陳剛，陳云，王煒

(1.湖南工業(yè)大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，湖南株洲，412007；2.電傳動控制與智能裝備湖南省重點實驗室，湖南株洲，412007)

在過去20年中，隨著高速通信網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的快速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)受到眾多學(xué)者的關(guān)注[1-2]。網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)由傳感器、控制器、執(zhí)行器等連接而成，具有低成本、易安裝、易維修等優(yōu)點，在工業(yè)控制領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[3]。然而，分析帶有量化的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性問題是不可避免的。目前，采用量化反饋控制處理網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的量化問題是最流行的方法之一，反饋中的量化誤差是網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)性能保障的重要指標(biāo)，所以，對帶有量化誤差的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定性進(jìn)行分析具有重要意義[4]。近年來，人們針對網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的量化問題進(jìn)行了大量研究[1-10]，如：PHAT等[5]使用魯棒控制方法研究量化反饋控制系統(tǒng)，最終設(shè)計了1個魯棒穩(wěn)定控制器；TSUMURA等[6]考慮網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)受量化與隨機(jī)丟包的影響，研究了具有無限量化水平的對數(shù)量化器的均值穩(wěn)定性，揭示了量化水平與丟包概率之間的關(guān)系；LIU等[7]分析了帶有混合出發(fā)和隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)攻擊的T-S模糊系統(tǒng)的量化穩(wěn)定性問題；ZHOU等[8]基于后向的自適應(yīng)控制方法對量化器的輸入信號進(jìn)行了處理。盡管研究者們對網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的量化問題研究取得了一定的成果，但對于一類帶有量化的線性網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性問題研究較少。為此，本文首先將成熟的LK理論和時滯系統(tǒng)控制方法[11-21]與網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)量化特性相結(jié)合，建立1個網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)靜態(tài)量化模型。然后，通過構(gòu)建1個全新的泛函以及運用1個由二階B-L不等式與基于函數(shù)的輔助型不等式衍生的新積分不等式、逆凸方法和自由權(quán)矩陣，對網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)靜態(tài)量化模型的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，得到1個以線性矩陣不等式(LMI)形式存在的全新穩(wěn)定性判據(jù)，最后通過數(shù)例仿真結(jié)果來說明該判據(jù)的有效性和優(yōu)越性。

1 系統(tǒng)描述

為表述簡單，采用如下標(biāo)號：Rn和Rn×m分別代表實數(shù)域的n維向量空間和n×m的矩陣空間；若矩陣X＞0，則表示矩陣X是對稱正定矩陣；0和I分別為零矩陣和單位矩陣；矩陣或矢量的上標(biāo)T和-1分別表示矩陣或矢量的轉(zhuǎn)置和求逆；定義Sym{N}為N+NT，其中N為任意矩陣；在塊矩陣中，“*”表示其對稱項，diag{b1,…,bn}代表塊對角矩陣。

在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中，在線性控制率作用下，系統(tǒng)模型可描述為

式中：x(t)∈Rn，為系統(tǒng)狀態(tài)向量；u(t)∈Rm，為系統(tǒng)控制輸入；K為系統(tǒng)控制增益矩陣；A和B為有合適維度的系統(tǒng)矩陣。

假設(shè)所用量化器為對數(shù)量化器，有如下量化級數(shù)集合u[9]：

其中：ρ為量化密度，且滿足0＜ρ＜1，u0＞0。

圖1所示為帶有量化的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，圖中，量化器1的作用是量化狀態(tài)信號，量化器2的作用是量化控制輸入信號?？刂菩盘柨擅枋鰹?/p>

式中：h為采樣周期。

圖1 網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of network system

量化器的映射函數(shù)為

令y=x(ikh)，f(v(t))和g(x(ikh))滿足

假設(shè)兩者均是對稱的，fi(vi)=-fi(-vi)，gy(yj)=-gy(-yj)(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)。根據(jù)扇形有界條件，有[10]

其中：Δfi(vi)和Δgj(yj)為量 化 誤差 ，為表述簡單方便，令Δgj(yj)，δf=δfi，δg=δgj，并定義Δf和Δg為

故f(?)=(I+Δf)v，g(?)=(I+Δg)y。

將式f(?)和g(?)代入(3)得到量化反饋控制器：

再將式(9)代入式(1)，帶有量化的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)表述為

其中：τk表示從狀態(tài)采樣時刻ikh開始從傳感器到執(zhí)行器收到數(shù)據(jù)時刻的時滯。定義d(t)=t-ikh，并有系統(tǒng)初始條件x(t)=φ(t)，則式(10)可以改寫成

其中：d(t)取值范圍為0≤h1≤d(t)≤h2；h1和h2分別表示時滯下界與時滯上界；初始狀態(tài)φ(t)為給定的向量值函數(shù)。

注釋1將復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)靜態(tài)量化模型變化成廣義時滯系統(tǒng)模型，這樣，利用成熟的時滯系統(tǒng)控制方法去分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性將變得較容易。

