周韋潤(rùn),姜文剛

(江蘇科技大學(xué) 電子信息學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212000)

電池荷電狀態(tài)(state of charge,SOC)是鋰離子電池重要的性能指標(biāo)之一，表示電池的最大剩余容量[1]。在線準(zhǔn)確估計(jì)鋰離子電池的SOC是設(shè)計(jì)出高效、合理的電池管理系統(tǒng)的基礎(chǔ)。

目前，國(guó)內(nèi)外常用的SOC估計(jì)方法有：① 安時(shí)(Ah)計(jì)量法[2]：Ah計(jì)量法不僅需要準(zhǔn)確SOC初始值，而且隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)誤差會(huì)逐漸增大；② 開路電壓法[3]：開路電壓法需要將電池長(zhǎng)時(shí)間靜置后才能獲得SOC值，多用于實(shí)驗(yàn)室研究，不適合實(shí)際工程的應(yīng)用；③ 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[4]：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法需要對(duì)大量的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，運(yùn)算量非常大。此外，還有模糊預(yù)測(cè)法[5]、內(nèi)阻法和卡爾曼濾波法[6-7]。

現(xiàn)階段，在實(shí)際工程中通常采取擴(kuò)展卡爾曼濾波算法(extend kalman filter,EKF)和無跡卡爾曼濾波算法(unscented kalman filter,UKF)對(duì)電池SOC進(jìn)行在線估計(jì)。文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]提出一種基于模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化的卡爾曼濾波算法和有限差分算法對(duì)電池SOC進(jìn)行估計(jì)，有效避免了非線性函數(shù)需用Taylor級(jí)數(shù)展開，并忽略了高階項(xiàng)引起的誤差。文獻(xiàn)[10]提出利用改進(jìn)Sage-Husa優(yōu)化自適應(yīng)無跡卡爾曼濾波的算法，增加了噪聲估值器對(duì)系統(tǒng)誤差進(jìn)行補(bǔ)償，減少了系統(tǒng)噪聲的干擾。但是在電池實(shí)際工作工程中，由于電池充放電程度的加深，電芯溫度升高，忽略了電池的額定容量等參數(shù)不斷變化對(duì)電池SOC估算精度帶來的影響。文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[12]建立溫度補(bǔ)償模型，有效減少了溫度對(duì)電池模型參數(shù)的影響，但是在對(duì)SOC估計(jì)過程中，忽略了電池在充放電的始末時(shí)刻模型精度不足的影響。

本文基于以上研究中的不足，建立基于BIC準(zhǔn)則的變階RC等效電路模型，解決模型精度和實(shí)用性的矛盾，采用基于遺傳算法優(yōu)化擴(kuò)展卡爾曼濾波算法對(duì)SOC進(jìn)行在線估計(jì)，并通過實(shí)驗(yàn)和仿真，驗(yàn)證算法的有效性。

1 基于BIC準(zhǔn)則的變階RC等效電路模型

一個(gè)良好的電池模型必須具備以下兩個(gè)條件：① 能夠準(zhǔn)確地描述電池的動(dòng)、靜態(tài)特性；② 模型本身的復(fù)雜程度低，易于工程實(shí)現(xiàn)。事實(shí)上，鋰離子電池的電壓特性是兩端陡、中間平穩(wěn)的非線性曲線，采用2階的電池模型雖然易于工程實(shí)現(xiàn)，但是容易造成重要數(shù)據(jù)的丟失，特別是在電池充放電的初期和末期，不能較為精確地?cái)M合電池特性，模型精度較低。而采用3階模型雖然能夠獲得較高的辨識(shí)精度，但是隨著模型階數(shù)的增加，帶來的計(jì)算量也成倍增加，實(shí)用性較差。本文在權(quán)衡模型復(fù)雜程度、精確性和實(shí)用性之間的矛盾后，提出以變階RC等效電路模型作為研究對(duì)象，其電路原理如圖1所示。

