàn)引入三角比概念的必要性，也激發(fā)學生的學習興趣.探究三角形邊角關系時，以“感知——猜測——驗證——歸納”為主線，從特殊直角三角形出發(fā)，探究邊角之間的數(shù)量關系，引發(fā)學生對一般直角三角形邊角關系的猜想，即直角三角形中如果給定一個角的大小，那么它的兩條直角邊的比值是一個確定的數(shù)，引出銳角三角比的概念，從而可知角三角比的定義是合理的.三角比概念的形成過程不僅遵循學生認識事物的規(guī)律，還可以幫助學生感知從特殊到一般、從抽象到具象的數(shù)學思想方法和思維策略.

三、教學過程

（一）創(chuàng)設情境，引入概念

如圖1，在港口B的正北方向40千米處有一小島A，一艘船以每小時25千米的速度從港口B出發(fā)沿正東方向行駛.

問題1：48分鐘后，船到達C處，問此時船與小島A相距多少千米？

問題2：船繼續(xù)向正東方向行駛，到達D處，測得此時小島A在船的西北方向，問此時船與小島A相距多少千米？

問題3：船繼續(xù)向正東方向行駛，到達E處，測得此時小島A在船的北偏西55°，問此時船與小島A相距多少千米？

設計意圖：一是幫助學生回憶直角三角形的邊角性質，鞏固直角三角形中的邊邊關系和角角關系;二是引導學生發(fā)現(xiàn)直角三角形的邊角之間存在一定的聯(lián)系，通過設疑引出本節(jié)課的研究主題：直角三角形的邊角關系.

（二）歸納猜想，感知概念

探究一：特殊直角三角形中的邊角關系

問題1：等腰直角三角形中，45°角的對邊和鄰邊的比值是什么？這個比值是否會隨著三角形大小的變化而變化？為什么？

問題2： 含30°角的直角三角形中，30°角的對邊和鄰邊的比值是什么？這個比值是否會隨著三角形大小的變化而變化？為什么？

圖2

設計意圖：對特殊情況的觀察思考往往能引發(fā)對一般規(guī)律的探究.從學生熟悉的特殊直角三角形入手探究，將抽象的問題具體化，為后續(xù)探究一般直角三角形打下基礎.

探究二：一般直角三角形中的邊角關系

問題1：探究1中觀察到的現(xiàn)象是否存在于一般的直角三角形？當銳角A不是特殊角，而是任意某個確定的角時，對邊和鄰邊的比值是否也確定？ 如何說明？

如圖3，[Rt△ABC與Rt△ADE]中，[∠C=∠AED=90°]，[∠A=α]，那么[BCAC]與[DEAE]有何關系？

問題2：如果銳角A變化，它的對邊與鄰邊的比值是否會變化嗎？

如圖4，[Rt△ABC]中，[∠C=90°]，[∠BAC>∠DAC]，那么[BCAC]與[CDAC]有何關系？

設計意圖：讓學生經(jīng)歷猜想、驗證、歸納的過程，學生自主探究，合作交流，豐富學生的數(shù)學活動經(jīng)驗.學生得出結論后，教師輔以幾何畫板演示，讓學生觀察數(shù)據(jù)的變化，直觀感受比值的變化情況，體會“變”與“不變”間的辯證統(tǒng)一，滲透函數(shù)思想，為后續(xù)學習三角函數(shù)做好鋪墊.

（三）得出定義，明確概念

通過討論發(fā)現(xiàn)，直角三角形中一個銳角的對邊與鄰邊的長度的比值隨著這個銳角的大小的變化而變化，這個比值又隨著銳角大小的確定而確定，兩者間存在著確定的依賴關系，即[銳角A的對邊銳角A的鄰邊=一個確定的值].

直角三角形中的一個銳角的對邊與鄰邊的比值叫作這個銳角的正切（tangent），銳角A的正切記作tanA，[tanA=銳角A的對邊銳角A的鄰邊=BCAC=ab];直角三角形中的一個銳角的鄰邊與對邊的比值叫作這個銳角的余切（cotangent），銳角A的余切記作cotA.

[cotA=銳角A的鄰邊銳角A的對邊=ACBC=ba].

設計意圖：引導學生對概念的初步思考結果進行“抽象化”和“形式化”，運用數(shù)學語言（文字語言、圖形語言、符號語言）給概念下定義，讓概念成為一個穩(wěn)定的對象.

（四）基礎應用，鞏固概念

1.如圖6， Rt△MNP中，∠N=90°，

（1）∠P的對邊是 ，∠P的鄰邊是 ;∠M的對邊是，∠M的鄰邊是 .

