廣州大學(xué)附屬中學(xué) (510050) 韓智明

我國(guó)著名教育家孔子說(shuō)：“不憤不啟，不悱不發(fā).”意思是不到他努力想弄明白而得不到的程度不要去開導(dǎo)他；不到他心里明白卻不能完善表達(dá)出來(lái)的程度不要去啟發(fā)他.我想我們的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)特別是解題活動(dòng)也應(yīng)該如此，正如孔子又說(shuō)：“舉一隅不以三隅反，則不復(fù)也.”意為：“如果他不能舉一反三，就不要再反復(fù)給他舉例了.”在大量的教學(xué)活動(dòng)中，如果通過(guò)大量的變式練習(xí)還不能讓學(xué)生掌握和理解，就應(yīng)該反思和改進(jìn)我們的教學(xué)方法和策略了.下面這道習(xí)題是一道高三復(fù)習(xí)備考導(dǎo)數(shù)壓軸題，我在課堂習(xí)題講解的過(guò)程中伴有曲折、疑惑和驚喜諸多情感成份，現(xiàn)與大家一起分享.

試題已知函數(shù)f(x)=axex-(a+1)(2x-1).

(1)若a=1，求函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;

(2)當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案是這樣給的：

解法1：(1)問(wèn)略：

法①：由題意，得f′(x)=a(x+1)ex-2(a+1).令f′(x)=h(x)，則h′(x)=a(x+2)ex在x>0時(shí)恒為正數(shù)，∴函數(shù)h(x)即f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.而f′(0)=-2-a<0,f′(1)=2ea-2a-2≥0，∴f′(x)存在唯一根x0∈(0,1]，且函數(shù)f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減，在(x0,+∞)上單調(diào)遞增，∴函數(shù)f(x)的極小值也是最小值為f(x0)=ax0ex0-(a+1)(2x0-1)，故只需f(x0)≥0即可.

當(dāng)老師們看到第(2)問(wèn)這種解法后，感到方法巧妙地同時(shí)又有點(diǎn)蒙的感覺，學(xué)生看到后更是百思不得其解，共同的疑惑是為什么要取值1，而不是其它的數(shù)，而且代入1正好是參數(shù)a的取值范圍，這其實(shí)就是證明不等式恒成立時(shí)所運(yùn)用的一種證明方法，即必要性探路法.縱觀各種教輔資料關(guān)于運(yùn)用必要性探路法證明不等式恒成立問(wèn)題的時(shí)候，從來(lái)都沒有把證明過(guò)程說(shuō)清楚，代什么數(shù)？為什么代某個(gè)數(shù)正好得到參數(shù)范圍？都是給出答案的人在幕后操作，很少走向前臺(tái)，有些老師少于研究不知個(gè)中緣由，更不要說(shuō)接受教育的學(xué)生了.于是見到這種方法解題，多數(shù)老師直接避開或?qū)ふ移渌慕忸}方法了，甚至教育學(xué)生不要用這種不好解釋的方法解題，放任學(xué)生的一片迷茫.我當(dāng)然也是一樣，準(zhǔn)備轉(zhuǎn)戰(zhàn)其它“戰(zhàn)場(chǎng)”尋找更通俗易懂的方法去解決，然而幾個(gè)平時(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的學(xué)生在下面則要求弄懂為什么？

圖1

這時(shí)我們畫出兩函數(shù)圖像如圖1可知，當(dāng)x取1時(shí)顯然是兩條曲線的臨界點(diǎn)，如果x取其它值得到的a的取值范圍則是當(dāng)x取1時(shí)得到a的取值范圍的子集，故在本題中x應(yīng)該取1，只是出題人隱去了這一思維步驟，這種方法叫做必要性探路法，即在進(jìn)行一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化的時(shí)候主要特別注意問(wèn)題的等價(jià)性，也就是需要同時(shí)考慮充分性和必要性.但很多時(shí)候，為了尋找突破口(尤其是突然有個(gè)猜想)時(shí)，往往需要先利用必要條件(或充分條件)探路，然后驗(yàn)證其充分性(或必要性)，這種方法主要用在證明恒成立問(wèn)題當(dāng)中.

同學(xué)們聽了只這種解釋，臉上有贊嘆，有驚喜但更多地是茫然.

