◇劉愛東

“2、5、3 的倍數(shù)的特征”這部分內(nèi)容，人教版和蘇教版教材都安排在五年級(jí)下冊(cè)進(jìn)行教學(xué)，而且不約而同地都選擇借助百數(shù)表， 引導(dǎo)學(xué)生在表中依次圈出相應(yīng)數(shù)的倍數(shù)， 在直觀操作和觀察中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納特征，進(jìn)而得出判斷2、5、3 的倍數(shù)的特征的方法。然而，通過課后調(diào)查，我們發(fā)現(xiàn)，這種通過不完全歸納得出的結(jié)論，對(duì)學(xué)生而言，解決了“是什么”的問題，而涉及數(shù)學(xué)本質(zhì)的、更深層次的“為什么”，還是無(wú)從談起。我們借助人教版教材“你知道嗎”（判斷 2、5、3 倍數(shù)特征的道理）進(jìn)行了拓展教學(xué)，努力讓學(xué)生達(dá)成“愉悅性地體悟、理解性地學(xué)習(xí)、深層次地提升”，有效激發(fā)探究樂趣，感悟?qū)W習(xí)魅力。

一、游戲?qū)?，基于舊知生發(fā)新問題

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了2、5、3 的倍數(shù)的特征，在研究新問題之前，我們先一起玩一個(gè)游戲，比一比，看誰(shuí)反應(yīng)快。

依次出示：

下面哪些數(shù)是5 的倍數(shù)？5 的倍數(shù)的特征是怎樣的？ 825 258 1258 12580

下面哪些數(shù)是3 的倍數(shù)？3 的倍數(shù)的特征是怎樣的？ 825 258 1258 12580

學(xué)生爭(zhēng)搶著回答，隨著學(xué)生的回答，出示：判斷一個(gè)數(shù)是不是5 的倍數(shù)：只看個(gè)位， 個(gè)位上是5 或0 的數(shù)，一定是5 的倍數(shù)。

判斷一個(gè)數(shù)是不是3 的倍數(shù)：各位上數(shù)的和是3 的倍數(shù)的數(shù)，一定是3 的倍數(shù)。

師：是不是5 的倍數(shù)只要看個(gè)位，是不是3的倍數(shù)要看各位上數(shù)的和， 這個(gè)我們已經(jīng)很熟悉了，但如果再深入地追問一下，為什么判斷是不是5 的倍數(shù)，只要看個(gè)位就行了，而3 的倍數(shù)卻要看全部的數(shù)位呢？今天，我們就一起來(lái)研究這個(gè)問題。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在喜聞樂見的游戲活動(dòng)中，潤(rùn)物無(wú)聲地喚醒“2、5、3 的倍數(shù)的特征”這一已有經(jīng)驗(yàn)， 并在對(duì)這一特征追問的過程中產(chǎn)生新的、直指數(shù)學(xué)本質(zhì)的問題，推進(jìn)思維向更深處漫溯。

二、活動(dòng)導(dǎo)學(xué)，深究表象背后的本質(zhì)

（一）探究思考，明晰5和2的倍數(shù)特征的本質(zhì)。

1.思考交流，初探本質(zhì)。

師：請(qǐng)同學(xué)們拿出活動(dòng)單，先獨(dú)立完成活動(dòng)一，再在小組內(nèi)交流。

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學(xué)生一邊完成活動(dòng)一邊思考，再組內(nèi)交流。全班交流第1 題。對(duì)于（3），一個(gè)學(xué)生這樣回答。

生：第一種方法，是把各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字分開來(lái)乘（位值），第二種方法只是把個(gè)位上的數(shù)和不是個(gè)位上的數(shù)分開來(lái)乘。不管是乘10，還是乘100，只要不是個(gè)位上的數(shù)都是5 的倍數(shù)，所以只要分成個(gè)位上的數(shù)和不是個(gè)位上的數(shù)，判斷時(shí)只要看個(gè)位上的數(shù)就可以了。

