吳賢

摘要：延展式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，基于學(xué)科育人目標(biāo)，拓展學(xué)科本身和現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資源，為學(xué)生構(gòu)建常規(guī)學(xué)習(xí)之外新的學(xué)習(xí)生態(tài)。延展式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，既要考慮到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般特性，也應(yīng)有符合這一新學(xué)習(xí)內(nèi)容的“教”的方式。結(jié)合具體的延展式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，在啟動(dòng)學(xué)習(xí)、設(shè)計(jì)任務(wù)、組織共享、回顧梳理這幾個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)處搭建合適的學(xué)習(xí)支架，更好地讓學(xué)生卷入學(xué)習(xí)過(guò)程，開(kāi)展研究探索，深度交流，反思提升。

關(guān)鍵詞：延展式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為學(xué)而教實(shí)踐策略

延展式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，緊扣“學(xué)科育人”的價(jià)值訴求，力圖讓學(xué)生在更為豐富的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資源中，落實(shí)“四基”目標(biāo)，尤其是積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和發(fā)展數(shù)學(xué)思想方法;在以學(xué)生為主體的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界、與其他學(xué)科、與數(shù)學(xué)歷史文化的聯(lián)系;在綜合性的探究活動(dòng)中，發(fā)展“四能”，尤其是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力，讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的視角分析和解釋生活現(xiàn)象，用數(shù)學(xué)的方式解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述現(xiàn)實(shí)情境。

教育研究與評(píng)論小學(xué)教育教學(xué)/2019年第2期獨(dú)家策劃在研究和實(shí)踐的過(guò)程中，除了學(xué)習(xí)內(nèi)容的研發(fā)，針對(duì)與常規(guī)教學(xué)內(nèi)容大相徑庭的延展式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，如何開(kāi)展有效的教學(xué)活動(dòng)，也是我們團(tuán)隊(duì)必須解決的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。我們的實(shí)踐策略是：為學(xué)而教，在啟動(dòng)學(xué)習(xí)、設(shè)計(jì)任務(wù)、組織共享、回顧梳理等關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)處搭建合適的學(xué)習(xí)支架。

一、啟動(dòng)學(xué)習(xí)階段的有效卷入

延展式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，無(wú)論是向數(shù)學(xué)學(xué)科縱深處探秘，還是在現(xiàn)實(shí)世界中探究，都具有一定的拓展性，這就需要學(xué)生在正式的學(xué)習(xí)開(kāi)始前，對(duì)與學(xué)習(xí)內(nèi)容有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)、歷史文化、生活常識(shí)、現(xiàn)實(shí)情境等有一定的了解和準(zhǔn)備，對(duì)學(xué)習(xí)中需要運(yùn)用的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想甚至思維方式有相應(yīng)的熟悉和適應(yīng)的過(guò)程，即需要有一個(gè)充分的啟動(dòng)學(xué)習(xí)的過(guò)程。這一過(guò)程，根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容的需要，在課前或上課一開(kāi)始的3—5分鐘內(nèi)進(jìn)行。

（一）提供前置任務(wù)

延展式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有些學(xué)習(xí)內(nèi)容，雖然是學(xué)生生活中相對(duì)熟悉的事物，但若需深入研究，又可能存在著儲(chǔ)備不足的情況。這時(shí)，可以通過(guò)預(yù)習(xí)任務(wù)、前置學(xué)習(xí)單等方式，組織學(xué)生提前了解話題內(nèi)容，搜集所需資料，調(diào)查相關(guān)數(shù)據(jù)，為課堂學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

比如，在開(kāi)發(fā)《數(shù)說(shuō)淘寶》一課的過(guò)程中，初次嘗試發(fā)現(xiàn)，雖然幾乎全體學(xué)生對(duì)“淘寶”這個(gè)網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物平臺(tái)都耳熟能詳，但在面對(duì)和解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，他們又明顯經(jīng)驗(yàn)不足。這為延展式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的深入探索帶來(lái)了困難。于是，我們給學(xué)生提供了一份前置任務(wù)單（如圖1），讓學(xué)生實(shí)際經(jīng)歷一次網(wǎng)上購(gòu)物。如此，這節(jié)課上，學(xué)生的學(xué)習(xí)和討論變得有的放矢、言之有據(jù)。1.聽(tīng)說(shuō)過(guò)“淘寶”這個(gè)購(gòu)物網(wǎng)站嗎？和爸爸媽媽聊一聊，聽(tīng)聽(tīng)他們對(duì)“淘寶”有什么看法？