2 網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

為獲取1個網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的新穩(wěn)定性判據(jù)，引用如下相關(guān)引理。

引理1[15-17]給定正定矩陣G∈Rn，對于任意可導(dǎo)函數(shù)x(s)∈[a,b]→Rn，有如下不等式成立：

其中：

引理2[20]存在常數(shù)?∈(0,1)，矩陣X＞0，任意矩陣M1，M2和任意向量?！蔙k，有如下不等式成立：

其中：Ψ(?)=[(2-?)X,0;0T,(1+ ?)X]。

在給出主要定理之前，首先令xT(t+s)=和h2-h1=h12，并有如下定義：

定理給定標(biāo)量h1和h2，0≤h1≤d(t)≤h2，存在正定對稱矩陣P∈R5n×5n；Q1和Q2∈R4n×4n；G1，G2，Z1和Z2∈Rn×n，且存在具有合適維數(shù)的任意矩陣N1，N2，M1和M2，有線性矩陣不等式

成立，則式(11)是漸近穩(wěn)定的。式中：

證明首先構(gòu)造全新的增廣L-K泛函：

其中：

在計算過程中存在如下恒等式：

對V(xt)求導(dǎo)，可得：

不難發(fā)現(xiàn)如下恒零等式成立：

對于具有合適維數(shù)的任意矩陣N1和N2，有

再基于引理1，將式(18)和(19)中所含的積分項經(jīng)過簡單的代數(shù)運算，得

最后根據(jù)引理2處理式(23)得：

若式(12)和(13)成立，則有Φ≤0，即V?(xt)≤0，由L-K穩(wěn)定性定理可知網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(11)漸進(jìn)穩(wěn)定。證明完畢。

注釋2與文獻(xiàn)[16]中的泛函相比，所構(gòu)建的全新增廣泛函增加了更多的系統(tǒng)狀態(tài)信息，同時使用了更加有優(yōu)勢的二階B-L積分不等式與基于函數(shù)的輔助型積分不等式相結(jié)合的新不等式。仿真實例表明獲得的新判據(jù)保守性降低。然而，在泛函中，矩陣P，Q，G和Z需要滿足正定條件，怎樣利用B-L不等式去放松正定限制條件仍有待研究。

3 仿真實例

例1 考慮經(jīng)典時滯系統(tǒng)模型(式(11))，并有如下系統(tǒng)矩陣參數(shù)：

表1所示為系統(tǒng)無量化時，取不同的h1得到的時滯最大允許上界值h2。由表1可知：當(dāng)h1分別取0，0.3，0.7，1.0和2.0時得到不同的h2，通過與文獻(xiàn)[13-14，16-17，20]中的結(jié)果相比較，結(jié)果表明由本文方法所得h2有較大提高，這說明所獲得的新漸進(jìn)穩(wěn)定性判據(jù)的保守性明顯降低。

表1 不同h1下的允許上界h2Table1 Admissible upper bound of h2for different h1

例2 考慮文獻(xiàn)[21]中的網(wǎng)絡(luò)采樣系統(tǒng)模型：

令δf=δg= ?，控制器參數(shù)K=-[1.125，1.125]。

表2所示為系統(tǒng)有量化時，將YALMIP程序包加載到MATLAB中后，通過仿真得到不同h1下的最大允許h2。從表2可知：取不同h1時可得到不同有效的h2；在區(qū)間[h1，h2]內(nèi)，帶有量化的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

表3所示為h1=0.1，控制器參數(shù)K不變和取不同的δf=δg=δ時得到的h2最大值。從表3可知：隨著δ不斷變大，h2最大值越來越小。這一方面說明量化程度對系統(tǒng)穩(wěn)定性分析非常重要，另一方面說明在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，量化能夠減少網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的資源占有率。

表2 不同h1下的最大允許h2Table2 The maximum allowed h2for different h1

表3 不同δ時的最大允許h2Table3 The mximum allowed h2for different δ

4 結(jié)論

1)研究了一個網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)靜態(tài)量化問題?；贚-K穩(wěn)定性理論，分析了系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性，用1個結(jié)合二階B-L不等式與基于函數(shù)的輔助型2個不等式的新不等式、逆凸方法和含自由權(quán)的恒零等式去處理所構(gòu)造的全新L-K增廣泛函，推導(dǎo)出1個新的穩(wěn)定性判據(jù)。

2)采用MATLAB建立數(shù)值實例仿真，仿真結(jié)果表明了所建立的漸進(jìn)穩(wěn)定性判據(jù)具有少保守性和有效性。

3)文中僅僅研究了網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中具有無記憶特性靜態(tài)量化器，對具有記憶特性的動態(tài)量化器有待進(jìn)一步研究。