許俊蓮

(寶雞文理學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 寶雞 721013)

小波分析的一個(gè)重要應(yīng)用是非參數(shù)密度估計(jì)。設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，它服從的概率密度函數(shù)f(x)未知。 經(jīng)典的密度估計(jì)問題是: 如何通過n個(gè)同分布的隨機(jī)樣本X1,X2,,Xn定義恰當(dāng)?shù)墓烙?jì)器fn使其在某種意義下逼近f。關(guān)于獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的概率密度函數(shù)的估計(jì)問題已經(jīng)得到了完善的結(jié)論[1-3]。在可靠性理論，滲透理論和某些多元分析問題中，隨機(jī)變量往往不是獨(dú)立的，而是具有一定的相關(guān)性，負(fù)相協(xié)隨機(jī)變量就是一類常見的相關(guān)隨機(jī)變量。1981年， Alam等[4]首次提出了負(fù)相協(xié)隨機(jī)變量的概念：

定義1稱隨機(jī)變量X1,X2,,Xn是負(fù)相協(xié)的(negatively associated，簡(jiǎn)記為NA)，如果對(duì)于集合{1,2,,n}的任意兩個(gè)不相交的非空子集A和B，

Cov(h1(Xi,i∈A),h2(Xj,j∈B))≤0

其中h1和h2是任意兩個(gè)關(guān)于每個(gè)自變量非降(非增)的多元函數(shù)，Cov(X,Y)表示隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差。

顯然，獨(dú)立隨機(jī)變量是負(fù)相協(xié)的。隨后， Joag-Dev等[5]對(duì)于負(fù)相協(xié)隨機(jī)變量做了更深入的研究，得到了一系列常用性質(zhì)：

性質(zhì)1[5]設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,,Xn是NA的，任給集合{1,2,,n}的m個(gè)兩兩不相交的子集A1,A2,,Am以及m個(gè)單調(diào)關(guān)于每個(gè)變?cè)墙?非增)函數(shù)f1,f2,,fm，則隨機(jī)變量f1(Xi,i∈A1)，f2(Xj,j∈A2),,fm(Xk,k∈Am)仍然是NA的。

性質(zhì)2[5]設(shè)X,Y是NA隨機(jī)變量，則E(XY)≤(EX)(EY)。

近些年來，鑒于負(fù)相協(xié)隨機(jī)變量的重要性，該樣本下密度函數(shù)的估計(jì)問題也引起了一批學(xué)者的關(guān)注。李永明等[6]、楊善朝[7]分別用核方法和最鄰近估計(jì)方法討論密度估計(jì)的相合性問題。此外，針對(duì)噪聲密度估計(jì)模型，Chesneau等[8]利用小波方法討論了NA樣本下密度的估計(jì)問題。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[9-12]做了進(jìn)一步的討論研究。

鑒于小波估計(jì)器的良好表現(xiàn)，本文將討論負(fù)相協(xié)樣本下概率密度函數(shù)的估計(jì)問題。具體地，利用小波方法定義線性小波估計(jì)器。進(jìn)一步，在不假定密度函數(shù)具有任何光滑性的條件下，證明該估計(jì)器的Lp,1≤p≤∞平均相合性。首先給出本文涉及到的小波分析中的幾個(gè)基本概念。

定義2[13]平方可積函數(shù)空間L2(R)中的多分辨率分析(multiresolution analysis，簡(jiǎn)記為MRA) 是指滿足以下條件的一列線性閉子空間{Vj}j∈Z:

(i) 單調(diào)性:Vj?Vj+1,j∈Z;

(iii) 伸縮性:f(x)∈V0?f(2jx)∈Vj,?j∈Z;

(iv) 基的存在性: 存在φ∈L2(R)，使得{φ(x-k)}k∈Z為V0的標(biāo)準(zhǔn)正交基，其中φ稱為該MRA對(duì)應(yīng)的尺度函數(shù)。

(1)

定義4[14]尺度函數(shù)φ滿足S條件是指存在有界徑向非增函數(shù)Φ使得

|φ(x)|≤Φ(|x|)(a.e.)

且

當(dāng)尺度函數(shù)φ滿足(θ)條件時(shí)，

絕對(duì)收斂。從而正交投影核

滿足

(2)

正交小波基的重要性在于它不僅是L2(R)中的標(biāo)準(zhǔn)正交基，而且在一定條件下也是Lp(R)(1

注意到，φ滿足(θ)條件蘊(yùn)含φ∈L(R)∩L∞(R)，從而φ∈Lp(R),1≤p≤∞。另一方面，S條件可推出(θ)條件(見文獻(xiàn)[14]，引理8.5)。

1 若干引理

首先給出本文用到的幾個(gè)相關(guān)引理。

特別地，當(dāng)u(x)=v(x)=φ(x)時(shí)，下述結(jié)論成立：

Su等[15]將獨(dú)立隨機(jī)變量的Rosenthal不等式做了推廣，得到了NA情形下的Rosenthal不等式。

2 主要結(jié)論

其中

下面給出本文的主要定理，為了定理證明的需要，選取尺度函數(shù)φ是緊支有界變差函數(shù)且滿足S條件。為了方便，不妨假定φ的支撐集含于集合[-A,A]中。

(3)

注意到|Kj(x,y)|≤2jF(2j(x-y))，那么，

=Aj(x)+B(x)

(4)

且

所以Lebesgue控制收斂定理蘊(yùn)含

(5)

定義

(6)

(7)

(8)

(9)

類似地，

(10)

將式(7)-(10)代入式(6)，利用Jensen 不等式有

(11)

其中

根據(jù)式(4)和式(11)，

(12)

證明注意到

(13)

(14)

從而，

這樣，式(14)化為

(15)

當(dāng)p≥2時(shí)，由Rosenthal及Jensen不等式可知

因此，

故

(16)

(17)

(18)

將式(16)～(18)代入式(15)，有

(19)

以及

從而，式(13)在1

再利用f(x)≤ω|x|，得

(20)

結(jié)合式(20)，有

(21)

(22)

從而

(23)

則

(24)

根據(jù)Jensen不等式及性質(zhì)2，我們有

(25)

因?yàn)?/p>

結(jié)合式(25)和(21)得