2.和爸爸媽媽一起，在“淘寶”上實(shí)際購(gòu)物一次，和爸爸媽媽分享購(gòu)物的體會(huì)。

（二）即時(shí)背景介紹

根據(jù)延展式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的不同和對(duì)學(xué)習(xí)背景的要求不同，啟動(dòng)學(xué)習(xí)階段也可以在一節(jié)課開(kāi)始時(shí)進(jìn)行。教師可以通過(guò)事件回放、故事敘述等方式，引入相關(guān)情境，介紹學(xué)習(xí)背景，激活學(xué)生原有的認(rèn)知。

比如《你想裝電梯嗎》一課，其話題基于近期的社會(huì)民生熱點(diǎn)事件。但對(duì)于小學(xué)生而言，對(duì)于這一事件的了解情況，則與其所處的生活環(huán)境密切相關(guān)，有的學(xué)生的家庭或周?chē)P(guān)系密切的家庭正處于這一事件過(guò)程中，而有的學(xué)生則完全沒(méi)聽(tīng)說(shuō)過(guò)。學(xué)習(xí)開(kāi)始前，教師以自己家的經(jīng)歷為例，簡(jiǎn)單地介紹了事件背景，讓學(xué)生更多地了解“裝電梯”的相關(guān)要素，從而更為有效地提出問(wèn)題，開(kāi)展研究。

（三）思維拓展游戲

開(kāi)展延展式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不僅學(xué)習(xí)內(nèi)容上要打破常規(guī)，思維方式也應(yīng)更加靈活開(kāi)放。如何讓學(xué)生突破常規(guī)思維，打開(kāi)思路，創(chuàng)造性地提出問(wèn)題、解決問(wèn)題呢？啟動(dòng)學(xué)習(xí)階段，不妨利用熱身時(shí)間，進(jìn)行一些有趣的思維拓展游戲。

比如，在《墻面有多大》一課教學(xué)時(shí)，借助課前熱身環(huán)節(jié)的“頭腦風(fēng)暴”游戲，用“筷子還能夠做什么”引發(fā)學(xué)生的豐富聯(lián)想和創(chuàng)造，進(jìn)而體會(huì)解決問(wèn)題的方法可以是多樣、綜合，甚至天馬行空、不拘一格的。雖然游戲內(nèi)容與后續(xù)的學(xué)習(xí)任務(wù)并無(wú)直接的關(guān)聯(lián)，但卻讓學(xué)生始終浸潤(rùn)在開(kāi)放而積極的思維空間中，讓他們從固有的思維里跳脫出來(lái)，真正體會(huì)到創(chuàng)造的樂(lè)趣。

二、設(shè)計(jì)任務(wù)階段的思維展開(kāi)

經(jīng)過(guò)有效的啟動(dòng)學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)即將到來(lái)的學(xué)習(xí)有了充分的背景認(rèn)知，對(duì)所需的學(xué)習(xí)方式有了實(shí)際的感受。這時(shí)，教師需要根據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)，對(duì)延展式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)進(jìn)行設(shè)計(jì)，為學(xué)生的學(xué)提供活動(dòng)線索和目標(biāo)指引。

（一）設(shè)置問(wèn)題索引

這是延展式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最常用的任務(wù)設(shè)計(jì)方式。教師根據(jù)學(xué)習(xí)任務(wù)的推進(jìn)需要，設(shè)計(jì)具有針對(duì)性、開(kāi)放性和挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，形成一系列問(wèn)題索引，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展探索和研究，推進(jìn)學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題的理解和解決。