2.借物析理，直觀理解。

師：說(shuō)得太精彩了！但從同學(xué)們的目光中看得出，一些同學(xué)還有疑問。我們順著她的思路，一起來(lái)捋一捋。

師：這里的 1 是 5 的倍數(shù)嗎？（生：是）這倒奇怪了，1 怎么可能是5 的倍數(shù)呢？

生：因?yàn)?1 在十位上，表示 1 個(gè) 10，而 10 是5 的倍數(shù)。

課件演示：10 個(gè)珠子，5 個(gè)一份 5 個(gè)一份，正好分完。

師：（在計(jì)數(shù)器的十位上撥2 個(gè)珠子）現(xiàn)在是不是5 的倍數(shù)？為什么？

生：是 5 的倍數(shù)，因?yàn)?1 個(gè) 10 是 5 的倍數(shù)，2個(gè)10 也是5 的倍數(shù)。

師：我不讓你們看到怎么撥，只告訴你們我在計(jì)數(shù)器的十位上又撥了1 個(gè)數(shù)，現(xiàn)在還是不是5 的倍數(shù)？能說(shuō)說(shuō)道理嗎？

生：還是5 的倍數(shù)，因?yàn)槊總€(gè)10 都是5 的倍數(shù)，所以不管十位上撥幾，都是5 的倍數(shù)。

師：我在百位上任意撥幾個(gè)呢？為什么？

生：還是5 的倍數(shù)，因?yàn)?00 是5 的倍數(shù)，所以不管有幾個(gè)百，都是5 的倍數(shù)。

生：以此類推，千位、萬(wàn)位不管是幾，也都是5 的倍數(shù)。

師：說(shuō)得真好！所以，我們?cè)谂袛鄷r(shí)，只要看哪一位就可以了？（生：個(gè)位）現(xiàn)在再看215，誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)，它能不能被5 整除，只要看它的個(gè)位，其他數(shù)位不用看的道理？

生：因?yàn)槠渌麛?shù)位上的數(shù)都是5 的倍數(shù)，所以只要看個(gè)位。 如果個(gè)位上的數(shù)是5 的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)也一定是5 的倍數(shù)；如果個(gè)位上的數(shù)不是5 的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)也一定不是5 的倍數(shù)。

3.類推整理，建構(gòu)模型。

師：你能根據(jù)這個(gè)道理，說(shuō)一說(shuō)，“4136 是不是5 的倍數(shù)”為什么只要看個(gè)位？

根據(jù)學(xué)生回答，板書：

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在教師提供的活動(dòng)單、屏幕演示分珠子、計(jì)數(shù)器不同數(shù)位上撥珠子等學(xué)習(xí)素材的引導(dǎo)下，通過演繹推理，建構(gòu)出按不同數(shù)位分段比較的數(shù)學(xué)模型，深刻闡釋了“判斷5 的倍數(shù)只看個(gè)位上的數(shù)”的內(nèi)在道理。

4.類比遷移，聯(lián)通道理。

師：5 的道理明白了，想想看，誰(shuí)和它的道理是一樣的？為什么？

生：2。因?yàn)橥瑯涌梢苑殖蓚€(gè)位上的數(shù)和不是個(gè)位上的數(shù)，十位上，10 里面有5 個(gè)2，百位上，100 里面有 50 個(gè) 2，千位上，1000 里面有 500 個(gè)2，所以十位、百位、千位都不用看，只要看個(gè)位就可以了。

（二）深化模型，探析3的倍數(shù)特征的本質(zhì)。

1.反思總結(jié)，內(nèi)化經(jīng)驗(yàn)。

師：5 和 2 的道理明白了，但是 3 呢，為什么不能只看個(gè)位？

生：因?yàn)槭簧系臄?shù)不一定是3 的倍數(shù)，比如 10 就不是 3 的倍數(shù)，10 個(gè)珠子，3 個(gè)一份 3 個(gè)一份，最后還剩1 個(gè)。百位上、千位上的數(shù)也一樣，都不一定是3 的倍數(shù)。

