武波， 賈建文

山西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院， 山西 臨汾 041000

在生物數(shù)學(xué)的研究中，捕食模型是重要的課題之一. 捕食模型的研究起源于Lotka和Volterra的偉大工作[1]. 后來，許多學(xué)者在此基礎(chǔ)上選擇各種功能性反應(yīng)函數(shù)來更好的研究其動力學(xué)性質(zhì). 功能性反應(yīng)函數(shù)主要有食餌依賴和捕食者依賴兩種類型，例如Holling類[2，3]、比率依賴、Beddington-DeAngelis等.在這些功能性反應(yīng)函數(shù)中，Arditi和Ginzburg[4]指出比率依賴功能性反應(yīng)函數(shù)是較為合理的選擇.經(jīng)典的比率依賴捕食模型可見文獻(xiàn)[5，6].

另外，考慮到人類活動的影響，我們在捕食模型中考慮收獲項很有必要，早期研究結(jié)果表明收獲對種群動力學(xué)有較大影響.因此，具有收獲項的捕食模型被廣泛研究[7～9].除此之外，在捕食食餌種群后捕食者的再生過程不是瞬時的，存在時間滯后. 基于上述因素的考慮，我們建立如下具有時滯和收獲的比率依賴捕食模型：

(1)

這里x(t),y(t)分別表示在時刻t食餌和捕食者的種群密度. 參數(shù)r,K分別表示食餌的內(nèi)稟增長率及環(huán)境容納量，d是捕食者的死亡率，n,c1,c2分別是半飽和常數(shù)，捕食率，轉(zhuǎn)化率.而q1,q2,E1,E2代表收獲食餌和捕食者的收獲能力系數(shù)和努力量. 所有參數(shù)都是正常數(shù).

(2)

x(θ)=φ(θ)≥0y(θ)=φ(θ)≥0φ(0)>0φ(0)>0θ∈[-τ,0)

(3)

1 解的正性和有界性

定理1 具有初始條件(3)的系統(tǒng)(2)的所有解永遠(yuǎn)是正的并且最終有界.

證明 系統(tǒng)(2)正性的證明是簡單的，因而被省略.下面證明解的有界性.

定義函數(shù)W(t)=γx(t)+αy(t+τ),則：對于每一個μ>0，我們有

W′(t)+μW(t)=γx(t)(1-x(t))-γβE1x(t)-αδy(t+τ)-αεE2y(t+τ)+μγx(t)+μαy(t+τ)

≤γx(t)+γ(μ-βE1)x(t)+α(μ-δ-εE2)y(t+τ)n

≤γ+γ(μ-βE1)x(t)+α(μ-δ-εE2)y(t+τ)

令μ=min{βE1,δ+εE2}，則W′(t)+μW≤γ.于是我們有

2 平衡點的存在性和穩(wěn)定性

(i)如果βE1<1，則系統(tǒng)(2)總存在軸平衡點S1(x1，0)這里x1=1-βE1.

定理2 如果R0>1，則對于任意的τ≥0，軸平衡點S1不穩(wěn)定；當(dāng)R0<1時S1局部漸近穩(wěn)定.

證明 系統(tǒng)(2)在S1點處的特征方程是：(λ-βE1+1)(λ+δ+εE2-γe-λτ)=0.顯然其一個特征值λ1=βE1-1<0，其他特征值是方程λ+δ+εE2-γe-λτ=0的根.

令f(λ)=λ+δ+εE2-γe-λτ.

(1)如果R0>1，對于任意的τ≥0，那么我們有

所以f(λ)=0至少有一個正根，從而S1不穩(wěn)定.

(2)如果R0<1且τ=0，則另一個特征值λ2=γ-δ-εE2<0，故S1局部漸近穩(wěn)定.

(3)如果R0<1且τ>0，令g(λ)=λ+δ+εE2,h(λ)=γe-λτ.則根據(jù)函數(shù)g(λ)和h(λ)的圖象，可知方程g(λ)-h(λ)=0有唯一的一個負(fù)根.所以S1局部漸近穩(wěn)定.

