北京市通州區(qū)潞河中學(xué)(101149) 魏海楠

數(shù)學(xué)學(xué)科的建立過程,就像自然界的植物生長一樣,不斷的發(fā)出新芽,長成枝干,長成大樹,自然生長而成.學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程也應(yīng)該是這樣的,自然生長而成.下面以課例“等式的基本性質(zhì)”的教學(xué)設(shè)計、實施與大家探討.

教學(xué)內(nèi)容是北京版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)》第13 冊第二章“2.4 等式的基本性質(zhì)”.

一、教學(xué)設(shè)計及課堂實施實錄

(一) 教學(xué)背景分析

1.初一學(xué)生剛?cè)氤踔?來自不同的小學(xué),雖說已掌握了一定的學(xué)習(xí)方法,具有一定的推理能力,雖說對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極性很高,但學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法還很不成熟,大多采取背記方式,對知識的學(xué)習(xí)往往不求甚解,淺嘗輒止.

2.在知識儲備上,學(xué)生在五年級的時候已經(jīng)學(xué)過了等式的基本性質(zhì),大多數(shù)學(xué)生只是了解等式的基本性質(zhì),不能清楚的說明等式基本性質(zhì)的結(jié)構(gòu),對等式基本性質(zhì)的作用更是沒有理性的解釋,僅限于對解題的模仿,沒有一種自覺的、有意識的應(yīng)用.

3.本節(jié)課教學(xué)中設(shè)計意圖,是在學(xué)生原有認知的基礎(chǔ)上,充分利用原有的認知,結(jié)合學(xué)生熟悉的學(xué)習(xí)背景,讓學(xué)生在自然狀態(tài)不斷探索,很自然的形成自己新的認知,實現(xiàn)學(xué)習(xí)新知.充分給學(xué)生提供思考、表現(xiàn)、創(chuàng)造的機會,使他成為知識的發(fā)現(xiàn)者、創(chuàng)造者,培養(yǎng)學(xué)生自我探究和實踐能力.

(二) 學(xué)習(xí)目標

1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)使學(xué)生掌握等式的基本性質(zhì),即明確等式基本性質(zhì)的內(nèi)容,理解等式基本性質(zhì)的作用.

2.通過本節(jié)課對等式基本性質(zhì)的探究,使學(xué)生理解等式基本性質(zhì)的由來及作用,能利用等式的基本性質(zhì)進行等式變形.

3.通過對等式基本性質(zhì)的探索和運用,培養(yǎng)推理意識,數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,培養(yǎng)反思精神,逐步提升學(xué)生認識問題的能力.

(三) 教學(xué)重難點

1.重點：引導(dǎo)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)等式的基本性質(zhì),等式基本性質(zhì)的結(jié)構(gòu),理解等式基本性質(zhì)的作用,利用等式的基本性質(zhì)解決簡單問題.

2.難點：抽象歸納出等式的基本性質(zhì),認識等式基本性質(zhì)的作用.

(四) 教學(xué)實施與點評

1.情景導(dǎo)入

教師：同學(xué)們,我們在小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)過了等式的基本性質(zhì),在小學(xué)學(xué)習(xí)等式基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上,今天我們繼續(xù)學(xué)習(xí)等式的基本性質(zhì)的內(nèi)容和作用.

點評告知學(xué)生,我們今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容是我們學(xué)習(xí)過的知識,只需要在原有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上再學(xué)習(xí),知識的學(xué)習(xí)過程就是在原有認知基礎(chǔ)上不斷生長新的知識和認識.

2.探究活動設(shè)計和實施

(1) 環(huán)節(jié)一：探究發(fā)現(xiàn)

教師：首先,請大家完成交流與發(fā)現(xiàn)1 的問題? (1 分鐘)與小組同學(xué)分享你的發(fā)現(xiàn).

教師：經(jīng)過大家的獨立思考,小組交流,說說你的發(fā)現(xiàn)是什么?

學(xué)生1：a+c=b+c.

教師：有成立條件嗎?

學(xué)生1：(恍然大悟)有條件,必須是a=b 成立的前提下.

教師：沒有條件a=b,你的結(jié)論完整嗎?

學(xué)生1：不完整.

教師：學(xué)生1 的發(fā)現(xiàn)應(yīng)該是, 如果a = b, 那么a+c=b+c.

教師：我們回答問題要考慮問題的完整性,還有不同的意見或補充嗎?

學(xué)生2：還應(yīng)該有,如果a=b,那么a-c=b-c.

教師：很好! 完整的表達結(jié)論應(yīng)該是什么?

學(xué)生2：如果a=b,那么a±c=b±c.

