王成強(qiáng)

全國大學(xué)數(shù)學(xué)競賽活動每年舉辦一屆，有預(yù)賽與決賽之別，每年十月份進(jìn)行預(yù)賽，預(yù)賽中表現(xiàn)優(yōu)異者參與次年舉辦的決賽[1]。全國大學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題分為數(shù)學(xué)專業(yè)類與非數(shù)學(xué)專業(yè)類，它們的命制角度新穎，趣味性濃郁，創(chuàng)新性充分，能增加大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，能為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供有效的課后補(bǔ)充，能豐富學(xué)生檢視學(xué)習(xí)效果的手段、為教師提供檢驗(yàn)教學(xué)效果的手段，能為大學(xué)數(shù)學(xué)試題的設(shè)計(jì)提供示范。 大學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題的研究對大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與授課都有重要的啟發(fā)性意義。本文旨在以一道競賽題為例，探析中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題對教學(xué)的啟示。本文的研究對象是第十屆(2018年)大學(xué)數(shù)學(xué)競賽數(shù)學(xué)專業(yè)類第四題[2]，即

本文擬從“設(shè)計(jì)特點(diǎn)”、“解法分析”、“教學(xué)啟示”三方面展開對問題(*)的研究。

1 設(shè)計(jì)特點(diǎn)研究

第(1)小問簡單，第(2)小問比較復(fù)雜，第(1)小問對第(2)小問的解答有一定啟發(fā)性作用，第(2)小問又依賴于第(1)小問。 總體上，問題(*)難度層層增大，小問題之間關(guān)系緊密，共同構(gòu)成一個“有機(jī)”整體，具有高度的統(tǒng)一性與完整性。

2 解法研究

此解法的思路來自于競賽組委會提供的答案，其解答想法直接且思路簡單易懂。

于是當(dāng)x∈(0,1]時，有|f(x)|2≤0·x2C=0。 又f(0)=0，故在[0,1]上，恒有f(x)=0。

3 教學(xué)啟示

中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽已經(jīng)舉辦10屆，其辦賽宗旨是幫助任課教師提高大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，幫助高校培養(yǎng)人才、服務(wù)教學(xué)、促進(jìn)高等院校數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)改革，幫助國家和社會發(fā)現(xiàn)、甄別、選拔數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才，為青年學(xué)子展示其數(shù)學(xué)能力的舞臺[5]，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽在這些方向已經(jīng)取得了不錯的成效[6-9]。 非數(shù)學(xué)專業(yè)類試題主要考察應(yīng)試者對微積分理論知識的掌握，數(shù)學(xué)專業(yè)類試題由高等代數(shù)、數(shù)學(xué)分析、解析幾何三大知識模塊構(gòu)成，這些試題對大學(xué)數(shù)學(xué)類課程(如數(shù)學(xué)專業(yè)的高等代數(shù)、數(shù)學(xué)分析、解析幾何等課程)的教學(xué)有重要的啟示。

3.1 大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透

“授之以魚，不如授之以漁”。 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最主要目的是借其解決數(shù)學(xué)問題。 因此，大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)既要重視概念、性質(zhì)、典型例題、解題技巧等的講授，也要重視滲透理解數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)的多種視角的思想，重視滲透發(fā)現(xiàn)處理數(shù)學(xué)問題方法的思想，重視滲透數(shù)學(xué)技巧背后隱藏著的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

數(shù)學(xué)思想的滲透，要以具體的數(shù)學(xué)問題為背景。課程教學(xué)過程中，教師切忌脫離實(shí)例傳授數(shù)學(xué)思想，而是在理論知識講授或者例題示范的過程中，將課前精心準(zhǔn)備好的問題審題、問題分析與問題解答展示給學(xué)生，將無形的思想寓于有形的具體問題與其解答過程中，讓學(xué)生更具象地感知到問題中蘊(yùn)藏著的數(shù)學(xué)思想。 例如，在驗(yàn)證滿足問題(*)條件的函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1]上總成立著f(x)=0的過程中，用到了“為驗(yàn)證函數(shù)f(x)≡0可微可通過驗(yàn)證m(x)f(x)≡0，其中m(x)恒不為零”“為驗(yàn)證非負(fù)函數(shù)m(x)f(x)≡0可通過驗(yàn)證supm(x)f(x)≡0”“為確定出supm(x)f(x)可通過對函數(shù)m(x)f(x)求導(dǎo)、找出單調(diào)區(qū)間加以完成”。 這些思想僅憑語言極難描述，只有通過思索問題(*)的解答或閱讀問題(*)的解題過程，并結(jié)合自己的解題經(jīng)驗(yàn)，心才能有所得；這些思想對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)大有裨益，能幫助學(xué)生強(qiáng)化活用“為驗(yàn)證f(x)≡0可通過驗(yàn)證f′(x)≡0且fmax≡0來完成”這一思想的意識。

