◇陳 敏

在第三屆中荷現(xiàn)實數(shù)學(xué)教育高峰論壇暨第八屆中國小學(xué)數(shù)學(xué)教育峰會上， 荷蘭專家米歇爾·維爾德休斯（Michiel Veldhuis）博士現(xiàn)場教學(xué)了一節(jié)三年級的代數(shù)啟蒙課，以具體、直觀的方式解讀了現(xiàn)實數(shù)學(xué)教育（RME）的相關(guān)理念，且使參會者深切感受到中荷數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的差異。

這節(jié)課是由荷蘭資深現(xiàn)實數(shù)學(xué)教育專家馬爾嘉（Marja Vanden Heuvel-Panhuizen）教授領(lǐng)銜的研究團隊（米歇爾博士是其中的主要研究人員）開發(fā)的早期代數(shù)系列課之一。據(jù)介紹，這一系列的代數(shù)課共有6 節(jié)，教學(xué)的重點是有關(guān)線性方程的代數(shù)推理，此為第一節(jié)課，經(jīng)過逐步形式化，至第6 節(jié)課達到能求解簡單二元一次方程組的目標(biāo)。

一 從教師引導(dǎo)學(xué)習(xí)到情境激活學(xué)習(xí)

一上課，米歇爾博士先邀請孩子們觀察課桌上的新學(xué)具——“掛擺（hanging-mobile）”。（如圖1）

圖1

師：你們一定看見了這里有一些奇怪的東西夾在桌子上，你們知道這是干什么用的嗎？

生1：這是上課要用的吧？

師：對，非常準(zhǔn)確的回答。那你們覺得這節(jié)課會做什么呢？

生1：我感覺要教數(shù)量相等這樣的內(nèi)容。

生2：我覺得像一個秤。

生3：我覺得不是秤，因為秤上面都標(biāo)有數(shù)字 1、2、3、4、5……這個上面沒有標(biāo)任何數(shù)字。

師：你們說得都很有道理。這是一個比較奇怪的秤，確實沒有標(biāo)刻度。現(xiàn)在我來告訴大家，我們叫它掛擺：它上面是可以掛東西的，搖搖擺擺的外形很像小寶寶床頭懸掛的玩具，這就是為什么我們叫它掛擺。

然后，圍繞“掛擺”, 米歇爾博士先后布置了3 個學(xué)習(xí)任務(wù)。

?小組任務(wù)1：只看不動，想象如何操作能夠保證掛擺保持水平，畫在海報紙上。

（注：每個小組的掛擺均呈水平狀態(tài)，其所掛小球卻不盡相同，比如組1 的情況是1 紅+1 黃=1 黃+2 白，如圖 2；組 2 的情況是 1 紅+1 黑=1 黑+3 藍(lán)， 如圖3……不同顏色的球大小相仿，質(zhì)量不同，但小球上沒有表示質(zhì)量的數(shù)字符號）

圖2

圖3

?小組任務(wù)2：動手操作，嘗試進行哪些操作可以使掛擺保持水平。 然后修改并豐富小組海報。

?小組任務(wù)3：請從抽屜中取出更多小球，嘗試進行哪些操作可以使掛擺仍保持水平。然后畫在海報上。

最后，教師組織集體交流，小結(jié)保持掛擺平衡的主要方法（實質(zhì)為等式的有關(guān)性質(zhì)）。

統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，小組活動期間教師和個別小組之間的談話共計39 次，其中由學(xué)生發(fā)起的談話29次，內(nèi)容多為詢問活動規(guī)則或分享結(jié)論，如“我們可以用自己的筆來畫海報嗎”“如果寫錯了，可以重來嗎”“我們發(fā)現(xiàn)了1 個紅球等于2 個白球”等。由教師主動發(fā)起的談話10 次，內(nèi)容多為督促學(xué)生參與或了解學(xué)生想法，如“你試過操作掛擺了嗎？所有的方法都試了嗎”“我看見你們把小球都從鏈條上方取到了鏈條下方， 你們是怎么想的”等。

最后的集體交流過程中教師發(fā)言約19 次，屬于有意講授或提問某個知識點的僅3 次，例如：我可以把上面這個球拿下來放到下面嗎？（指掛擺同一側(cè)的球相互交換位置）我可以把兩邊交換位置嗎？掛擺還是平的嗎？其余多為對學(xué)生發(fā)言的肯定，對匯報活動的組織等，如：你們還記得我們要研究的問題是什么嗎？你可以上前來操作一下看看是不是真的還平衡。（如圖4）

圖4

顯然，在這節(jié)課上，學(xué)生的學(xué)習(xí)非常自主。他們不是根據(jù)教師的言語線索學(xué)習(xí)，而是直接和情境對話——由“掛擺”系列情境問題引導(dǎo)他們感知“相等”的概念、體會等式的有關(guān)性質(zhì)。這也可以從三次小組活動期間學(xué)生主動發(fā)言的內(nèi)容指向上得到體現(xiàn)：學(xué)生越來越少關(guān)注教師的意愿，而越來越多地投入任務(wù)本身。（如表1）

