浙江省金華市第六中學(xué) (321000)

張劍平

高中數(shù)學(xué)平面向量教學(xué)對(duì)投影的應(yīng)用沒有引起足夠的重視，大部分教師在復(fù)習(xí)平面向量的數(shù)量積這一章節(jié)，只會(huì)輕描淡寫的講解投影的定義.向量作為代數(shù)與幾何的紐帶，素有數(shù)形結(jié)合的橋梁之美稱，在中學(xué)數(shù)學(xué)具有廣泛的應(yīng)用，正由于其兼?zhèn)洹皵?shù)”與“形”的雙重身份，數(shù)量積具有豐富的背景內(nèi)涵，加之解法靈活多樣備受命題者青睞，問題設(shè)置由定向量的數(shù)量積到動(dòng)向量數(shù)量積的最值或者取值范圍，難度越來越大，解決的辦法通常有：坐標(biāo)法、基底法、構(gòu)圖法、極化恒等式等，如果我們從新的視覺——投影來思考，很多高難度的數(shù)量積問題將迎刃而解，下面舉例說明如何利用投影法破解一類數(shù)量積問題，供讀者參考.

一、平面向量的投影

人教A版教材必修4對(duì)投影作出如下定義：

圖1

圖2

二、應(yīng)用舉例

分析：如果用坐標(biāo)法需要引入?yún)?shù)角，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求數(shù)量積的范圍，如果從投影角度來思考，只要選好投影軸，很快可以解決問題.

圖3

圖4

A.I1>I2>I3B.I2>I3>I1

C.I2>I1>I3D.I3>I1>I2

分析：很多考生感覺無從下手，有考生嘗試建立坐標(biāo)系，求相關(guān)的直線方程，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而利用數(shù)量積公式運(yùn)算，到最后比較數(shù)量積的大小還是非常困難.如果能從投影角度來思考，選好投影軸，并取動(dòng)點(diǎn)的特殊位置，問題將快速破解.

解：如圖4，選OA3為投影軸，當(dāng)P1與A1重合，P2與A2重合時(shí)，P3與A3重合時(shí)，假設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為2，根據(jù)投影的定義可求I1=6,I2=12,I3=10.故選B.

圖5

=4sin2θ+8cos2θ+8=

分析：此題的常規(guī)解法是以AB所在的直線為x軸，以AB的中垂線為y軸建系，設(shè)O(x,y),可求點(diǎn)O的軌跡方程為圓的方程，利用圓的一些幾何性質(zhì)和數(shù)量積的坐標(biāo)公式，最終轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最大值問題.如果從投影角度出發(fā)，問題將轉(zhuǎn)為一個(gè)平面幾何問題，簡(jiǎn)答過程也將簡(jiǎn)化.

圖6

分析：此題的常規(guī)解法仍然是以O(shè)為原點(diǎn)建系，設(shè)A(a,0),B(0,b),利用圓的參數(shù)方程設(shè)點(diǎn)C0(a+2cosθ,2sinθ),利用數(shù)量積公式把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,cosθ二元函數(shù)的最值問題，仍然是個(gè)比較難的二元最值問題.如果從投影角度思考，結(jié)合幾何意義將快速破解此題.

圖7

三、結(jié)語

平面向量數(shù)量積是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，充分利用平面向量數(shù)量積的幾何意義，利用投影法解決一類數(shù)量積最值問題，真正實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通，注重知識(shí)之間的相互聯(lián)系，挖掘隱性知識(shí)，學(xué)會(huì)用不同的視角觀察問題、分析問題、解決問題.教師在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)典型例題一題多解，深度挖掘，觸類旁通，認(rèn)識(shí)清楚問題的本質(zhì)，可以使學(xué)生的解題思路更加開闊，提高解題速度，全面提高學(xué)生的知識(shí)水平、核心素養(yǎng)和思維品質(zhì).