（2） tanP =，tanM=;cotP=_________，cotM=________.

（3） tanP與cotP有何關系？

（4）? tanP與cotM有何關系？

設計意圖：通過練習發(fā)現(xiàn)同角的正切與余切之間的關系，互余的兩個角的正切與余切之間的關系，通過建立概念間的聯(lián)系，加深學生對正切和余切概念的理解.

2.如圖7，在Rt△ABC中，∠C= 90°，AC=3，BC=2，求tanA、cotA.

設計意圖：幫助學生掌握求正切和余切的方法，規(guī)范幾何書寫.

3.在Rt△ABC中，BC=4，AB=5，求 cotA和cotB.

設計意圖：進一步明確求正切和余切的條件：（1）必須在直角三角形中;（2）已知直角三角形中的任意兩邊長，培養(yǎng)學生良好的解題習慣.解決幾何問題時，若題目未給出具體圖形，養(yǎng)成優(yōu)先作圖習慣;在條件未明確時，注意分類討論，提高思維能力.

（五）歸納小結，反思提高

問題：通過本節(jié)課的學習，談談你的收獲.

設計意圖：教師引導學生歸納小結本節(jié)課的知識要點、探究方法、數(shù)學思想，使學生對本節(jié)課的學習內容有整體、全面的認識，完善學生頭腦中的概念體系.

四、教學反思

（一）深入解析概念本質，提升概念教學價值

概念教學的基本目標是讓學生理解概念，并能利用概念表達思想和解決問題.要實現(xiàn)這一目標，教師必須深入解析概念.對概念的解析應包含三個方面：一是解析概念的特征，主要包括概念的內涵和外延、概念形成的必要性及合理性、概念不同形式的表征（文字、符號、圖形）、概念的地位和作用、與其他概念間的聯(lián)系等;二是解析概念的教育價值，要揭示概念蘊含的數(shù)學思想方法，挖掘在概念形成過程中能夠發(fā)展的數(shù)學能力、數(shù)學觀念以及數(shù)學核心素養(yǎng);三是解析學生學習概念的認知起點與可能存在的障礙，分析學生的認知基礎和教學目標間的潛在差異和距離，確定教學難點及突破難點的方法.

（二）創(chuàng)設有效問題情境，從“激趣”走向“引思”

數(shù)學概念是數(shù)學抽象的產(chǎn)物，對抽象事物的認識，需要依賴具體事例的支持，在概念教學中創(chuàng)設問題情境具有一定的意義.問題情境的創(chuàng)設要具有典型性和適應性，要能體現(xiàn)概念本質屬性的同時，還要符合學生的認知水平，便于學生理解，要有助于學生抽象出共性特征，概括出本質屬性，形成數(shù)學概念.問題情境的創(chuàng)設要具有目的性和層次性.通過創(chuàng)設有效的情境，幫助學生回顧舊知，建立新概念與原有認知體系間的聯(lián)系.創(chuàng)設的情境要能體現(xiàn)引入新概念的必要性及實際意義.

（三）以問題驅動思維，讓概念自主建構

“APOS理論”中提出概念學習需要經(jīng)歷“操作”“過程”“對象”“圖式”四個階段.“操作”階段是學生建構數(shù)學概念的起點，為概念理解提供數(shù)學現(xiàn)實;“過程”階段是學生通過思考、頓悟將“操作”階段的感受內化，是對概念的自主建構.教學中需要通過提供大量典型例證，讓學生經(jīng)歷屬性的分析、比較、綜合、歸納、概括活動.有效問題的設計能引領學生充分地參與思考，幫助學生將操作過程中的直觀感受抽象概括，逐步獲得所需要的概念屬性，實現(xiàn)概念內化.問題的設計要具有啟發(fā)性、探索性和層次性，可以從學生最熟悉的觀念出發(fā)，讓學生在好奇心的驅使下逐步接近概念本質.

[? 參? ?考? ?文? ?獻? ]

[1]? 邵光華，章建躍.數(shù)學概念的分類、特征及其教學探討[J] .課程·教材·教法，2009（7）：47-51.

[2]? 石頤園.基于PCK內涵解析視角的初中數(shù)學概念教學策略[J].教育理論與實踐，2017（8）：51-54 .

[3]? 羅增儒.從數(shù)學知識的傳授到數(shù)學素養(yǎng)的生成[J].中學數(shù)學教學參考，2016（19）：2-7.

[4]? 蔡金法，徐斌艷. 也論數(shù)學核心素養(yǎng)及其構建[J].全球教育展望，2016（11）：3-12.

（責任編輯 黃桂堅）