喬美英, 劉宇翔,蘭建義

(1.河南理工大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院，河南 焦作 454000；2.河南理工大學(xué)能源科學(xué)與工程學(xué)院，河南 焦作 454000；3.煤炭安全生產(chǎn)河南省協(xié)同創(chuàng)新中心，河南 焦作454000)

滾動軸承廣泛應(yīng)用于機(jī)械、電力、礦山及航空航天等行業(yè)中[1]，是極易發(fā)生故障的零部件。軸承的運(yùn)行狀態(tài)直接影響到設(shè)備的安全與運(yùn)行，對滾動軸承的運(yùn)行狀態(tài)進(jìn)行檢測并及時識別具有重要而深遠(yuǎn)的意義。在實(shí)際的應(yīng)用中，軸承早期故障特征通常比較微弱；且振動傳輸路徑的衰減影響、以及環(huán)境噪聲的干擾均會對軸承振動信號的特征提取形成嚴(yán)重的阻礙[2]。因此，軸承的故障診斷為機(jī)械故障領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)與難點(diǎn)[3-4]。軸承的振動信號一般是非線性、非平穩(wěn)的信號。針對噪聲干擾下的非線性、非平穩(wěn)信號，傳統(tǒng)的振動信號分析方法，如傅里葉變換難以滿足實(shí)際需要[5]。經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(empirical mode decomposition, EMD)[6]是一種新穎的時頻分析方法，可直接根據(jù)信號本身的時間尺度特征進(jìn)行分解，其結(jié)果具有較高信噪比和時頻分辨率，因此被運(yùn)用在滾動軸承的故障特征提取中[7-8]，但其遞歸模式分解會導(dǎo)致估計(jì)誤差不斷傳遞，出現(xiàn)模態(tài)混疊等不良現(xiàn)象[9-10]。而變分模態(tài)分解(variational mode decomposition, VMD)采用非遞歸的處理策略，通過構(gòu)造并求解約束變分問題來實(shí)現(xiàn)對信號的分解；相比于EMD，VMD可抑制或避免模態(tài)混疊現(xiàn)象，并且具有更高的運(yùn)算效率及良好的噪聲魯棒性。趙洪山等[11]利用最大相關(guān)峭度解卷積對信號去噪，以峭度指標(biāo)選取VMD分解后的模態(tài)分量，通過分析模態(tài)分量包絡(luò)譜中幅值突出的頻率成分判斷軸承故障類型。Liu等[12]以峭度最大值為指標(biāo)，確定VMD的二次懲罰項(xiàng)及分解模態(tài)數(shù)，利用變分模態(tài)分量的能量熵來檢測銑削顫振。王新等[13]根據(jù)VMD分解的不同本征模態(tài)分量具有不同的頻帶能量，從故障信息的模態(tài)分量中提取特征，結(jié)合支持向量機(jī)來判斷軸承的工作狀態(tài)。張超等[14]將變分模態(tài)分解各模態(tài)分量的能量熵作為特征值，輸入支持向量機(jī)中，進(jìn)行軸承的故障診斷。然而，在以上支持向量機(jī)的核函數(shù)計(jì)算中，常常用歐氏距離來表示兩個樣本的距離，賦予每個變量相同的權(quán)重，忽略了各個變量間的相關(guān)性，所以不能準(zhǔn)確地進(jìn)行距離度量；而馬氏距離[15]通過計(jì)算數(shù)據(jù)樣本集之間的協(xié)方差距離，來度量兩個樣本之間的相似度，不僅不受特征量尺度的影響，而且能夠考慮特征量之間的相關(guān)性干擾，因此被廣泛用于樣本的距離測量中[16-18]。

本文提出一種基于變分模態(tài)分解和馬氏距離SVM的軸承故障診斷方法，簡稱VMD-MDSVM (mahalanobis distance support vector machine)。首先，采用小波軟閥值去噪法對原始振動信號進(jìn)行去噪，提取有效信號；其次，根據(jù)VMD不同模態(tài)分量的中心頻率大小不同的特點(diǎn)，確定分解模態(tài)數(shù)；并將分解后的模態(tài)分量的能量作為故障特征，輸入基于馬氏距離高斯核函數(shù)的SVM中，進(jìn)行故障診斷。實(shí)驗(yàn)表明，本文所提VMD-MDSVM方法可以迅速、有效地實(shí)現(xiàn)軸承的故障診斷。