定理3 如果τ=0且下面的條件成立

(i)α>1,δ+εE2-γ(α+βE1-1)>0. (ii)γ2(α+βE1-1)-α(δ+εE2)2<0.

則系統(tǒng)(2)的正平衡點S*局部漸近穩(wěn)定.

證明 系統(tǒng)(2)在S*點處的特征方程是:λ2+(a1+a3)λ+a2+a4=0.這里

利用Routh-Hurwitz判據(jù)可知，特征方程的兩個特征值都具有負(fù)實部，即S*局部漸近穩(wěn)定.

3 Hopf分支的存在性

當(dāng)τ>0時，系統(tǒng)(2)在S*點處的特征方程是：λ2+n1λ+n2+(n3λ+n4)e-λτ=0.其中

設(shè)λ=iω(ω>0)是特征方程的根，則有

由此可得

從而有

(4)

令v=ω2，則方程變?yōu)?/p>

(5)

于是得到相應(yīng)時滯τj的臨界值

這里j=0,1,2....假設(shè)λ(τ)=ψ(τ)+iω(τ)是S*點處的特征方程的根，它滿足ψ(τ0)=0和ω(τ0)=ω0，τ在τ0附近.則我們有下面的橫截條件：

證明 在S*點處的特征方程兩邊求λ關(guān)于τ的導(dǎo)數(shù)得到

把λ=iω0代入上面的等式中，便有

通過上面的分析，應(yīng)用Hopf分支定理，我們有下面的定理：

定理4 假設(shè)系統(tǒng)滿足下面的條件

(iv)α>1,δ+εE2-γ(α+βE1-1)>0

(v)γ2(α+βE1-1)-α(δ+εE2)2<0

那么系統(tǒng)(2)的內(nèi)部平衡點S*當(dāng)τ<τ0時局部漸近穩(wěn)定， 當(dāng)τ>τ0時不穩(wěn)定.也就是說，系統(tǒng)(2)在點S*處當(dāng)τ=τ0時產(chǎn)生一個Hopf分支.

4 最佳收獲分析

在本節(jié)中，我們?yōu)閷で笞罴咽斋@方式，選擇目標(biāo)函數(shù)為

(6)

這里c1和c2分別是對食餌和捕食者單位捕獲努力量的成本，p1和p2分別是食餌和捕食者單位生物量的價格，ξ代表了瞬時的年折扣率，v1,v2是經(jīng)濟常數(shù).

我們的目的是在狀態(tài)方程(2)的約束下利用Pontryagin’s最大值原理求最佳收獲使J達(dá)到最大值.首先我們借助文獻(xiàn)[10]中的方法來證明最佳控制對的存在性.

現(xiàn)在我們構(gòu)造與系統(tǒng)(2)有關(guān)的Hamiltonian函數(shù)

這里我們引進(jìn)時滯狀態(tài)變量

z1(t)=x(t-τ)z2(t)=y(t-τ)

且λi(t),(i=1,2)是伴隨函數(shù).

利用Pontryagin’s最大值原理[12]得到下面的定理.

橫截條件為λi(T)=0,(i=1,2).同時最佳控制對表達(dá)式為

證明 利用Pontryagin’s最大值定理，得到伴隨方程

這里χ[0,T-τ]是在區(qū)間[0,T-τ]上的特征函數(shù)[13].且具有橫截條件

λ1(T)=λ2(T)=0

通過使用最佳控制條件，我們令

(7)

求解(7)，得

5 結(jié)論

本文建立并討論了一類具有時滯和捕獲的比率依賴捕食模型，首先討論了系統(tǒng)解的正性和有界性，其次分析了模型平衡點的存在性及穩(wěn)定性, 得到時滯對軸平衡點的穩(wěn)定性沒有影響，證明了時滯增大可以改變正平衡點的穩(wěn)定性且導(dǎo)致Hopf分支的產(chǎn)生. 進(jìn)一步, 利用最優(yōu)控制理論研究了人們對兩種群的最優(yōu)收獲問題，為收獲魚類工作提供了一定的理論指導(dǎo)和建議. 但平衡點的全局動力學(xué)行為還不很清楚, 這將是我們進(jìn)一步研究的課題.