比如，《羊吃草的面積》一課，教師設(shè)計(jì)如下索引問(wèn)題：

1.解決羊能吃多大面積草地上的草這一問(wèn)題，你還需要了解哪些信息？

2.繩長(zhǎng)3米時(shí)，羊能吃到草的草地，可能是什么形狀的？如果繩長(zhǎng)6米呢？

3.同樣是正方形羊圈，同樣用一根繩子拴在羊圈的頂點(diǎn)上，為什么兩道題的解題思路，看起來(lái)很不一樣？

4.在這個(gè)問(wèn)題中，如果改變了繩長(zhǎng)，整個(gè)問(wèn)題又會(huì)發(fā)生什么變化？

第一個(gè)問(wèn)題，意在調(diào)動(dòng)學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，嘗試提出有價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題。第二個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注繩長(zhǎng)，設(shè)計(jì)合適的實(shí)驗(yàn)方案。第三個(gè)問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步比較觀察，建立合理的模型。第四個(gè)問(wèn)題，再次引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，展開(kāi)新的探索。

采用問(wèn)題索引的方式，需要教師充分領(lǐng)悟?qū)W習(xí)內(nèi)容的層次結(jié)構(gòu)，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)指向，每一級(jí)問(wèn)題之間有緊密的邏輯關(guān)聯(lián)和價(jià)值遞進(jìn)，以充分發(fā)揮問(wèn)題的引領(lǐng)作用。

（二）設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)單

給學(xué)生提供學(xué)習(xí)任務(wù)單，也是延展式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種常用的教學(xué)方式。教師根據(jù)任務(wù)需要，提供一個(gè)或多個(gè)任務(wù)要求，由學(xué)生在小組內(nèi)自行分工，結(jié)合學(xué)習(xí)任務(wù)單開(kāi)展相互學(xué)習(xí)和研究。

比如，《正方形中的圓》一課，教師給學(xué)生提供的學(xué)習(xí)任務(wù)單，緊緊圍繞“在正方形中畫(huà)兩個(gè)盡可能大的等圓”這一基本要件，用一個(gè)任務(wù)貫穿全課;而《羊吃草的面積》一課，配合索引問(wèn)題，教師提供了三張“羊吃草”的平面圖，讓學(xué)生研究不同繩長(zhǎng)情況下的最大面積。

學(xué)習(xí)任務(wù)單中的任務(wù)，可以為學(xué)生的探索和研究提供必要的材料，以保障之后的交流和分享能夠言之有物、直觀明確。

（三）提供學(xué)習(xí)流程圖

延展式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)習(xí)內(nèi)容還可以通過(guò)學(xué)習(xí)流程圖的形式呈現(xiàn)給學(xué)生。教師可以預(yù)設(shè)學(xué)習(xí)的主要流程，提供相應(yīng)的學(xué)習(xí)工具，讓學(xué)生借助流程圖完成整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)。

比如，在“兩數(shù)之和會(huì)等于兩數(shù)之積嗎”的研究中，教師給出了如圖2所示的學(xué)習(xí)流程。

學(xué)習(xí)流程圖可以讓學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程更加獨(dú)立。當(dāng)然，設(shè)計(jì)時(shí)要充分考慮學(xué)生的實(shí)際困難，根據(jù)需要提供研究的不同路線。

三、組織共享階段的深度交流

延展式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并不追求答案的標(biāo)準(zhǔn)和唯一，而更關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中生成的不同深度、不同層次、不同視角的理解，這就需要通過(guò)獨(dú)立研究、小組探索、共同交流，分享不同個(gè)體學(xué)習(xí)的過(guò)程和智慧。

（一）作品辨析式分享

不同學(xué)習(xí)個(gè)體、不同學(xué)習(xí)小組，面對(duì)同一問(wèn)題，所展開(kāi)的思維過(guò)程、進(jìn)行的探索研究、得到的解決策略，是豐富多樣的。有的正確，有的錯(cuò)誤;有的循規(guī)蹈矩，有的獨(dú)辟蹊徑;有的繁而有序，有的直達(dá)要害。這時(shí)候，開(kāi)展辨析式分享，讓學(xué)生在呈現(xiàn)作品的同時(shí)，輔以講解說(shuō)明，會(huì)更容易激發(fā)他們的思考，促進(jìn)真正的理解。

