廣東省佛山市高明區(qū)高明實(shí)驗(yàn)中學(xué) (528500) 林建雯廣東省深圳市南頭中學(xué) (518052) 田彥武

一、問(wèn)題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1．

(1)設(shè)x=2是f(x)的極值點(diǎn)，求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

該題為2018年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷文科第21題，題目著重考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問(wèn)題.題目所涉及到的知識(shí)點(diǎn)有應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值，利用單調(diào)性證明不等式等.本題很好的考查了數(shù)學(xué)邏輯推理和數(shù)學(xué)基本運(yùn)算能力以及用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，特別是第(2)小問(wèn)，學(xué)生可通過(guò)對(duì)已知函數(shù)解析式進(jìn)行觀察、比較、綜合、抽象與概括，進(jìn)而構(gòu)造新的函數(shù)再次運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決不等式，以此來(lái)考查學(xué)生創(chuàng)新能力及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．

導(dǎo)數(shù)進(jìn)入中學(xué)教材，給傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)了生機(jī)和活力，為中學(xué)數(shù)學(xué)研究提供了新的視角、新的方向、新的方法和新的途徑，可以說(shuō)在函數(shù)命題這一塊開(kāi)辟了新的空間.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題所涉及的知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法豐富，與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、方程、不等式等眾多主干知識(shí)聯(lián)袂會(huì)具有新穎別致、不落俗套等特點(diǎn).同時(shí)，此類(lèi)題目引入?yún)?shù)后，更深層次的蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、構(gòu)造等數(shù)學(xué)思想方法，綜合考查學(xué)生的各種能力.特別是自然對(duì)數(shù)函數(shù)和以e為底的指數(shù)函數(shù)在近幾年的高考數(shù)學(xué)命題中很受命題者的青睞和器重！有時(shí)這兩種函數(shù)也會(huì)同時(shí)出現(xiàn)！以全國(guó)Ⅰ卷文科數(shù)學(xué)第2問(wèn)為例來(lái)說(shuō)：2018年不等式證明，2017年已知不等式恒成立求參數(shù)取值范圍問(wèn)題，2016年函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，2015年證明不等式，2014年不等式有解問(wèn)題，2013年單調(diào)性、極值，2012年不等式恒成立問(wèn)題，2011年證明不等式等．但是，無(wú)論怎么考，討論單調(diào)性都是考查的重點(diǎn).

二、問(wèn)題的源

1.源自課本

本題第(2)問(wèn)的設(shè)計(jì)完全取自于人教A版數(shù)學(xué)選修1-1第三章《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》第3.3單元《導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用》中的習(xí)題3.3B組題：

利用函數(shù)的單調(diào)性，證明下列不等式，并通過(guò)函數(shù)圖象直觀驗(yàn)證：

(3)ex>1+x，x≠0；

(4)lnx0.

其實(shí)，我們對(duì)不等式(3)和(4)的條件放寬并變形，會(huì)得到如下不等式：

(3)′ex≥1+x，x∈R；

(4)′lnx≤x-1，x>0.

關(guān)于考題與課本題目的關(guān)系我們?cè)谙挛闹性敿?xì)講解.

2.源自高考題

仔細(xì)對(duì)比發(fā)現(xiàn)2015年全國(guó)高考Ⅰ卷文科第21題第(2)問(wèn)和本題第(2)問(wèn)有異曲同工之處，函數(shù)解析式的特點(diǎn)也好，還是第(2)問(wèn)的解法也罷，的確比較類(lèi)似.原題如下：

設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx．

(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

從課本中改編題目，從往年高考中改編題目，是高考命題一貫的原則，所以認(rèn)真研究課本中的例題、習(xí)題，特別是B組的部分題目，認(rèn)真研究往年經(jīng)典的高考題目，是我們教學(xué)中的重要一環(huán)。關(guān)于本題和2015年考題之間的關(guān)系及其解法，請(qǐng)讀者自行研究，這里就不再贅述了.