圖1 變階RC等效電路模型

圖1中：Cn為電池在常溫下的額定容量；IL和Ut為電池的端電流和端電壓；Cp1和Rp1為反映電池極化效應(yīng)的電容和電阻；Cp2、Cp3和Rp2、Rp3為模型的變階電容和變階電阻；開關(guān)S1、S2為變階RC模型的切換開關(guān)，可以實(shí)現(xiàn)1階、2階和3階RC等效電路模型之間的相互切換；R0為歐姆內(nèi)阻；OCV為電池開路電壓，是關(guān)于SOC的函數(shù)，可描述為

OCV=a1/SOC+a2lnSOC+

a3ln(1-SOC)a4SOC+a5

(1)

式中a1～a5為基于最小二乘算法辨識(shí)的待定常數(shù)。

在實(shí)際使用中，電池的階數(shù)未知，在兼顧模型準(zhǔn)確性和簡(jiǎn)易性的同時(shí)，確定不同SOC處RC模型的階數(shù)成為一個(gè)難點(diǎn)。由于電池電路模型參數(shù)較少，而BIC準(zhǔn)則更傾向于選擇參數(shù)較少的模型，因此BIC準(zhǔn)則的應(yīng)用便于確定模型的階數(shù)，解決了電池模型精確性和適用性的矛盾。

BIC準(zhǔn)則的一般形式可以描述為

BIC=kln(N)+2ln(L)

(2)

式中：k為模型參數(shù)個(gè)數(shù)；N為樣本數(shù)量；L為似然函數(shù)。本文用殘差平方和作為似然函數(shù)，可描述為

(3)

式中：Ut為電池端電壓；IL為電池端電流；下標(biāo)j表示RC網(wǎng)絡(luò)標(biāo)號(hào)；τj為RC網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間常數(shù)；n為RC網(wǎng)絡(luò)階數(shù)，其取值范圍為1～3。在式(2)中，ln(L)、和kln(N)分別表示模型擬合的優(yōu)良性和擬合過程中的懲罰力度，隨著模型擬合程度的加深，這2個(gè)值均變得很小，能夠避免過度擬合的情況。

由圖1可知，1階RC模型需要辨識(shí)開路電壓OCV、電池內(nèi)阻R0、極化內(nèi)阻Rp1和極化電容Cp1四個(gè)參數(shù)。隨著模型階數(shù)的增加，每增加1階，需要增加2個(gè)待辨識(shí)參數(shù)，因此模型參數(shù)的個(gè)數(shù)k和模型階數(shù)的關(guān)系可表示為

k=2n+2

(4)

將式(3)和(4)代入式(2)即可得到基于BIC準(zhǔn)則的RC階數(shù)選擇模型：

(2n+2)ln(N)

(5)

基于BIC準(zhǔn)則建立的模型可以確定不同SOC處的模型的最優(yōu)階數(shù)，模型兼顧了實(shí)用性、準(zhǔn)確性和簡(jiǎn)易性等要求，可以較好地提高對(duì)鋰離子電池兩端陡、中間平穩(wěn)的非線性電壓特性的辨識(shí)能力，為精確的SOC估計(jì)提供了合適的電池模型。

傳統(tǒng)SOC估算策略中的狀態(tài)變量是模型中的電容、電阻和SOC，但是模型中的參數(shù)都是關(guān)于SOC的函數(shù)，因此對(duì)于同一模型，在同一時(shí)刻可能會(huì)有多個(gè)SOC的解，從而導(dǎo)致估計(jì)結(jié)果非法。為了避免這個(gè)矛盾，假設(shè)電池模型中的電容電壓在初始時(shí)刻為0，則可以得到以下遞推公式：

Upj,k=exp(-Δt/τj)Upj,k-1+

Rpj(1-exp(-Δt/τj))IL,k

(6)

式中：Δt為采樣周期，設(shè)采樣周期為1 s，IL,k為第k時(shí)刻的電流采樣值，Upj,k為第j個(gè)RC網(wǎng)絡(luò)在k-1時(shí)刻的端電壓。

