新疆維吾爾自治區(qū)烏魯木齊市第八中學(xué)(830002) 李昌成

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)A 版數(shù)學(xué)選修2-3 的第2.1 節(jié)介紹了超幾何分布,第2.2 節(jié)介紹了二項(xiàng)分布.這兩個(gè)內(nèi)容分節(jié)學(xué)習(xí)時(shí),學(xué)生掌握得還行,但是混合出題就有少數(shù)學(xué)生難以分辨.近期烏魯木齊地區(qū)按照《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)》和2019年版《考試大綱》的要求,進(jìn)行了規(guī)范的高三年級(jí)質(zhì)量檢測(cè)考試,概率統(tǒng)計(jì)方面的解答題就是關(guān)于二項(xiàng)分布方向的.在學(xué)校網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)平臺(tái)上我們發(fā)現(xiàn)了嚴(yán)峻的問(wèn)題.

一、問(wèn)題的提出

題目某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)某校學(xué)生做了一個(gè)是否同意父母生“二孩”的抽樣調(diào)查,該調(diào)查機(jī)構(gòu)從該校隨機(jī)抽查了100 名不同性別的學(xué)生,調(diào)查統(tǒng)計(jì)他們是否同意父母生“二孩”,現(xiàn)已得知100 人中同意父母生“二孩”的占60%,統(tǒng)計(jì)情況如下表：

同意不同意合計(jì)男生a 50女生40 d合計(jì)100

(I) 求a,d 的值,根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與性別有關(guān)? 請(qǐng)說(shuō)明理由;

(II) 將上述調(diào)查所得的頻率視為概率,現(xiàn)在從所有學(xué)生中, 采取隨機(jī)抽樣的方法抽取4 位學(xué)生進(jìn)行長(zhǎng)期跟蹤調(diào)查,記被抽取的4 位學(xué)生中持“同意”態(tài)度的人數(shù)為X,求X 的分布列及數(shù)學(xué)期望.

P(K2 ≥k0)0.15 0.100 0.050 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635

分析本題以近年來(lái)有關(guān)人口方面的熱門(mén)話(huà)題為背景,考查概率統(tǒng)計(jì)部分的獨(dú)立性檢驗(yàn)和二項(xiàng)分布,同時(shí)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).這個(gè)背景學(xué)生并不陌生,甚至是親歷者.題目出得不偏不倚,學(xué)生上手容易,數(shù)據(jù)也不復(fù)雜,得分率應(yīng)該在0.85 以上.

《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)》和2019 版《考試大綱》對(duì)二項(xiàng)分布要求達(dá)到“理解”水平.我們?cè)诮虒W(xué)中也予以了高度重視.拿到考題,我還有一種竊喜——押中考題了! 但是閱卷結(jié)束后,在學(xué)校網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)平臺(tái)上一瀏覽才發(fā)現(xiàn),第二問(wèn)居然得分率低于0.5,僅僅0.46,我有些失望,比期望值低了不少.知道這個(gè)結(jié)果后,我就在思考學(xué)生的問(wèn)題在哪里呢?

與此同時(shí),沒(méi)得分的學(xué)生也很憂(yōu)郁,甚至懷疑老師閱卷不認(rèn)真.答案明明是對(duì)的,為什么不給分呢? 幾個(gè)膽大的學(xué)生到辦公室找我論過(guò)理,聽(tīng)起來(lái)還是蠻有道理的,思維是“縝密”的,運(yùn)算是仔細(xì)的,最終結(jié)果也是“正確”的.在和一個(gè)一個(gè)學(xué)生交流過(guò)程中,我發(fā)現(xiàn)學(xué)生最大的困難是不知道如何判斷一個(gè)隨機(jī)變量的分布列是二項(xiàng)分布還是超幾何分布? 為了給困惑的學(xué)生們一個(gè)完整、及時(shí)、正確、全面的答復(fù),我重溫了教科書(shū),查閱了近十年高考題,翻閱了數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)雜志等資料,希望能幫助學(xué)生明白數(shù)據(jù)背后的真相——二項(xiàng)分布和超幾何分布的聯(lián)系和區(qū)別以及如何辨認(rèn)兩個(gè)分布列.現(xiàn)整理如下,以饗讀者.

二、題目的解答

(一) 參考答案

(I) 因?yàn)?00 人中同意父母生“二孩”的占60%,所以a = 60 - 40 = 20, d = 40 - 5 = 35.易得而所以有97.5 % 的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與性別有關(guān).

X 0 1 2 3 4 P 16 625 96 625 216 625 216 625 81 625

(二) 學(xué)生的錯(cuò)解

(I) 同上.