教師：太好了! 通過交流與發(fā)現(xiàn)1 的探究,我們可以得知如果a=b,那么a±c=b±c.下面完成交流與發(fā)現(xiàn)2 的問題.

教師：(學(xué)生獨立思考、小組交流后)從交流與發(fā)現(xiàn)2 中你又有什么發(fā)現(xiàn)?

學(xué)生3：如果a=b,那么a·c=b·c.

教師：非常好,一個完整的回答,有條件有結(jié)論,還有不同的意見嗎?

教師：說說你的想法,怎么得到這樣的結(jié)論?

學(xué)生4：學(xué)生3 的結(jié)論中,如果c 是分數(shù),就可以出現(xiàn)除的形式.

教師：你太有想象力了! 由整數(shù)想到了分數(shù),由乘想到了除,“對稱”的思想看問題,太好了! 大師級的想法.其實交流與發(fā)現(xiàn)1 中,也體現(xiàn)了對稱思想,加與減的對稱和統(tǒng)一.

點評這個環(huán)節(jié)原本的設(shè)計意圖是想得出基本性質(zhì)中乘法的性質(zhì),學(xué)生創(chuàng)造性的利用對稱的思想去思考問題,進一步得出新的結(jié)論除法的性質(zhì),教師抓住學(xué)生課堂生成的閃光點,給予積極的評價,順勢引導(dǎo),點明學(xué)生思維的方法,此處是設(shè)計預(yù)案之外的生成,學(xué)生知識的學(xué)習(xí)像植物發(fā)芽一樣自然生成.

教師：我們身邊還有很多這樣的例子,你能舉出一個嗎?

學(xué)生舉例(略)舉例不是很典型

教師：老師再給大家再提供一個背景,你體會一下這個例子怎么樣?

教師：老師給大家提供一個例子?

學(xué)生5：這個例子好,(1)可以驗證交流與發(fā)現(xiàn)1 的結(jié)論,(2)可以驗證交流與發(fā)現(xiàn)2 的結(jié)論.

教師：對,類似這樣的例子我們還有很多,需要大家去發(fā)現(xiàn),去積累.至此讓我們再次梳理我們的發(fā)現(xiàn),看看有沒有新的發(fā)現(xiàn).

學(xué)生6：我覺得發(fā)現(xiàn)2 中c 不能為零,因為我們知道零不能做除數(shù).

點評 經(jīng)過幾個實例的探究,結(jié)合學(xué)生已有經(jīng)驗,學(xué)生一步一步的完善等式的基本性質(zhì),每一次完善都是在原有基礎(chǔ)和認識的基礎(chǔ)上的自然生長.

教師：我們用文字語言描述等式的基本性質(zhì).

學(xué)生7：(學(xué)生口述,教師板書)

點評 學(xué)生在小學(xué)五年級時學(xué)生曾經(jīng)學(xué)習(xí)過等式基本性質(zhì),對等式的基本性質(zhì)有一定的經(jīng)驗和認識,再次學(xué)習(xí),通過常見的實例引入,讓學(xué)生很快的從自己已有的認知出發(fā),在學(xué)生原有認知的基礎(chǔ)上,經(jīng)過獨立思考、小組交流、師生交流等方式,幫助學(xué)生從已有的認知開始,分析信息、整理信息得出結(jié)論,讓學(xué)生感到學(xué)習(xí)是自然生成的.

(2) 環(huán)節(jié)二：總結(jié)與提升

教師：我們再次學(xué)習(xí)了等式的兩條基本性質(zhì),請問同學(xué)們,根據(jù)你的理解如何來解讀等式的兩條基本性質(zhì)呢?

學(xué)生8：我覺得應(yīng)該抓住三點：

①抓住關(guān)鍵字“都”,表示等式兩邊同時運算.

②抓住關(guān)鍵字“同”,表示等式兩邊做相同的變化.

③抓住特殊的除,除數(shù)不能為0.0 不能做除數(shù).

教師：說的非常好,抓的非常到位.那你們結(jié)合自己的經(jīng)驗,說說等式的基本性質(zhì)有什么功能呢?

學(xué)生9：……

學(xué)生10：做題吧? ……(學(xué)生大笑)

教師：很實在的回答.我們分析一下等式基本性質(zhì)的結(jié)構(gòu),如果……那么……,條件是等式,結(jié)論仍然是等式,它表達的含義從一個等式變成了另一個等式,那你們說,他有什么作用?

學(xué)生11：我覺得應(yīng)該是等式變形的依據(jù)吧?

教師：好的,還不是很肯定,讓我們不斷的去體會等式性質(zhì)的作用.