為了減少在SOC估算過程中變量參數(shù)的個(gè)數(shù)，本文將SOC作為唯一的狀態(tài)變量建立狀態(tài)方程，則系統(tǒng)狀態(tài)方程為：

SOCk=f(SOCk-1,IL,k-1)=

(7)

式中：η為庫倫系數(shù)，可以通過電池充放電測(cè)試獲??；C為電池的標(biāo)稱容量；ωk為系統(tǒng)隨機(jī)噪聲。

系統(tǒng)的觀測(cè)方程由圖1和式(6)確定，則觀測(cè)方程為

(8)

式中：n為變階RC模型的階數(shù)；νk為系統(tǒng)測(cè)量噪聲。整個(gè)觀測(cè)方程Ut,k是關(guān)于SOC的函數(shù)。

2 基于遺傳算法優(yōu)化EKF的SOC估計(jì)

2.1 EKF算法

對(duì)于非線性的離散系統(tǒng)，其狀態(tài)方程和觀測(cè)方程分別是[9-10]：

(9)

式中：XK+1為K+1時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)矩陣；f(XK)為K時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程；ZK+1為K+1時(shí)刻系統(tǒng)測(cè)量矩陣；h(XK+1)為K+1時(shí)刻系統(tǒng)測(cè)量方程；WK、VK+1是期望為0的白色噪音。

對(duì)于系統(tǒng)干擾WK、測(cè)量噪音VK+1和狀態(tài)方程初始量X0可做如下特性的假設(shè)：

E{XK}=0，E{VK+1}=0,E{X0}=μ0

(10)

E{[X0-μ0][X0-μ0]T}=P0

(11)

Cov{WiWj}=W=diag{w1w2w3w4w5w6}

(12)

Cov{ViVj}=V=diag{v1v2v3v4v5v6}

(13)

FKXK+WK

(14)

HKXK+1+VK+1

(15)

將狀態(tài)方程和觀測(cè)方程線性化后即可啟動(dòng)卡爾曼濾波算法，設(shè)模型輸入為uk，算法遞推過程如下：

XK+1|K=f(XK,uK)

(16)

PK+1|k=fX(K)PkfX(K)T+W

(17)

(18)

PK+1=[I-KK+1HK]PK+1|K

(19)

XK+1=XK+1|K+KK+1(Zk+1-HKXK+1|K)

(20)

采用卡爾曼濾波算法對(duì)電池SOC值進(jìn)行在線估算。由于電池模型參數(shù)在2個(gè)相鄰采樣周期內(nèi)變化緩慢，因此鋰電池的非線性狀態(tài)方程和觀測(cè)方程可標(biāo)記為：

(21)

根據(jù)式(6)～(8)和(21)，可做如下定義：

(22)

式中：xk+1為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣；uk為系統(tǒng)輸入變量，在電池模型中，輸入變量為電池端電流；A為f對(duì)x求偏導(dǎo)的雅克比矩陣；B為f對(duì)u求偏導(dǎo)的雅克比矩陣；H為Ut對(duì)x求偏導(dǎo)的雅克比矩陣。

得到xk和yk后，可根據(jù)本文介紹的EKF算法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行在線聯(lián)合估計(jì)。由EKF的遞推公式可知，隨著濾波步數(shù)的增加，模型假設(shè)的初始狀態(tài)矩陣x0與實(shí)際狀態(tài)矩陣不一致時(shí)，對(duì)系統(tǒng)的影響較小。而系統(tǒng)干擾wk、觀測(cè)噪音vk是對(duì)模型參數(shù)估計(jì)精度產(chǎn)生影響的主要因素。由于其初始值需要在濾波之前給出，且隨著濾波步數(shù)的增加保持不變，因此為了確保模型參數(shù)的估計(jì)誤差呈漸進(jìn)收斂性，噪聲矩陣的選取至關(guān)重要。一般而言，為了取得較高的辨識(shí)精度，需要選取多個(gè)噪音矩陣多次試驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比，但是效果不是很好，并且獲取的過程十分困難。