數(shù)學(xué)思想的滲透，要結(jié)合教材知識體系安排來開展。數(shù)學(xué)類課程教材的編著者一般是教學(xué)科研經(jīng)驗(yàn)豐富的相關(guān)鄰域的專家，他們會有意識地將數(shù)學(xué)思想科學(xué)合理地“寄存”在教材的例題、課后習(xí)題等內(nèi)容中。 數(shù)學(xué)教師課前要認(rèn)真把握教材，課程教學(xué)中要引領(lǐng)學(xué)生在適當(dāng)?shù)臅r間、在正確的“地點(diǎn)”將“寄存”好的思想“取走”。 教師在什么時候、什么知識模塊滲透什么數(shù)學(xué)思想，應(yīng)最大程度地遵照教材的先后順序。 教師在備課階段不要漏掉教材中的數(shù)學(xué)思想，在課程教學(xué)中不要隨意發(fā)揮、更不要試圖集中講完所有數(shù)學(xué)思想。 做到這幾點(diǎn)，教材就會得到充分利用，學(xué)生就會在感知到一種數(shù)學(xué)思想之后，通過動手做題，加深對此數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識，并為感知并接受下一種數(shù)學(xué)思想做好準(zhǔn)備。在給定的課時內(nèi)，教師引領(lǐng)學(xué)生“取”完所有的數(shù)學(xué)思想，這就意味著該門課程的教學(xué)任務(wù)的完成。

數(shù)學(xué)思想的滲透，可結(jié)合真實(shí)的數(shù)學(xué)歷史趣聞。數(shù)學(xué)思想的感知活動也曾真實(shí)地發(fā)生在許多數(shù)學(xué)家身上，結(jié)合發(fā)生在數(shù)學(xué)家身上的真實(shí)故事滲透數(shù)學(xué)思想，教師通過其語言描述，讓學(xué)生“置身”于數(shù)學(xué)歷史人物與數(shù)學(xué)歷史情景中，引導(dǎo)學(xué)生了解一種數(shù)學(xué)思想的產(chǎn)生背景、產(chǎn)生過程以及它的局限性，幫助學(xué)生加深對該數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識。

數(shù)學(xué)思想的滲透，要調(diào)動學(xué)生的主觀能動性與課堂參與的熱情。數(shù)學(xué)思想無形，學(xué)生只有與授課教師共同參與問題的閱讀、分析、解答等全過程，通過師生之間思想的溝通，學(xué)生才能對其有所感知。數(shù)學(xué)思想無形，只有通過適量的隨堂練習(xí)與充分的課后練習(xí)加深對其的認(rèn)識。因此，教師需要激發(fā)學(xué)生的課堂參與的熱情以確保學(xué)生感知到數(shù)學(xué)思想，需要調(diào)動學(xué)生的主觀能動性以確保學(xué)生真正地掌握數(shù)學(xué)思想。

3.2 大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力

大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)在幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識體系的同時，也要重視幫助學(xué)生養(yǎng)成從問題出發(fā)(結(jié)合已知條件)尋找解決關(guān)注問題的思路與線索的能力。一般地，數(shù)學(xué)能力包括邏輯推理能力、科學(xué)計(jì)算能力、轉(zhuǎn)化劃歸能力、抽象思維能力等。

數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，要遵循循序漸進(jìn)的原則。數(shù)學(xué)能力的養(yǎng)成不能一蹴而就，是靠學(xué)生經(jīng)過大量習(xí)題訓(xùn)練之后逐漸積累的，任課教師要遵循事物發(fā)展的規(guī)律，在適當(dāng)?shù)貢r候幫助學(xué)生提升特定的數(shù)學(xué)能力，切勿操之過急。例如，在學(xué)習(xí)L’Hpital法則階段，就要求學(xué)生掌握正確運(yùn)用L’Hpital法則驗(yàn)證極限恒等式的能力，在學(xué)習(xí)Taylor多項(xiàng)式理論階段，就要求學(xué)生掌握正確借助于Taylor多項(xiàng)式驗(yàn)證極限恒等式的能力，在期末復(fù)習(xí)或考研復(fù)習(xí)階段，就要求學(xué)生掌握正確運(yùn)用L’Hpital法則和借助于Taylor多項(xiàng)式驗(yàn)證極限恒等式的能力。