點評環(huán)節(jié)二是本節(jié)課的重要環(huán)節(jié),有承上啟下的作用,環(huán)節(jié)一探究出了結(jié)論(等式的基本性質(zhì)),在應(yīng)用之前很有必要引導(dǎo)學(xué)生對結(jié)論再認識,加強對等式基本性質(zhì)的理解,學(xué)生對字面理解還是很到位的,對基本性質(zhì)的作用還不是很肯定或明確,這也是正常現(xiàn)象.但是此環(huán)節(jié)是為后續(xù)的學(xué)習(xí)提供學(xué)習(xí)的方向.

(3) 環(huán)節(jié)三：學(xué)以致用

教師：請同學(xué)們利用1 分鐘的時間,做下面的練習(xí)題,并說明填寫的依據(jù).

學(xué)生12：(1)填+5,依據(jù)是等式的基本性質(zhì)1,兩邊同時+5.(下面題目回答略去)

教師：有一個問題我想不明白,(5)中為什么填-3.-3是怎么來的?

學(xué)生13：因為條件為x+3=13,結(jié)論問x=13,觀察前后的變化,左邊3 消失了,意味著左邊減去3,那么右邊也應(yīng)該-3,所以填寫-3.

教師：對! 因為等式的基本性質(zhì)是等式變形的依據(jù),所以我們要關(guān)注等式前后變化的變化點,要特別注意“都”“同”的含義.

教師：根據(jù)你對等式基本性質(zhì)的理解,編寫一個等式變形的題目.說明編寫的依據(jù)和意圖.

教師：大家判斷一下,是否正確?

學(xué)生：對(齊答)!

教師：你編此題的依據(jù)和意圖?

學(xué)生14：我編題的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)2,意圖說明c的含義可以是同一個式子.

教師：非常好! 他想拓展c 的含義,很有想象力!

教師：你編題的依據(jù)和意圖?

學(xué)生15：我的想法是想把性質(zhì)2 中的乘除都用上,括號的目的是保證除數(shù)7+a 不為零.

教師：考慮的很周全,也很有創(chuàng)意! 那么顯然此題答案是正確的!

教師：兩個同學(xué)編寫的題目都有自己的意圖和創(chuàng)意,很好的應(yīng)用了等式的基本性質(zhì),再次讓大家體會了等式基本性質(zhì)的作用是等式變形的依據(jù).如果…,那么…的句式、因果結(jié)構(gòu).

點評通過學(xué)生的編題環(huán)節(jié),給學(xué)生搭建平臺,實質(zhì)上是學(xué)生知識結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)的自然再成長.教師在點評時再次突出等式的性質(zhì)的結(jié)構(gòu),再次強調(diào)等式性質(zhì)的作用,突出本節(jié)課生長的主線.

教師：我們來點評一下學(xué)生16 的答案,請問“原式=”什么意思?

學(xué)生16：以前解題都這樣寫(學(xué)生對解題格式的負遷移,也是一種常見的錯誤,這是一種錯誤的發(fā)芽,要剪切.)

教師：那是我們在數(shù)與式計算時的一種格式要求,對等式來說我們不寫“解原式=”,直接寫等式的變形.請一位同學(xué)來點評學(xué)生16 的每一步解答依據(jù)和目的.

學(xué)生17：第一步的依據(jù)是等式基本性質(zhì)1,目的是消去等式左邊的-5,讓結(jié)論更接近x = a 的形式.然后化簡,第三步的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)2,目的是讓左邊的系數(shù)消失,最終結(jié)果是x=27,實現(xiàn)化成x=a 形式的目的.

教師：點評的非常到位,這就是等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用,從等式到等式的變化,每一步都有依據(jù),每一步都有目的,最終將= 4(復(fù)雜等式)化為x = 27(簡單等式),這樣一個過程就是我們將要學(xué)習(xí)的一元一次方程的解法.

點評學(xué)生很自然地從等式的基本性質(zhì)的學(xué)習(xí),發(fā)展到了一元一次方程的解法,新知識的學(xué)習(xí)在很自然的過程中完成了,為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)提供了自然生長的基礎(chǔ).

二、課后再認識

本節(jié)課是一節(jié)新授課,也可以說是一節(jié)翻新課,學(xué)生在小學(xué)五年級,已經(jīng)學(xué)習(xí)過等式的基本性質(zhì),如何把這節(jié)課上出中學(xué)數(shù)學(xué)的味道,讓學(xué)生感受到中學(xué)學(xué)習(xí)與小學(xué)學(xué)習(xí)的區(qū)別,是本節(jié)課的設(shè)計和實施的獨到之處,在設(shè)計和實施的過程中處處體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的自然生長.