2.2 采用遺傳法優(yōu)化EKF噪聲矩陣

實(shí)際上，對(duì)于噪音矩陣的辨識(shí)可以轉(zhuǎn)化為約束條件含參的最優(yōu)問題。理論上，要求EKF噪聲矩陣服從正態(tài)分布，但是在電池實(shí)際運(yùn)行過程中，其噪聲矩陣是一組隨機(jī)數(shù)。本文采用遺傳算法獲w、v的最優(yōu)解。與傳統(tǒng)的辨識(shí)方法相比，遺傳算法的優(yōu)勢(shì)在于只需要目標(biāo)函數(shù)的值就可以隨機(jī)選取符合條件的最優(yōu)參數(shù)，因此遺傳算法對(duì)尋找最優(yōu)的EKF噪聲矩陣具有一定的可行性和高效性。

在模型的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程中，干擾矩陣有1個(gè)變量，觀測(cè)噪音矩陣有1個(gè)變量，它們的協(xié)方差矩陣是對(duì)數(shù)矩陣，分別取為：

w=diag(w11)

(23)

v=diag(v11)

(24)

將干擾矩陣和噪音矩陣中的2個(gè)待辨識(shí)的參數(shù)合成1個(gè)矢量向量，該向量為：

ε=(w11,v11)

(25)

通過GA算法對(duì)符合種群條件的最優(yōu)參數(shù)進(jìn)行求解。

為了增強(qiáng)搜索能力，采用二進(jìn)制式的編碼方式。將向量ε中的元素進(jìn)行二進(jìn)制編碼得到子串，將k個(gè)子串鏈接到一起，形成一個(gè)完整的染色體，記作εb。將最初隨機(jī)產(chǎn)生的一組數(shù)目組成種群，即隨機(jī)產(chǎn)生由m個(gè)二進(jìn)制串組成的矢量：

(26)

這個(gè)矢量構(gòu)成初始種群，作為遺傳的初代。每代的每個(gè)個(gè)體元素的上、下限的約束條件為：

g=1,2,3,…,gmax

(27)

(28)

式中L表示需要進(jìn)行估計(jì)的長(zhǎng)度，個(gè)體L越大，搜索的范圍就越廣，反之則越小。

按照式(28)所示的目標(biāo)函數(shù)計(jì)算每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度，按照取比例選擇的方式，將已有的父代個(gè)體按照目標(biāo)函數(shù)的值從大到小排列，將最前面的Lex個(gè)個(gè)體作為優(yōu)秀個(gè)體直接傳遞到下一代中[13-17]。若在此操作中，某個(gè)個(gè)體的估計(jì)誤差超過了預(yù)計(jì)誤差的最大上限時(shí)，需要將該迭代個(gè)體舍棄。該個(gè)體必須滿足的條件是：

(29)

將剩下的個(gè)體放入匹配池中進(jìn)行交叉、變異操作，完成后將這些個(gè)體送入下一代。在此過程中，需要選擇對(duì)算法收斂性具有直接影響的交叉概率Pc和變異概率Pm的值，在形成g+1個(gè)子代群體后重復(fù)上述操作，繼續(xù)計(jì)算群體的目標(biāo)函數(shù)值。求滿足種群收斂的最優(yōu)染色體的解的過程就是不斷重復(fù)選擇、交叉和變異的過程，即可得到滿足最優(yōu)濾波條件的w、v矩陣。

3 仿真及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本文以標(biāo)稱電壓為3.2 V、標(biāo)稱容量為4 180 mA·h的18650磷酸鐵鋰電池作為模型測(cè)試對(duì)象，搭建測(cè)試平臺(tái)。電池測(cè)試平臺(tái)由上位機(jī)、可編程溫控箱和可編程充放電設(shè)備等組成。對(duì)電池在DST工況下做充放電實(shí)驗(yàn)，該工況涵蓋了車輛加速、減速、勻速和制動(dòng)等運(yùn)動(dòng)狀況，通過上位機(jī)采集電池端電壓、端電流和SOC等數(shù)據(jù)，記錄頻率為1 Hz。數(shù)據(jù)采集平臺(tái)如圖2所示。