1 小波去噪

在軸承振動信號的采集過程中，由于測量儀器的誤差、測量精度以及環(huán)境的影響，使得采集到的信號中伴隨著大量的噪聲，掩蓋了原始信號的特征信息，嚴(yán)重影響了軸承振動信號的分析以及軸承運(yùn)行狀態(tài)的辨別。近年來，小波分析方法[19]得到了快速地發(fā)展，小波閾值去噪具有良好的去噪效果，可以有效地提高信噪比。小波閥值去噪方法是根據(jù)信號在不同分辨率下呈現(xiàn)的規(guī)律特性, 在各種尺度下按照設(shè)定的閥值門限來調(diào)整小波系數(shù), 進(jìn)而完成去噪的數(shù)據(jù)處理方法[20]。其具體步驟如下：

(1)計(jì)算原始信號f(t)的小波變換。選擇合適的小波基和小波分解層數(shù)，將f(t)進(jìn)行小波分解，得到相應(yīng)的小波分解系數(shù)wj,k；

(3)利用估計(jì)的小波系數(shù)進(jìn)行小波重構(gòu)，便可得到估計(jì)信號f′(t)，即為去噪后的信號。

對小波系數(shù)進(jìn)行處理一般采用硬閥值法和軟閥值法。

硬閥值函數(shù)為

軟閥值函數(shù)為

雖然硬閾值法在均方誤差意義上要優(yōu)于軟閾值法，但是其信號會產(chǎn)生附加震蕩和跳躍點(diǎn)，不具有原始信號的平滑性，而軟閾值估計(jì)得到的小波系數(shù)整體連續(xù)性較好，從而使估計(jì)的信號不會產(chǎn)生附加震蕩。因此，本文采用軟閥值法對小波系數(shù)進(jìn)行處理。

2 變分模態(tài)分解

變分模態(tài)分解(variational mode decomposition, VMD)是一種完全非遞歸、自適應(yīng)和準(zhǔn)正交的信號分解方法。該方法通過構(gòu)造、迭代求解約束變分模型的最優(yōu)解，來獲取每個模態(tài)分量的頻率中心及帶寬，實(shí)現(xiàn)對信號的有效分解。假設(shè)欲將一個原始信號f分解為k個不同模態(tài)的固有模態(tài)函分量，則相應(yīng)的變分問題構(gòu)造過程如下。

(1)對于每一個IMF分量uk(t)，利用Hilbert進(jìn)行解調(diào)，得到其解析信號J(t)

(1)

其中，δ(t)是一個單位脈沖函數(shù)。

(2)將每個模態(tài)與指數(shù)項(xiàng)結(jié)合，對預(yù)估中心頻率進(jìn)行調(diào)整，把各個模態(tài)的頻譜調(diào)制到相應(yīng)的基頻帶上，即

(2)

(3)利用解調(diào)信號的H1高斯平滑指標(biāo)，估計(jì)各個IMF分量的帶寬，最終得到受約束的變分問題

(3)

式中，{uk}={u1,u2,,uk}為分解得到的k個IMF分量，wk表示所有中心頻率的集合，即Wk={w1,w2,,wk}。

在求解該約束變分問題時，需要將原始約束問題轉(zhuǎn)為非約束問題，為此引入二次懲罰項(xiàng)α及Lagrange乘子λ，引入的二次懲罰項(xiàng)α可以提高信號重構(gòu)的準(zhǔn)確度，Lagrange保證了約束條件的嚴(yán)格性。因此，原約束問題可轉(zhuǎn)化為如下無約束問題。

L({uk},{wk},λ)

(4)

(5)

(6)

(2)根據(jù)式(5)和式(6)分別更新uk和wk。

(4)若滿足迭代停止條件

則停止更新，輸出其結(jié)果；否則返回步驟(2)。

3 基于馬氏距離的SVM

支持向量機(jī)(SVM)是在統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化的理論基礎(chǔ)上發(fā)展而來的一種機(jī)器學(xué)習(xí)方法，其具有較強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力與泛化能力，能夠有效地解決小樣本、非線性以及局部極值等問題，實(shí)現(xiàn)對樣本的準(zhǔn)確分類。

給定一個訓(xùn)練樣本X={x1,x2,,xn}。其中，n為樣本的長度，每個樣本xi屬于一個分類y∈{-1,+1}，那么SVM原始模型可以表示為

s.t.yi[wφ(xi)+b]

≥1-εi,

εi≥0,

i=1,2,,n

(7)

其中，w為超平面的法向量，b/‖w‖決定了超平面的偏置量，εi為松弛變量，C是平衡因子。

dM(xi,xj)=(xi-xj)TM(xi-xj)

(8)