(一) 源于生活實際,讓課堂自然的生成,揭示知識的形成過程.

著名教育學(xué)家布魯納說過：“知識的獲得是一個主動過程.學(xué)習(xí)者不應(yīng)該是信息的被動接受者,而應(yīng)是知識獲取的主動參與者.”本節(jié)課執(zhí)教者從學(xué)生的生活實際出發(fā),通過幾個學(xué)生喜聞樂見的實例出發(fā),學(xué)生特別容易接受,有助于激發(fā)學(xué)生興趣,這樣讓學(xué)生感受到知識來源于生活,從學(xué)生的生活經(jīng)驗出發(fā),讓學(xué)生感受生活中數(shù)學(xué)的存在,可以讓學(xué)生直觀地體會到在等式的變化關(guān)系.通過實例的分析,總結(jié)規(guī)律,提高學(xué)生對知識認識,讓學(xué)生有水到渠成的感覺.教學(xué)過程突出數(shù)學(xué)與日常生活的緊密聯(lián)系,使學(xué)生不僅獲得關(guān)于等式性質(zhì)的知識,同時培養(yǎng)學(xué)生認真觀察的學(xué)習(xí)態(tài)度,這樣的設(shè)計既重視過程,又重視結(jié)論;既重視知識的教學(xué),又重視能力的培養(yǎng).

幾個實例體現(xiàn)了不同的背景,有代數(shù)背景的探索,有幾何圖形的使用,從不同的背景驗證.再此過程中,學(xué)生通過列等式、獨立思考,小組交流,全班交流讓每一位同學(xué)都有思維過程,交流的時間,立足自己的認知水平,不斷的提升自己的認識水平,通過不同的途徑豐富學(xué)生的思維,使學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗自然的形成,從而促使學(xué)生學(xué)習(xí)成果的生成.

(二) 抓住主線不放,實現(xiàn)教學(xué)目的

本節(jié)課,執(zhí)教者始終抓住性質(zhì)的作用這條主線不放.首先,在知識的形成過程中,緊抓性質(zhì)的結(jié)構(gòu)特征“如果…,那么…,”在學(xué)生回答問題時,通過追問學(xué)生,強調(diào)性質(zhì)的條件是等式, 結(jié)論仍然是等式, 是從等式到等式的變化, 從而滲透、引導(dǎo)學(xué)生思考等是基本性質(zhì)的作用.其次,在學(xué)以致用的環(huán)節(jié),每一個問題要求學(xué)生說出做題(等式變形)的依據(jù),通過練習(xí)在具體問題中繼續(xù)強化等式性質(zhì)的作用.第三,在課堂小結(jié)的不同時段,強調(diào)等式性質(zhì)的作用,特別是最后的小結(jié),重點指明等式性質(zhì)是我們后續(xù)學(xué)習(xí)解方程的依據(jù),讓學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)中繼續(xù)體會性質(zhì)的作用.

(三) 教學(xué)形式多樣,突出學(xué)生主體地位,體現(xiàn)學(xué)生是課堂的主人.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準.2011》指出：“教學(xué)活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程,有效的教學(xué)活動是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一,學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體,教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者.”

基于上述理念,本節(jié)課執(zhí)教者靈活的采用多種教學(xué)方法,使原本看似簡單的內(nèi)容,具有了濃郁的中學(xué)數(shù)學(xué)的味道,整個教學(xué)過程,既有教師的引導(dǎo)、講解,又有學(xué)生的獨立思考、小組討論、全班交流;既有新知識的探究的自主學(xué)習(xí),又有新知識應(yīng)用下的例題運用、練習(xí)鞏固.

本節(jié)課整個教學(xué)過程中學(xué)生的參與度很高,為學(xué)生提供了充足的參與學(xué)習(xí)的機會.學(xué)生討論環(huán)節(jié)非常好,不僅僅展示了得出過程、現(xiàn)象,總結(jié)了規(guī)律,在展示過程中,能積極補充、質(zhì)疑,個別同學(xué)質(zhì)疑的問題很有價值,學(xué)生驗證自己的想法是否正確時,鼓勵學(xué)生大膽地表達自己的想法,以說促思,開啟學(xué)生思維的“閘門”,對學(xué)生的五花八門的想法不急于評價,不失時機地引導(dǎo)學(xué)生說一說,議一議,互相交流,達成共識.在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生理一理,歸納出等式的性質(zhì).通過“說”的活動過程,讓學(xué)生在活動中發(fā)散,在活動中發(fā)展.整個教學(xué)過程中,師生互動自然,無處不體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的自然生成.