圖2 數(shù)據(jù)采集平臺(tái)

圖3給出了DST工況下遺傳算法優(yōu)化EKF噪聲矩陣的結(jié)果。設(shè)置種群數(shù)目為80，最大迭代次數(shù)為30，交叉概率Pc=0.8，變異概率為Pm=0.015，選擇操作比例為0.1。

圖3 迭代次數(shù)和最優(yōu)解

圖4給出了各個(gè)算法的對(duì)比結(jié)果，其中圖4(a)分別給出了安時(shí)計(jì)量法、基于傳統(tǒng)EKF的SOC估計(jì)結(jié)果和基于遺傳算法優(yōu)化EKF的SOC估計(jì)結(jié)果。從圖中可以看出，基于遺傳算法優(yōu)化卡爾曼濾波的SOC估計(jì)策略能夠有效克服系統(tǒng)噪聲的干擾，具有很好的跟蹤性能。圖4(b)分別給出它們的誤差曲線。從圖4(b)可以看出：隨著仿真的深入，傳統(tǒng)EKF算法和安時(shí)計(jì)量法的誤差隨著計(jì)算時(shí)間的增加呈現(xiàn)出發(fā)散的趨勢(shì)。

圖4 算法對(duì)比

表1總結(jié)了DST測(cè)試工況下，各算法對(duì)SOC估算的誤差對(duì)比結(jié)果。由對(duì)比結(jié)果可知，基于遺傳算法優(yōu)化擴(kuò)展卡爾曼濾波的SOC估計(jì)算法最大誤差小于1.5%，無論是精度還是收斂度均優(yōu)于其他幾種算法。

在實(shí)際使用中，動(dòng)力鋰電池的SOC估計(jì)算法不僅需要有較高的準(zhǔn)確性和實(shí)時(shí)性，還需要有較強(qiáng)的魯棒性。圖5給出了GA-EKF算法在DST實(shí)驗(yàn)中針對(duì)魯棒性的測(cè)試結(jié)果，其初始參數(shù)分別設(shè)置為SOC(0)=0.98，P=diag([0.0001 5 0.01])，R=[50]，Q=(10-4)diag([0.001 3 0.072])。ΔSOC0為真實(shí)值與估計(jì)初始值之間的誤差百分比，本文分別在誤差為10%、15%和20%的3種情況下進(jìn)行仿真測(cè)試，驗(yàn)證算法的魯棒性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：雖然初始時(shí)刻SOC的設(shè)定值偏離實(shí)際值較遠(yuǎn)，但是算法能夠?qū)崿F(xiàn)SOC的估計(jì)值快速向真實(shí)值逼近(700 s內(nèi))；在逼近真實(shí)值之后，SOC的估計(jì)值在真實(shí)值附近有較小的波動(dòng)，不僅能滿足精度需求，還能滿足魯棒性要求。

表1 DST工況下各種算法對(duì)比

圖5 魯棒性測(cè)試

4 結(jié)束語

本文提出一種基于遺傳算法優(yōu)化的擴(kuò)展卡爾曼濾波SOC估計(jì)方法。一方面，為了克服電池模型準(zhǔn)確性和簡(jiǎn)易性的矛盾，設(shè)計(jì)出一種基于BIC準(zhǔn)則的變階RC等效電路模型；另一方面，將表示系統(tǒng)噪聲和觀測(cè)噪聲的信息進(jìn)行矩陣化，同時(shí)引入遺傳算法對(duì)噪聲矩陣進(jìn)行最后優(yōu)化處理，克服由噪聲引起的誤差。搭建測(cè)試平臺(tái)，在DST測(cè)試工況下，通過與其他估計(jì)算法的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，證明GA-EKF算法具有較高的優(yōu)越性，SOC的最大估計(jì)誤差在1.35%以內(nèi)，說明具有較高的工程應(yīng)用價(jià)值。