比如，《正方形中的圓》一課，教師精心設(shè)計(jì)了學(xué)生作品的呈現(xiàn)順序：先給出圖3所示的兩幅作品。這是學(xué)生中出現(xiàn)最多、最容易走入誤區(qū)的兩種情況，學(xué)生在對(duì)作品進(jìn)行講解說(shuō)明時(shí)，往往抓住相等和最大，侃侃而談，完全不能發(fā)現(xiàn)自己思維的盲區(qū)和漏洞。

認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤的最好方法是給出正確的示例，作品辨析的價(jià)值也正在于此。當(dāng)學(xué)生看到其他同學(xué)的作品（如圖4）時(shí)，自然會(huì)思考：我的兩個(gè)圓真的是最大的嗎？為什么自己沒(méi)能畫(huà)出更大的圓？方法究竟錯(cuò)在哪里？這些，自然成為分享交流的重點(diǎn)。

作品辨析式分享，可讓學(xué)生通過(guò)不同思維的碰撞，體會(huì)不同思考路徑的優(yōu)劣，相互理解、相互學(xué)習(xí)，不僅推進(jìn)了研究的深度，同時(shí)也會(huì)產(chǎn)生新的思考方向。教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步探索，找尋更有效的策略，努力實(shí)現(xiàn)從特殊到一般的思維升華。

（二）方案討論式分享

基于問(wèn)題的實(shí)際背景，延展式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有時(shí)并沒(méi)有所謂的正確答案，或者說(shuō)討論的重點(diǎn)并不是分辨對(duì)與錯(cuò)，而是從不同方案、不同選擇中，觀察和學(xué)習(xí)思維的方法，顯化表達(dá)思維的過(guò)程，探索觀點(diǎn)的途徑本身，以及關(guān)注在這些交流活動(dòng)中學(xué)生情感、態(tài)度及價(jià)值觀的引導(dǎo)。

因此，在組織共享階段，讓學(xué)生結(jié)合自己的方案或作品，進(jìn)行討論式的分享，進(jìn)行思維的碰撞與融通，組織有效的交流、補(bǔ)充，不僅可以使初步的方案更為優(yōu)化，也能進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生合作共贏的學(xué)習(xí)品質(zhì)。

比如，在“墻面有多大”的研究結(jié)束后，各個(gè)小組都給出了不同的問(wèn)題解決方案，每一種方案都是基于各個(gè)小組學(xué)生真實(shí)生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的獨(dú)創(chuàng)之作。交流分享的主要目的就是相互理解、共同學(xué)習(xí)，產(chǎn)生“1+1>2”的學(xué)習(xí)效果。（1）選擇工具直接進(jìn)行測(cè)量。有的組采用了竹竿掛軟尺的方式，有的組則想到了垂繩測(cè)量數(shù)據(jù)，還有的組想到了用無(wú)人機(jī)、升降云梯的方式，每一種思考都有各自的可取之處。在分享中，學(xué)生學(xué)會(huì)欣賞他人好的做法，也能提出自己的補(bǔ)充意見(jiàn)，比如用竹竿比較經(jīng)濟(jì)實(shí)惠、用垂繩則要注意安全等。（2）間接獲取數(shù)據(jù)從而解決問(wèn)題。有的組從墻面的墻磚入手，獲取需要的數(shù)據(jù);有的組直接找到相應(yīng)的建筑模型，通過(guò)比例尺完成數(shù)據(jù)的采集;還有的組想到利用影子、夾角45度的等腰三角形等獲取需要的高度數(shù)據(jù)，奇思妙想，讓其他組大為驚嘆。同時(shí)也引發(fā)了一定的思辨：測(cè)量影子的方法能否實(shí)際操作？夾角的思考非常巧妙，但建筑是立體的，如何解決這一問(wèn)題？

方案討論式分享的過(guò)程，不僅是不同觀點(diǎn)的展示碰撞的過(guò)程，也是多元觀點(diǎn)相互融合補(bǔ)充的過(guò)程。學(xué)生在這一過(guò)程中，進(jìn)一步體會(huì)不同思維的精彩，也不斷豐富和延展著自己的思維路徑。