師：這就產(chǎn)生了第二個(gè)要研究的問題，判斷一個(gè)數(shù)是不是3 的倍數(shù)，為什么不能只看個(gè)位上的數(shù)，而是要看各位上的數(shù)的和？你打算怎么研究？

生：像剛才那樣，先舉例子，再分一分，從中尋找規(guī)律。

2.深入探析，還原本質(zhì)。

師：真棒！會(huì)用剛才的方法探究了?？椿顒?dòng)二，先獨(dú)立思考，再小組交流。

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生：12 中有 1 個(gè)十和 2 個(gè) 一 ，1 個(gè) 十 就是10，把 10 拆分，3 個(gè) 3 個(gè)地分還剩 1 個(gè)，1 和 2 合起來(lái)是 3，這個(gè) 3 又是 3 的倍數(shù)，所以 12 是 3 的倍數(shù)。

隨學(xué)生回答，屏幕演示：10 個(gè)珠子，3 個(gè) 3 個(gè)地分，分成3 份，最下面剩下1 個(gè)。

師：(板書：1+2=3)1 加 2 中的 1 跟 12 中十位上的1 一樣嗎？這個(gè)1 是怎么來(lái)的？

生：不一樣，十位上的1 表示10，而這個(gè) 1是10 除以3 之后得到的余數(shù)，10 個(gè)珠子3 個(gè)3個(gè)地分還剩下1 個(gè)。

師：加2 是什么意思？

生：個(gè)位上的2 沒有分，所以把十位上分剩下的1 和它合在一起繼續(xù)分。

師：42 會(huì)判斷嗎？

生：42 分成 4 個(gè)十和 2 個(gè)一，也就是 42=4×10+2。每個(gè) 10，3 個(gè) 3 個(gè)地分后都會(huì)余下 1，余下的 4 個(gè) 1 加上個(gè)位上的 2 等于 6，6 是 3 的倍數(shù)，所以42 是3 的倍數(shù)。

師：4 個(gè)1 里面不是還可以拿走一個(gè)3？為什么沒有拿走，而是直接用4 加呢？

生：如果不拿走，可以把這個(gè)4 和十位上的4 對(duì)應(yīng)著看，計(jì)算起來(lái)很簡(jiǎn)便。

生：我有補(bǔ)充，可以把 4×10 寫成 4×9+4，4個(gè)9 一定是3 的倍數(shù)，余下的4 加上 2 等于 6，6是3 的倍數(shù)，所以42 是3 的倍數(shù)。

師：我們把你的想法整理一下。

師：通過討論，我們有了新認(rèn)識(shí)，那4126 又該怎么辦呢？

……

師：說(shuō)得真好！你能仿照剛才的板書，把你的想法用式子表示出來(lái)嗎？

學(xué)生板書：

（三）抽象提升，形成解決問題的策略。

師：雖然2、5、3 的倍數(shù)的特征看上去不同，但如果仔細(xì)觀察它們的推理過程，你能發(fā)現(xiàn)它們的相通之處嗎？

生：它們都是先按數(shù)位一位一位地分拆，再根據(jù)是幾的倍數(shù)，每一位都分別除以幾，最后從余數(shù)中尋找規(guī)律，解決問題。

三、總結(jié)延伸，激發(fā)課后探究源動(dòng)力

師：總結(jié)得很到位。課后，同學(xué)們可以嘗試運(yùn)用自己發(fā)現(xiàn)的方法，去找一找4 的倍數(shù)的特征、8的倍數(shù)的特征，等等，你們一定會(huì)有更多新的發(fā)現(xiàn)。

小編有話說(shuō)：本課教學(xué)的前提是“對(duì)于幾個(gè)數(shù)的和來(lái)說(shuō)，如果其中的每一個(gè)數(shù)都是某個(gè)數(shù)的倍數(shù)，那么它們的和也一定是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)”。對(duì)此，可以事先設(shè)置準(zhǔn)備課或在本課的開頭設(shè)置一個(gè)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生通過舉例（包括正例和反例）、歸納，得出這個(gè)結(jié)論。