其中，矩陣M是一個半正定矩陣，稱為馬氏距離矩陣。對馬氏距離矩陣M進(jìn)行奇異值分解，可得M=AAT,因此，基于馬氏距離的高斯核函數(shù)可以表示為：

(9)

式中，σ>0，σ為函數(shù)的寬度參數(shù)，控制了函數(shù)的徑向作用范圍。為了求解式(7)，構(gòu)建Lagrange函數(shù)如下：

L(w,b,φM,ε,α,β)

(10)

式中，αi>0和βi>0為拉格朗日乘子。由于映射函數(shù)φM中的兩個參數(shù)A和σ一般是預(yù)先設(shè)置好的，因此可認(rèn)為是一個常量，拉格朗日函數(shù)L(w,b,φM,ε,α,β)也可以寫為L(w,b,A,ε,α,β)。公式(10)中的優(yōu)化問題就可以轉(zhuǎn)化為：

(11)

對L分別求(w,b,A,ε)的偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零，即

(12)

將式(12)帶入式(11)可得

(13)

從式(9)和(13)可以看出，有三個變量是未知變量，即支持向量機(jī)參數(shù)α、β和矩陣A。為了求解這三個參數(shù)，可以先固定矩陣A，求解關(guān)于α和β的子問題；再固定α和β，來求解關(guān)于矩陣A的子問題。通過交替更新α、β和矩陣A，優(yōu)化問題最終達(dá)到收斂，就可以得到式(13)中的最優(yōu)解。

公式(13)對α和β分別求偏導(dǎo)數(shù)，得到α和β的更新表達(dá)式，即

(14)

式(14)顯然是一個二次規(guī)劃問題，通常使用序列最小優(yōu)化算法(sequential minimal optimization,SMO)[21]進(jìn)行求解。求出α和β之后，對矩陣A進(jìn)行更新。設(shè)定公式(11)對矩陣A的偏導(dǎo)數(shù)為0時，很難得到A的解析表達(dá)式。因此，本文通過梯度下降的方法對A進(jìn)行更新。因在初始條件下，矩陣A是預(yù)先設(shè)置的，與最優(yōu)值的差異可能較大，所以需要反復(fù)對α、β和矩陣A進(jìn)行交替更新，以獲取最優(yōu)的矩陣A。

4 實(shí)驗(yàn)與分析

采用圖1所示的動力傳動故障診斷綜合實(shí)驗(yàn)臺(DDS)是一個完整的動力傳動系統(tǒng)，由扭矩傳感器、編碼器、調(diào)速驅(qū)動電機(jī)、齒輪箱、可編程磁力制動器以及數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)等組成，可以對磨損分析的齒輪箱診斷技術(shù)和振動特性等方面進(jìn)行研究。本文運(yùn)用該實(shí)驗(yàn)臺進(jìn)行軸承內(nèi)外圈、滾動體故障以及軸承正常情況下的實(shí)驗(yàn)，安裝在故障軸承端蓋上的3個傳感器用于采集振動信號。測點(diǎn)位置如圖2所示，選擇其中一個傳感器的信號進(jìn)行分析。在該實(shí)驗(yàn)中，滾動軸承型號為MBER16K深溝球軸承，其接觸角為00，內(nèi)徑254 mm,外徑51 mm,節(jié)徑38 mm, 采樣頻率設(shè)為2 560 Hz，采集20 000個振動信號點(diǎn)。其中，每種軸承狀況采集5 000個信號點(diǎn)。

圖1 動力傳動故障診斷綜合實(shí)驗(yàn)臺Fig.1 Drive train diagnostics simulator

圖2 傳感器測點(diǎn)布置Fig.2 Layout of sensor measurement points

由于采集的振動信號含有大量噪聲，需采用db3 3尺度小波軟閥值去噪法對原始振動信號進(jìn)行分解與重構(gòu)，以實(shí)現(xiàn)降噪。以外圈故障為例，去噪前后的信號如圖3所示。從圖中可以明顯看出，大量的噪聲信號已被濾除，波形變得更加光滑與清晰，說明去噪效果較好。

圖3 去噪前后信號Fig.3 Noising and de-noising signal

對去噪后的信號進(jìn)行變分模態(tài)分解，提取信號的各個變分模態(tài)分量以及相對應(yīng)的中心頻率。在VMD分解之前，需要先確定模態(tài)數(shù)k，k值偏大或偏小都會影響VMD分解的效果。由于每個模態(tài)的區(qū)分主要是由中心頻率的大小決定的，可通過觀察對比各個變分模態(tài)分量的中心頻率的方法來確定k。