數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，要采用科學(xué)合理的課程學(xué)習(xí)評價方式。為動態(tài)監(jiān)測學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升，科學(xué)合理的課程學(xué)習(xí)評價方式應(yīng)既要注重過程性評價，又要重視課程考試的卷面成績所反映出的數(shù)學(xué)應(yīng)試能力。 現(xiàn)目前各高校普遍采用的一種評價方式是將平時表現(xiàn)所得成績與期末卷面成績的加權(quán)平均作為學(xué)生課程學(xué)習(xí)的綜合評價成績。此法比較省事，顧及到了過程性評價，兼具學(xué)生的課程學(xué)習(xí)的定性評判與定量分?jǐn)?shù)，它是一種科學(xué)合理的課程學(xué)習(xí)評價方法。諸如高等代數(shù)、解析幾何、數(shù)學(xué)分析等課程的平時表現(xiàn)所得成績可適當(dāng)考慮學(xué)生在數(shù)學(xué)競賽等活動中的表現(xiàn)，這有助于更多地體現(xiàn)對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的評價。

3.3 大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要重視培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識與熱愛探索的品質(zhì)

接受大學(xué)數(shù)學(xué)教育，是為大學(xué)畢業(yè)之后的工作和學(xué)習(xí)中的科研做準(zhǔn)備?？蒲行枰獏⑴c者的創(chuàng)新意識與熱愛探索的品質(zhì)。事實(shí)上，創(chuàng)新意識與熱愛探索的品質(zhì)在解答數(shù)學(xué)問題中也必不可少，例如，在問題(*)中，從學(xué)習(xí)微分方程xf′(x)=Cf(x)的經(jīng)驗(yàn)中探索出，需要在分不等式|xf′(x)≤C|f(x)|的兩端同時乘以x-C-1，換言之，在這里就將常微分方程的積分因子法創(chuàng)新地用到了微分不等式中。

數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識與熱愛探索數(shù)學(xué)的品質(zhì)表現(xiàn)為熱愛做數(shù)學(xué)題、喜好挑戰(zhàn)高難度數(shù)學(xué)題、熱衷于對一道數(shù)學(xué)題給出多種求解策略、喜歡參與課堂學(xué)習(xí)等。為培養(yǎng)大學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識與熱愛探索數(shù)學(xué)的品質(zhì)，任課教師在教授課程時要隨時關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識與熱愛探索數(shù)學(xué)的品質(zhì)的表現(xiàn)，給學(xué)生正反饋，逐步培養(yǎng)出學(xué)生的創(chuàng)新意識與熱愛探索的品質(zhì)。

3.4 大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要重視引導(dǎo)學(xué)生感受到數(shù)學(xué)蘊(yùn)藏的趣味性

大學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)定要完成的學(xué)習(xí)內(nèi)容多，課程教學(xué)時間又十分有限，參與課程的學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)還參差不齊，大學(xué)學(xué)習(xí)相較中小學(xué)學(xué)習(xí)的氛圍較寬松，所有這些都要求大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)需要充滿趣味性，俗話說，“興趣是成功之母”，只有課堂氣氛活躍、數(shù)學(xué)蘊(yùn)藏的趣味性展示在學(xué)生面前，才能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主觀能動性，進(jìn)而才能保質(zhì)保量地完成教學(xué)任務(wù)。大學(xué)數(shù)學(xué)的任課教師可借助于大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題目幫助其增強(qiáng)課堂的趣味性。大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題趣味性濃郁，它們雖源于書本，但難度遠(yuǎn)超出書本難度，容易引起學(xué)生挑戰(zhàn)的意愿。

4 結(jié) 語

本文從設(shè)計(jì)特點(diǎn)、解法分析、教學(xué)啟示三個視角研究了第十屆(2018年)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽數(shù)學(xué)專業(yè)類預(yù)賽第四題〔即問題(*)〕，并基于此給出中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題對大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示。 經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)該題來源于教材而高于教材，能力立意突出，趣味性濃郁。從解法的研究過程中覺察到，該題難度層層增大，各小問之間相互依賴，具有高度的統(tǒng)一性與完整性。從研究設(shè)計(jì)特點(diǎn)與解法分析的過程得到四點(diǎn)啟示：大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透、要重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、要重視培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識與熱愛探索的品質(zhì)、要重視引導(dǎo)學(xué)生感受到數(shù)學(xué)蘊(yùn)藏的趣味性。