三、問(wèn)題的解

下面我們給出文首高考題的解法：

第(2)問(wèn)是本題的關(guān)鍵與核心所在，方法比較多，以下提供三種證法：

目前，這一傳統(tǒng)文化習(xí)俗雖然不如過(guò)去那樣熱烈濃厚，廣泛得到傳承，但在梅里斯達(dá)斡爾族區(qū)已成為節(jié)日活動(dòng)，每逢正月十六這一天，達(dá)斡爾族學(xué)會(huì)都要組織活動(dòng)，載歌載舞慶祝這一具有達(dá)斡爾民族特色的傳統(tǒng)節(jié)日。

我們先證明不等式：ex-1≥x.此即為不等式(3)′.令g(x)=ex-1-x，則g′(x)=ex-1-1，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)<0，g(x)為減函數(shù)；x∈(1,+∞)時(shí)，g′(x)>0，g(x)為增函數(shù).則g(x)min=g(1)=e0-1=0，即ex-1≥x．

點(diǎn)評(píng)：本證法很好的利用了課本中的那兩個(gè)不等式，可以說(shuō)這個(gè)高考題完全取自于教材而又高于教材，這是高考命題的基本原則之一.而上述證法也很漂亮直接.當(dāng)然，上述兩個(gè)不等式畫(huà)圖也很容易理解.

點(diǎn)評(píng)：本證法也是我們解決恒成立問(wèn)題一貫采用的方法和手段，即分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化成求最值問(wèn)題.這個(gè)思路簡(jiǎn)單，容易想到，難點(diǎn)在于構(gòu)造新的函數(shù)，研究新的函數(shù)的最值問(wèn)題，需要學(xué)生有很好的運(yùn)算能力和意志品質(zhì)，要有耐心和耐力以及自信心等.

四、問(wèn)題的拓展

其實(shí)，只要我們認(rèn)真研究會(huì)發(fā)現(xiàn)，2019年天津高考文科第20題，也正好包含了自然對(duì)數(shù)函數(shù)和以e為底的指數(shù)函數(shù)，所研究的方法和手段基本一致，但又略高于文首的高考題.可以說(shuō)天津的考題應(yīng)該是命題者在充分研究全國(guó)Ⅰ卷文科的這道高考題目后所命制出來(lái)的一道題目.不同的是在設(shè)問(wèn)上有所不同，涉及到函數(shù)的零點(diǎn)和極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，具體解答請(qǐng)大家自行研究，此處不再贅述了.

設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-a(x-1)ex，其中a∈R.

(Ⅰ)若a≤0，討論f(x)的單調(diào)性；

另外，以下不等式也是很重要的一個(gè)不等式，在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的命題中會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)，讀者可自證.

求證：ex≥x+lnx，x>0.

五、教學(xué)建議和反思

新一輪課程改革和教材改革正在進(jìn)行中，與以往相比，這次更具有深遠(yuǎn)意義．特別是在這其中提出了六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和很多新的教學(xué)理念，如《課程標(biāo)準(zhǔn)》提倡注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，并指出：“人們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題時(shí)，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納模擬、空間想象、抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、資料處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過(guò)程．這些過(guò)程是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)，有助于學(xué)生對(duì)客觀事物中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和作出判斷．”因此，教師在教學(xué)中處理題目時(shí)不能就題論題，應(yīng)該正確引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真挖掘題目的內(nèi)涵和外延，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到編題者編寫(xiě)這些題目的意圖，這不僅不斷完善學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而且能激發(fā)學(xué)生對(duì)教材題目研究的興趣，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力是大有裨益的．《課程標(biāo)準(zhǔn)》同時(shí)指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過(guò)程和本質(zhì)．?dāng)?shù)學(xué)課程要講邏輯推理，更要講道理，通過(guò)典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動(dòng)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過(guò)程，體會(huì)蘊(yùn)涵在其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)．”因此，“在教學(xué)中，如何從課本例習(xí)題出發(fā)，進(jìn)行變式教學(xué)，無(wú)論從方法還是內(nèi)容上都起著‘固體拓新’之用，可收到‘秀枝一株，嫁接成林’之效，同時(shí)可培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，并使學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新能力得到發(fā)展．”

其實(shí)，從上述對(duì)題目的淵源分析及解法分析來(lái)看，這樣的命題風(fēng)格不僅章顯了命題人的智慧，而且還警示我們用題海戰(zhàn)術(shù)處理高考復(fù)習(xí)是徒勞的，教師必須高瞻遠(yuǎn)矚地研究和探討歷年高考經(jīng)典試題，分析這些題目的背景及更深層次的東西，挖掘其數(shù)學(xué)思想和方法，從內(nèi)涵和外延兩個(gè)角度去認(rèn)識(shí)和理解，這樣我們的高考復(fù)習(xí)既高效，又省力．