當(dāng)出現(xiàn)中心頻率較為相近的模態(tài)分量時，便可認(rèn)為信號出現(xiàn)了分解。不同k值對應(yīng)的中心頻率如表1所示。

表1 不同k值所對應(yīng)的中心頻率Table 1 Central frequency of different k values

從表1中可以看出，當(dāng)k=5時，有兩個變分模態(tài)分量的中心頻率為595和751 Hz，相距較近，可認(rèn)為已出現(xiàn)過分解；當(dāng)k=6時，其中兩個變分模態(tài)分量的中心頻率為585和686 Hz，相距更近。因此，模態(tài)數(shù)k選4較為合適。懲罰因子α設(shè)為默認(rèn)值2 000，τ設(shè)置為0.2，以保證分解的保真度。

為了驗(yàn)證k=4是否合適，計(jì)算不同k值時VMD分解之后的各模態(tài)與原信號間的Pearson相關(guān)系數(shù)P，如表2所示。表2中，當(dāng)k=5時，模態(tài)u5的Pearson相關(guān)系數(shù)為0.072 6，該值較小；當(dāng)k=6時，模態(tài)u6的Pearson相關(guān)系數(shù)為0.050 3，該值也較小。這說明：當(dāng)k大于4時，某些模態(tài)與原信號的相關(guān)系數(shù)將變得很小，可判斷出該模態(tài)為虛假模態(tài)。

表2 不同k值下各模態(tài)與原信號間的相關(guān)系數(shù)Table 2 The correlation coefficient between the original signal and each mode under different k

同時，根據(jù)EMD利用正交性性能指標(biāo)(index of orthogonality,簡稱IO)來定量分析原信號的分解精度。IO值越小，則表明原信號的分解精度越高，分解效果就越好。其中，正交性性能指標(biāo)定義如下：

式中，L為信號的長度。

表3展示了在不同k值下VMD分解的IO值?？梢钥闯?，當(dāng)k=4時，IO值最??；隨著k值的增大或者減小，其IO值也相應(yīng)的增大或減小。因此，可以判斷出k值為4時較合適。

表3 不同k值下VMD分解的IO值Table 3 The IO of VMD decomposition under different k

采用EMD和VMD方法分別對去噪后的信號進(jìn)行分解，VMD的模態(tài)數(shù)選為4；這是因?yàn)镋MD分解后的能量主要集中在前幾個分量中，所以選擇前4個模態(tài)分量進(jìn)行分析。圖4和圖5為分解后的時域圖。觀察發(fā)現(xiàn)，各IMF分量的時域波形差別不太大，根據(jù)波形很難直觀的判斷出哪一個分量的故障特征最明顯。因此，需要觀察分解后的模態(tài)分量的頻譜，如圖6和圖7。

從圖6和圖7中可以看出，EMD分解后存在嚴(yán)重的模態(tài)混疊現(xiàn)象，而VMD有效地抑制了模態(tài)混疊，使得各變分模態(tài)分量集中在各中心頻率附近，保留了模態(tài)分量的大部分能量，這說明VMD較EMD分解效果好。為了更加清楚地刻畫各模態(tài)分量所含的故障信息，得到處理后各模態(tài)的包絡(luò)圖，如圖8和圖9所示。圖中，VMD各模態(tài)分量均含有明顯的故障特征；EMD各模態(tài)分量中也包含故障特征，但故障特征較不明顯。這說明：在噪聲的影響下，VMD可以更加有效地提取軸承的故障特性。但如果只利用VMD方法尋找故障特征頻率，是不能滿足要求的，因其無法準(zhǔn)確區(qū)分同一故障狀態(tài)下不同故障程度的故障特征。因此，本文從VMD中提取模態(tài)能量作為特征，采用馬氏距離SVM對各種軸承運(yùn)行狀態(tài)進(jìn)行識別。