(II) 隨機(jī)變量X 的所有可能取值為0,1,2,3,4.P(X =所以隨機(jī)變量X 的分布列為

X 0 1 2 3 4 P 54834 2352735 71136 470547 55224 156849 54752 156849 97527 784245

這個(gè)解答僅從數(shù)值方面看沒(méi)問(wèn)題,但是沒(méi)得分.下面對(duì)疑問(wèn)進(jìn)行剖析.

三、問(wèn)題的解決

細(xì)究學(xué)生的解答過(guò)程發(fā)現(xiàn),雖然答案相同,但是模型的判斷截然不同,命題專(zhuān)家設(shè)置是二項(xiàng)分布,學(xué)生誤判為超幾何分布了.下面談?wù)劧?xiàng)分布與超幾何分布的關(guān)系,將問(wèn)題徹底地弄明白.

(一) 二項(xiàng)分布與超幾何分布的不同之處

1.定義不同：

人民教育出版社A 版《數(shù)學(xué)》選修2-3 給出的二項(xiàng)分布和超幾何分布定義分別是：

一般地, 在n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中, 用X 表示事件A發(fā)生的次數(shù), 設(shè)每次試驗(yàn)中事件A 發(fā)生的概率為p, 則此時(shí)稱(chēng)隨機(jī)變量X 服從二項(xiàng)分布,記作X ～B(n,p),并稱(chēng)p 為成功概率.

一般地, 在含有M 件次品的N 件產(chǎn)品中, 任取n 件,其中恰好有X 件次品, 則0,1,2··· ,m, 其中m = min{M,n} 且n ≤ N,M ≤N,n,M,N ∈N?則稱(chēng)隨機(jī)變量X 服從超幾何分布.

2.隨機(jī)試驗(yàn)不同：二項(xiàng)分布中的試驗(yàn)是重復(fù)試驗(yàn);超幾何分布中的試驗(yàn)是古典概型的隨機(jī)試驗(yàn).

3.抽樣方法不同：二項(xiàng)分布中用的是有放回抽樣;超幾何分布中用的是不放回抽樣.

4.隨機(jī)變量X 含義不同：二項(xiàng)分布中X 表示n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)成功的次數(shù);超幾何分布中X 表示從N 件產(chǎn)品中抽取n 件產(chǎn)品,其中次品件數(shù).

5.隨機(jī)變量X 的概率計(jì)算公式不同：

6.隨機(jī)變量X 的期望表示形式不同,本質(zhì)相同：二項(xiàng)分布中E(X) = np;超幾何分布中(此式教材未做要求,下文給出證明).

7.二項(xiàng)分布中有概率常數(shù)(成功概率p);超幾何分布中沒(méi)有概率常數(shù).本題中有兩次二項(xiàng)分布暗示：一是“100 人中同意父母生“二孩”的占60%”,即p = 0.6;二是“將上述調(diào)查所得的頻率視為概率”.

(二) 二項(xiàng)分布與超幾何分布的概率關(guān)系

事實(shí)上,當(dāng)樣本的容量越大(參考答案提到了),二項(xiàng)分布和超幾何分布對(duì)應(yīng)的概率就越接近,當(dāng)樣本的個(gè)數(shù)無(wú)窮大時(shí),二項(xiàng)分布和超幾何分布對(duì)應(yīng)的概率就相等,也就是說(shuō),超幾何分布的極限就是二項(xiàng)分布.假設(shè)產(chǎn)品個(gè)數(shù)N 無(wú)窮大,且次品率為p,即這說(shuō)明,當(dāng)樣本個(gè)數(shù)無(wú)限多時(shí),有放回抽樣與無(wú)放回抽樣沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別,都可以看成n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),所以超幾何分布在一定條件下可以轉(zhuǎn)換成二項(xiàng)分布,轉(zhuǎn)換條件為：產(chǎn)品數(shù)量無(wú)限多,否則不放回抽樣不能看成n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn);在產(chǎn)品個(gè)數(shù)N 無(wú)限增加的過(guò)程中,次品數(shù)也應(yīng)該按照相應(yīng)的比例增大,即次品率p 保持相對(duì)穩(wěn)定.

(三) 二項(xiàng)分布與超幾何分布的數(shù)學(xué)期望關(guān)系

結(jié)論超幾何分布的數(shù)學(xué)期望和二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望相等.

注意到,

為了使學(xué)生不再犯類(lèi)似錯(cuò)誤,非常有必要研究如何判斷一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)是服從超幾何分布還是二項(xiàng)分布.

(四) 判斷隨機(jī)試驗(yàn)是否服從二項(xiàng)分布的依據(jù)

1.在每一次試驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率相同.

2.各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的.