生2：那今后我們是不是遇到恒成立問(wèn)題，首先想到用這種方法處理呢？

師：我覺得這種方法不是通解通法，在解題時(shí)最好慎用！其實(shí)根據(jù)這種解法，先用必要性探路找a的取值范圍時(shí)，做題之前是要做很多鋪墊的工作，當(dāng)確定a的范圍后，第二步就只要證明其充分性滿足就可以了，其本質(zhì)是切線放縮和尋找切點(diǎn)的問(wèn)題，下面我給出證明充分性的第二種證法.

法②：由f(x)=axex-(a+1)(2x-1)得f(x)=a(xex-2x+1)-2x+1.

令N(x)=xex-2ex+e，∵N′(x)=(x+1)ex-2在(0,+∞)上單調(diào)遞增.由N′(1)=0易知

師：第二種解法主要是證明a的系數(shù)為正數(shù)，然后根據(jù)a的范圍進(jìn)行放縮得到證明.(這時(shí)候?qū)W生思維氣氛較活躍)是不是我們看到這種解法，此題就沒有其它的解法呢？這種方法雖然巧妙但是操作性不強(qiáng)，其實(shí)在解決有關(guān)恒成立問(wèn)題時(shí)還是有很多方法的，當(dāng)運(yùn)用某種方法處理數(shù)學(xué)問(wèn)題思維受阻時(shí)，要勤于思考，嘗試改變思維方式.

生3：我直接構(gòu)造函數(shù)處理，發(fā)現(xiàn)求導(dǎo)后非常復(fù)雜，看到上面第二種解法后受到啟發(fā)，直接把有關(guān)a的系數(shù)分離，運(yùn)用參變分離法處理也是可以的.

師：很好！參變分離法是解決恒成立問(wèn)題常用的方法，于是得到解法2.

解法2：(1)問(wèn)略：

生4：我剛才也是這么想的，但是看到分母太復(fù)雜，計(jì)算量挺大，沒有信心計(jì)算下去，原來(lái)還是可以的.

師：既然生4感慨生3的解法計(jì)算量太復(fù)雜，那我們?cè)偎伎家幌拢袥]有可以簡(jiǎn)化計(jì)算的方法呢？

生5：由前面解法中得到a的范圍是正數(shù)，如果能先證明出a是正數(shù)的話，分參就可以重新組合就可以簡(jiǎn)化計(jì)算.

師：是個(gè)很好的思路，繼續(xù)看看是否有其它方法.

生6：我們可以通過(guò)通過(guò)取x的某些值使得當(dāng)a≤0不恒成立，來(lái)限定a的取值范圍.

師：精彩！這樣的話我們就我們就可以把不等式中的與參數(shù)a有關(guān)的整體通過(guò)重新組合完全分理出來(lái)，這樣一來(lái)所構(gòu)造的函數(shù)就會(huì)顯得簡(jiǎn)單，便于計(jì)算，下面看解法3.

解法3：(1)問(wèn)略：

(2)由題設(shè)條件知，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f(x)≥0恒成立，即axex≥(a+1)(2x-1)對(duì)任意x>0恒成立.

①當(dāng)a=0時(shí)，取x=1，不等式不成立，故a≠0；

看到這種解法，課堂上氣氛高漲，很多同學(xué)覺得這種解法避開復(fù)雜的計(jì)算，使問(wèn)題顯得簡(jiǎn)單、操作性強(qiáng)且容易接受.

生8：這種解法的本質(zhì)與解法3的處理策略是一樣的，不過(guò)也不失為一種好方法.

師：非常好！生7的解法也屬于化繁為簡(jiǎn)的參變分離思想，也同樣易操作、容易被大家接受和學(xué)習(xí)！(這時(shí)響起熱烈的掌聲！我想這掌聲不只是為某位學(xué)生或是某種解法，而應(yīng)是為這種通過(guò)思考和啟發(fā)喚醒大家思維的模式.)生7的解法如下.

解法4：(1)問(wèn)略：

分類討論：

師：這種方法很妙！通過(guò)重新組合構(gòu)造函數(shù)證明不等式，也是一種重要的思想方法，結(jié)合函數(shù)圖像轉(zhuǎn)化和揭示參數(shù)所隱含的幾何意義去求解，此法重在結(jié)合圖像，要通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言說(shuō)清楚才是，下面根據(jù)生9的思路給出解法5.

解法5：(1)問(wèn)略：

令m(x)=(x+1)ex，則由m′(x)=(x+2)ex>0知m(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增.

圖2

如圖2，可知g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增且是凹函數(shù).