圖4 EMD的各模態(tài)分量的波形Fig.4 Waveform of each mode component of EMD

圖5 VMD的各模態(tài)分量的波形Fig.5 Waveform of each mode component of VMD

圖6 EMD的各模態(tài)分量的頻譜Fig.6 Spectrum of each mode component of EMD

圖7 VMD的各模態(tài)分量的頻譜Fig.7 Spectrum of each mode component of VMD

圖8 EMD的各模態(tài)分量的包絡(luò)譜Fig.8 Envelope spectrum of modal components of EMD

圖9 VMD的各模態(tài)分量的包絡(luò)譜Fig.9 Envelope spectrum of modal components of VMD

提取上述4種軸承狀況的數(shù)據(jù)，每種分為50組，各組數(shù)據(jù)信號點(diǎn)數(shù)為100，分別用EMD和VMD處理各組數(shù)據(jù)，并計(jì)算各個模態(tài)分量的能量，構(gòu)成一個200×4的特征向量矩陣；針對每種軸承狀況類型，選擇34組數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，16組數(shù)據(jù)作為測試集。分別采用EMD-SVM、EMD-MDSVM、VMD-SVM和VMD-MDSVM共4種方法對軸承數(shù)據(jù)進(jìn)行分類識別，狀態(tài)識別結(jié)果如表2所示。

表2 各診斷方法的識別準(zhǔn)確率Table 2 Identification accuracy of diagnostic methods

從表2可以看出，相比于EMD-SVM 和EMD-MDSVM,VMD-SVM和VMD-MDSVM對軸承運(yùn)行狀態(tài)的識別具有更高的準(zhǔn)確率；這是因?yàn)镋MD在分解的過程中，會出現(xiàn)模態(tài)混疊現(xiàn)象且無法抑制，使得分解的結(jié)果不穩(wěn)定與不唯一，不能有效地提取出信號的特征分量，進(jìn)而影響SVM的分類準(zhǔn)確度；而VMD算法對噪聲具有較好的抗干擾能力，通過自適應(yīng)分解，將信號在頻域中從低頻到高頻逐次分離，分離出的變分模態(tài)分量可以克服模態(tài)混疊現(xiàn)象，因此實(shí)現(xiàn)了各分量的有效剖分，提取出了軸承運(yùn)行狀態(tài)的主要特征。此外，VMD-MDSVM在4種故障診斷方法中識別的準(zhǔn)確率最高，比VMD-SVM高出3%；這說明采用馬氏距離的SVM比傳統(tǒng)的SVM方法分類效果更好，主要是因?yàn)樵赟VM的高斯核函數(shù)計(jì)算兩個樣本的距離時，馬氏距離考慮了樣本各個屬性間的相關(guān)性，賦予其不同的權(quán)重，對兩個樣本的距離能更加準(zhǔn)確地進(jìn)行度量。

圖10為4種方法對測試樣本進(jìn)行分類時的識別錯誤個數(shù)。從圖10中可以明顯看出，VMD-MDSVMD的識別錯誤數(shù)最少，僅在外圈故障和滾珠體故障樣本中誤識2個，說明VMD-MDSVMD的效果要優(yōu)于其他算法；而EMD-SVM在軸承的每種狀態(tài)下都出現(xiàn)了錯誤識別，錯識樣本數(shù)最多，達(dá)到了13個，效果最差。同時，EMD-MDSVM 和VMD-SVM在軸承的不同運(yùn)行狀態(tài)下，也出現(xiàn)了不同程度的錯判，分別為5個樣本和11個樣本。另外，在四種軸承運(yùn)行狀態(tài)中，四種方法對軸承外圈故障樣本都出現(xiàn)了錯誤判別，說明四種方法在識別軸承外圈故障時不夠準(zhǔn)確，還需再針對軸承外圈故障進(jìn)行更加深入的研究。

圖10 四種方法在軸承各運(yùn)行狀態(tài)下樣本錯識個數(shù)Fig.10 The wrong identification number of samples of four method in various running states of bearings

5 結(jié) 論

本文提出一種基于變分模態(tài)分解(VMD)和MDSVM的滾動軸承故障診斷方法。首先利用小波軟閥值法對原始信號進(jìn)行去噪，然后根據(jù)變分模態(tài)的中心頻率確定分解模態(tài)數(shù)，最后將VMD分解后的變分模態(tài)能量作為特征向量樣本，輸入到馬氏距離SVM中進(jìn)行分類實(shí)驗(yàn)，并可得以下結(jié)論：1)小波軟閥值去噪可有效地去除原始信號中的噪聲信號；2)相比于EMD，VMD分解可有效的抑制模態(tài)混疊現(xiàn)象的發(fā)生；3)將馬氏距離引入SVM核函數(shù)的距離計(jì)算中，可準(zhǔn)確度量兩樣本的距離，提高SVM對軸承運(yùn)行狀態(tài)的識別率。但研究方法也存在不足，比如：在使用梯度下降法求解參數(shù)時，收斂速度慢，計(jì)算量大，使總的計(jì)算時間較長。在今后的研究工作中，需要尋找到一種更加先進(jìn)的優(yōu)化算法來提高計(jì)算效率。