3.在每一次試驗(yàn)中,試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè),即發(fā)生不發(fā)生.

(五) 判斷隨機(jī)試驗(yàn)是否服從超幾何分布的依據(jù)

1.每次試驗(yàn)是在“兩”類(lèi)元素中取元素.

2.不放回抽樣.

四、高考題型示例

例1(2017年全國(guó)II 卷理科第13 題)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件,有放回地抽取100 次.X 表示抽到的二等品件數(shù),則DX =____.

分析依據(jù)題設(shè)中“一批產(chǎn)品”“二等品率”“有放回”“二等品率為0.02”等信息可以準(zhǔn)確判斷隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布.

例2(2015年湖南卷理科第18 題)某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng),顧客購(gòu)買(mǎi)一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng),每次抽獎(jiǎng)都是從裝有4 個(gè)紅球、6 個(gè)白球的甲箱和裝有5 個(gè)紅球、5 個(gè)白球的乙箱中,各隨機(jī)摸出1 個(gè)球,在摸出的2 個(gè)球中,若都是紅球,則獲一等獎(jiǎng);若只有1 個(gè)紅球,則獲二等獎(jiǎng);若沒(méi)有紅球,則不獲獎(jiǎng).

(I) 求顧客抽獎(jiǎng)1 次能獲獎(jiǎng)的概率.

(II) 若某顧客有3 次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),記該顧客在3 次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X,求X 的分布列和數(shù)學(xué)期望.

分析依據(jù)已知中“每次抽獎(jiǎng)都是從裝有4 個(gè)紅球、6 個(gè)白球的甲箱和裝有5 個(gè)紅球、5 個(gè)白球的乙箱中,各隨機(jī)摸出1 個(gè)球”可以得出成功概率由此可以判斷X 服從二項(xiàng)分布.

例3(2015年四川高考卷理科第17 題)某市A,B 兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽,A 中學(xué)推薦了3 名男生、2 名女生,B 中學(xué)推薦了3 名男生、4 名女生,兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng),從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3 人、女生中隨機(jī)抽取3 人組成代表隊(duì).

(I) 求A 中學(xué)至少有1 名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率;

(II) 某場(chǎng)比賽前,從代表隊(duì)的6 名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4 人參賽.設(shè)X 表示參賽的男生人數(shù),求X 的分布列和數(shù)學(xué)期望.

分析本題中針對(duì)“男女參賽隊(duì)員”“男生人數(shù)”表明問(wèn)題是在“兩”類(lèi)元素中取元素,且為不放回抽樣,可以判斷X服從超幾何分布.

例4(2017年山東卷理科第18 題)在心理學(xué)研究中,常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響, 具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示.通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用,現(xiàn)有6 名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4 名女自愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機(jī)抽取5 人接受甲種心理暗示,另外5 人接受乙種心理暗示.

(I) 求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率.

(II) 用X 表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

分析本題與例3 比較,有較強(qiáng)相似性,只是問(wèn)題背景不同而已.題中“兩種心理暗示”“女志愿者人數(shù)”都表明問(wèn)題是在“兩”類(lèi)元素中取元素,且為不放回抽樣,可以判斷X 服從超幾何分布.

五、應(yīng)對(duì)策略

(一) 研讀教材,吃透概念.

認(rèn)真學(xué)習(xí)教材給出的定義,尤其要理解每一個(gè)字母的含義,每一個(gè)符號(hào)的作用.牢牢把握定義的精髓.

(二) 深入研究課本經(jīng)典習(xí)題.

人民教育出版社A 版《數(shù)學(xué)》選修2-3 第59 頁(yè)B 組第3題以及對(duì)應(yīng)的教師教學(xué)用書(shū)第63 頁(yè)內(nèi)容.尤其是“說(shuō)明”非常重要,內(nèi)容如下：由于數(shù)字比較大,可以利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.另外,本題目也可以幫助學(xué)生了解超幾何分布和二項(xiàng)分布之間的關(guān)系：

第一,n 次試驗(yàn)中,某一事件A 出現(xiàn)的次數(shù)X 可能服從超幾何分布或二項(xiàng)分布.當(dāng)這n 次試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí),X 服從二項(xiàng)分布;當(dāng)這n 次試驗(yàn)是不放回摸球問(wèn)題,事件A為摸到某種特性(如某種顏色)的球時(shí),X 服從超幾何分布.

第二,在不放回n 次摸球試驗(yàn)中,摸到某種顔色球的次數(shù)X 服從超幾何分布.但是當(dāng)袋子中的球的數(shù)目N 很大時(shí),X 的分布列近似于二項(xiàng)分布,并且隨著N 的增加,這種近似的精度也增加.