師：通過(guò)大家對(duì)此道習(xí)題的分析，以上五種方法其實(shí)就是解決恒成立問(wèn)題的思想和方法，我們一起來(lái)歸納一下：①利用必要性探路法；②直接一階或n階求導(dǎo)后分類討論(此題較為復(fù)雜)；③直接參變分離法；④重新組合構(gòu)造函數(shù)再進(jìn)行參變分離；⑤變形構(gòu)造函數(shù)通過(guò)數(shù)形結(jié)合.其實(shí)在面對(duì)一道習(xí)題的某種解法或某個(gè)問(wèn)題，我們要找尋破解的突破口，分析題設(shè)結(jié)構(gòu)，合理變式思考，善于變通解題思路，就會(huì)打開解題活動(dòng)的閥門.

反思：通過(guò)這堂解題方法探究課，我有深刻的體會(huì).我們?cè)谡n堂上進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)特別是數(shù)學(xué)解題教學(xué)活動(dòng)時(shí)，其中一個(gè)首要任務(wù)就是教會(huì)學(xué)生怎樣思考問(wèn)題，怎樣審題、怎樣尋找解題的突破口以及靈活變通.也就是說(shuō)在解題教學(xué)的課堂上，當(dāng)學(xué)生遇到一個(gè)陌生的數(shù)學(xué)問(wèn)題或是看到某個(gè)難題的奇妙的解法弄不懂時(shí)，作為教學(xué)的組織者，我們除了傳道、授業(yè)以外，解惑也是一個(gè)非常重要的環(huán)節(jié).在高三后期的復(fù)習(xí)備考中，訓(xùn)練的綜合性讓試題的難度和深度都有加大，特別是一些壓軸題的解題思路不容易發(fā)現(xiàn)甚至給學(xué)生不好講解，有些試題的解決處理方法多種多樣，當(dāng)遇到這種情況的時(shí)候，某些教師嚴(yán)格遵循復(fù)習(xí)資料的參考答案，拘泥于參考答案的方法，讓學(xué)生限于機(jī)械被動(dòng)的接受學(xué)習(xí)中，缺乏解題前的準(zhǔn)備，雙方的互動(dòng)和活動(dòng)鋪墊不夠，對(duì)學(xué)生的能力和知識(shí)儲(chǔ)備不了解，也就是說(shuō)沒有認(rèn)清學(xué)生已經(jīng)具備的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這樣就根本就不能達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生解題思維的效果，結(jié)果是當(dāng)學(xué)生在每次遇到這種問(wèn)題時(shí)仍然是一籌莫展.

“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心所在，即在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考問(wèn)題，只有我們老師自己從觀念上明白了所教授的數(shù)學(xué)問(wèn)題的內(nèi)容和本質(zhì)，才能教給學(xué)生真正的數(shù)學(xué)，才能站在教學(xué)研究的制高點(diǎn)，準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，才能知道學(xué)生什么時(shí)候需要和需要什么的問(wèn)題，才能成為數(shù)學(xué)教育功能的執(zhí)行者和傳播者.

一堂好的數(shù)學(xué)解題活動(dòng)課堂不應(yīng)該是平淡的，特別是對(duì)一道精彩習(xí)題的解法探究活動(dòng)更不能是暗淡無(wú)趣的.它應(yīng)該是在老師的啟發(fā)和引導(dǎo)下激發(fā)學(xué)生無(wú)限的思考，讓鮮活、靈動(dòng)的數(shù)學(xué)思維彌漫整個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)的空間，空間中我們需要有問(wèn)題的懸念、思維的沖突和頓悟后的欣喜.在解題的課堂，老師無(wú)需按照自己事先設(shè)定的程序行走，應(yīng)該遵循學(xué)生思維的發(fā)展進(jìn)程，及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的“誤”和“惑”，通過(guò)師生雙方參與對(duì)解題策略和方法進(jìn)行思考和啟發(fā)，防止學(xué)生思維僵化和在一條路上走到黑.在看似就要達(dá)到解決問(wèn)題的彼岸但卻遇到百思不得其解的困難之時(shí)，教師恰到好處地從處理策略或思維方法的高度進(jìn)行點(diǎn)撥，就會(huì)點(diǎn)燃學(xué)生思維的火花，就會(huì)讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維方法，感受數(shù)學(xué)思維邏輯的無(wú)窮魅力，也才能真正達(dá)到大教育家的“不憤不啟，不悱不發(fā)”的教育境界.