表1 學(xué)生主動發(fā)言內(nèi)容指向統(tǒng)計表

本課中， 米歇爾博士向我們展示了另外一種教學(xué)形態(tài)，即教師對學(xué)生的引導(dǎo)作用更多體現(xiàn)在課前對教學(xué)情境的預(yù)想和設(shè)計中，而在課堂內(nèi)較少直接地講授和“小步子”提問。在課堂上，教師主要是觀察者與合作者——觀察和評估學(xué)生的表現(xiàn)水平，相應(yīng)地調(diào)整教學(xué)進度，并給予助力服務(wù)。馬爾嘉教授在她的專題報告《現(xiàn)實數(shù)學(xué)教育遇見中國數(shù)學(xué)教育》中提到，RME 的“R”即“Realistic（現(xiàn)實的、恰如其分的、逼真的）”，強調(diào)教師要提供給學(xué)生適切的問題情境（并非專指現(xiàn)實生活情境），通過情境去幫助學(xué)生產(chǎn)生與數(shù)學(xué)相關(guān)的、有意義的想法。

二 特別重視學(xué)生活動經(jīng)驗的積累

RME 認(rèn)為，學(xué)生對數(shù)學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識和理解總是從他們自己日常的、非正式的推理開始的［1］。米歇爾博士在課前還作了主題為《在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)高階思維》的專題報告，對培養(yǎng)高階思維的學(xué)習(xí)促進因素作了理論分析，其中特別提到“具身認(rèn)知理論（Embodied cognition）”和“表征重述理論（Representational redescription theory）”。前者強調(diào)活動性原則，即“學(xué)生的感覺運動系統(tǒng)在概念理解的發(fā)展中發(fā)揮著重要作用（Gallese &Lakoff,2005）”； 后者認(rèn)為人的認(rèn)識具有層次性，“那些初始的、隱含的、具體化的知識會進入使用語言或其他符號重述表征的下一階段，進而參與明確的語言-符號推理和明確的由假設(shè)指導(dǎo)下的實驗（Karmiloff-Smith,1992）”。

因此，這節(jié)課作為一節(jié)啟蒙課，學(xué)生的操作活動特別充分，不僅時間寬裕（全課用時約55 分鐘，其中學(xué)生操作時間約30 分鐘），而且自主支配空間也很大。 米歇爾除了提醒孩子們不要拉、拽掛擺，以免砸到自己，以及組員之間要相互傾聽、協(xié)作，鼓勵孩子們用各種方法去操控掛擺，觀察平衡的實現(xiàn)。 他有時會主動詢問：“你們在研究什么？”“這是真的嗎？你們可以操作給我看嗎？”但他沒有給出答案或者進行方法的指導(dǎo)。有時，學(xué)生偏離了活動主題，比如有一個小組興奮地告訴米歇爾，他們已經(jīng)測試出哪個球最重，正在找尋第二重的球，米歇爾也沒有阻止他們。筆者認(rèn)為，教師的行為可以被理解為：一方面，他對掛擺的情境足夠自信——自信掛擺會引導(dǎo)學(xué)生得出有益、有效的結(jié)論；另一方面，也可以看出這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)僅止于非正式地、預(yù)形式化地體會等式性質(zhì)，所以只要是操作掛擺，體會掛擺的工作原理，都被教師認(rèn)可為必要的探索過程，都有耐心去分享和等待。

基于充分的活動， 最后師生總結(jié)出了保持掛擺平衡的常用方法，即，掛擺兩邊同時添上或取走相同數(shù)量的同色小球，掛擺兩邊同時添上或取走質(zhì)量相等的小球（如1 個紅球?qū)?yīng)2 個白球），掛擺兩邊分別反復(fù)添上或取走質(zhì)量相等的小球（如1 個紅球=2 個白球→2 個紅球=4 個白球），調(diào)整同側(cè)小球的高低位置；整體交換掛擺左右兩側(cè)的小球……涉及了等式性質(zhì)的方方面面。 隨著數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的累積，學(xué)生確實具備了進一步形式化和數(shù)學(xué)化的潛力。

三 進一步的思考

現(xiàn)實數(shù)學(xué)教育提倡“教師應(yīng)當(dāng)與學(xué)生處在一種平等關(guān)系進行討論”“鼓勵學(xué)生積極地獨立思考、自主地作出發(fā)現(xiàn)”，但“表面上的平等實際賦予了教師更大的責(zé)任，對教師能力提出了更高的要求”［2］。當(dāng)教師要從臺前的主導(dǎo)轉(zhuǎn)換為幕后的設(shè)計時，其實需要付出更多的智力勞動；同時，課堂上的觀察與評估，特別是能基于觀察與評估及時作出教學(xué)上的調(diào)整也絕非易事。我們一線教師要有意識地去培養(yǎng)和鍛煉自己在這些方面的專業(yè)能力，真正成為課堂學(xué)習(xí)中的組織者、引導(dǎo)者與合作者。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出：數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。廣大教師普遍認(rèn)同數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的重要性，但對小學(xué)階段有哪些重要的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、怎樣的活動有助于積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、要積累到什么程度等都還沒有明確的認(rèn)識。特別是，我們?nèi)菀装呀?jīng)驗當(dāng)作手段而非目標(biāo)（以本課為例，國內(nèi)課堂可能以掛擺操作20 分鐘、等式探究20 分鐘這樣的結(jié)構(gòu)來教學(xué)），而且，由于直接經(jīng)驗的獲得需要做大量的準(zhǔn)備（包括教學(xué)具的設(shè)計和制作、場地的預(yù)定、學(xué)生的組織等），我們常常會用間接經(jīng)驗取代直接經(jīng)驗。這其中的教學(xué)效率和效益問題恐怕難以一概而論。