(三) 分類(lèi)訓(xùn)練,提高對(duì)模型的分辨能力.

從教學(xué)實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)看,概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題具有較強(qiáng)的創(chuàng)新性和應(yīng)用性,是數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的實(shí)際考查點(diǎn)位.對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō),這是一個(gè)復(fù)雜而艱巨的問(wèn)題,必須靜待“頓悟”從“漸悟”中來(lái),不可急于求成.分類(lèi)訓(xùn)練是一個(gè)行之有效的辦法,首先訓(xùn)練超幾何分布,再訓(xùn)練二項(xiàng)分布,再混合訓(xùn)練.教學(xué)中務(wù)必做好三件事：一是讀懂題,即應(yīng)花相當(dāng)?shù)臅r(shí)間去閱讀、處理文字圖表信息、準(zhǔn)確把握題意;二是選擇模型,確保審題無(wú)誤,方向正確.在概念的指導(dǎo)下慢慢地“悟”,何為二項(xiàng)分布,何為超幾何分布;三是算對(duì)數(shù)值,這是學(xué)生的一個(gè)痛,經(jīng)常是認(rèn)認(rèn)真真地算出一個(gè)錯(cuò)誤答案.在教學(xué)中,我們要敢于在課堂上給學(xué)生時(shí)間,現(xiàn)場(chǎng)限時(shí)訓(xùn)練,提高速度和準(zhǔn)確率.最終達(dá)到提高學(xué)生核心素養(yǎng)的目的.

練習(xí)1(2015年天津卷理科第16 題)為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展, 某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3 名,其中種子選手2 名;乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5 名,其中種子選手3 名.從這8 名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4 人參加比賽.

(I) 略;(II) 設(shè)X 為選出的4 人中種子選手的人數(shù),求隨機(jī)變量X 的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).(提示：超幾何分布.)

練習(xí)2(2014年福建高考卷理科第18 題)為回饋顧客,某商場(chǎng)擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1000 位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4 個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2 個(gè)球,球上所標(biāo)面值之和為顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額.

(I) 若袋中所裝的4 個(gè)球中有1 個(gè)所標(biāo)的面值為50 元,其余3 個(gè)均為10 元,求：①略; ②顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望.(提示：超幾何分布.)

練習(xí)3(2012 四川卷理科第17 題)某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng))A 和B,系統(tǒng)A 和系統(tǒng)B 在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和p.

(I) 略;(II) 設(shè)系統(tǒng)A 在三次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ,求隨機(jī)變量ξ 的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ.(提示：二項(xiàng)分布.)

練習(xí)4(2019年新疆自治區(qū)二模理科第19 題)今年學(xué)雷鋒日,烏魯木齊市某中學(xué)計(jì)劃從高中三個(gè)年級(jí)選派4 名教師和若干名學(xué)生去當(dāng)學(xué)雷鋒文明交通宣傳志愿者,用分層抽樣法從高中三個(gè)年級(jí)的相關(guān)人員中抽取若干人組成文明交通宣傳小組,學(xué)生的選派情況如下：

年級(jí)相關(guān)人數(shù)抽取人數(shù)高一99 x高二27 y高三18 2

(I) 略;(II) 略;(III) 若4 名教師可去A、B、C 三個(gè)學(xué)雷鋒文明交通宣傳點(diǎn)進(jìn)行文明交通宣傳,其中每名教師去A、B、C 三個(gè)文明交通宣傳點(diǎn)是等可能的,且各位教師的選擇相互獨(dú)立.記到文明交通宣傳點(diǎn)A 的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(提示：二項(xiàng)分布.)

在老師的指導(dǎo)下,讓學(xué)生掌握二項(xiàng)分布和超幾何分布的概念,理清二者的區(qū)別和聯(lián)系,真正掌握二者的本質(zhì),學(xué)懂弄通,再在練習(xí)中提高認(rèn)識(shí),強(qiáng)化概念,可謂是“授之以漁”,我們可以杜絕“授之以魚(yú)”,就題講題,真正提高復(fù)習(xí)備考的實(shí)效性.

六、展望高考

統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),近幾年來(lái),地方卷多次反復(fù)考查了二項(xiàng)分布和超幾何分布.在解答題層面全國(guó)卷已經(jīng)考查了函數(shù)背景下的統(tǒng)計(jì)概率問(wèn)題(連續(xù)3年);回歸方程(兩次);獨(dú)立性檢驗(yàn);莖葉圖背景下的概率統(tǒng)計(jì); 不計(jì)算的論述題(兩次); 相關(guān)系數(shù);正態(tài)分布.但全國(guó)卷還未考查二項(xiàng)分布和超幾何分布,這值得我們?cè)诮虒W(xué)中留心注意.