四、回顧梳理階段的反思提升

在延展式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，解決問(wèn)題并不是最終目的，方法的提升、思維的延展、學(xué)科價(jià)值的內(nèi)化才是需要不斷追求的目標(biāo)。因此，在延展式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，回顧梳理也是一個(gè)非常重要的環(huán)節(jié)。通過(guò)指向明確、開(kāi)放多元的回顧梳理，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步明晰學(xué)習(xí)過(guò)程中的得失、感悟、啟迪，反思學(xué)習(xí)過(guò)程中有價(jià)值的方法和路徑，生發(fā)新的研究問(wèn)題。

（一）用問(wèn)題推動(dòng)反思內(nèi)省

相對(duì)于教材的學(xué)習(xí)內(nèi)容，延展性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容不僅更為綜合，也更強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維方法。研究探索、交流活動(dòng)之后的回顧梳理過(guò)程，能促進(jìn)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的內(nèi)化，讓相關(guān)的思想方法成為其內(nèi)在知識(shí)體系的一部分。教師根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)展和探索過(guò)程、結(jié)果提出問(wèn)題，能有效地促成這一反思內(nèi)省過(guò)程。

比如，《肯德基定價(jià)的秘密》一課的課尾，教師出示了一個(gè)看似和學(xué)習(xí)內(nèi)容無(wú)關(guān)的故事“施粥賑災(zāi)”，并拋出問(wèn)題：“為什么和珅要在粥里混雜沙土？皇上為什么會(huì)夸贊他？”通過(guò)這個(gè)故事，再次回顧本節(jié)課的要點(diǎn)“差異定價(jià)”，使得學(xué)生在理解為什么混雜沙土的過(guò)程中，進(jìn)一步加深對(duì)“差異定價(jià)”的認(rèn)識(shí)，獲得啟發(fā)，從而發(fā)現(xiàn)，所謂“差異定價(jià)”，并不僅止于經(jīng)濟(jì)層面，在醫(yī)療、旅游等各個(gè)需要區(qū)分人群的過(guò)程中，都可能存在。

而《墻面有多大》一課的課尾，教師則引導(dǎo)學(xué)生思考：“方案設(shè)計(jì)和交流中，你的體會(huì)是什么？”學(xué)生從具體問(wèn)題的解決中回過(guò)頭來(lái)，反思解決問(wèn)題過(guò)程中的經(jīng)歷和感悟，進(jìn)一步體會(huì)“三個(gè)臭皮匠頂一個(gè)諸葛亮”，體會(huì)到“創(chuàng)意無(wú)極限”“靈活解決問(wèn)題有多種不一樣的途徑”“好的創(chuàng)意，還需要進(jìn)一步地去實(shí)踐”等。

通過(guò)問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生關(guān)注學(xué)習(xí)過(guò)程，關(guān)注思維方法，關(guān)注所學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系，舉一反三，不斷提升自己的認(rèn)知和經(jīng)驗(yàn)。

（二）用問(wèn)題推進(jìn)延展提升

回顧梳理的一個(gè)維度是向前追溯學(xué)習(xí)過(guò)程，另一個(gè)維度還可以向后影響后續(xù)的學(xué)習(xí)。通過(guò)問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)一步發(fā)掘的熱情，引導(dǎo)學(xué)生將所思變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)，引起學(xué)生新的疑問(wèn)，進(jìn)而提升學(xué)生的學(xué)科精神。

比如，在《數(shù)說(shuō)淘寶》一課的討論結(jié)束后，教師回到最初的學(xué)習(xí)情境中，展示了作為此次“淘寶”的戰(zhàn)利品——《統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)會(huì)撒謊》。接著，教師拋出問(wèn)題：“統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)為何會(huì)撒謊，數(shù)據(jù)又是如何撒謊的呢？”延展這節(jié)課的重點(diǎn)“讓數(shù)據(jù)說(shuō)話”，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生疑問(wèn)：“數(shù)據(jù)也會(huì)說(shuō)謊嗎？”進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)數(shù)據(jù)在問(wèn)題解決中的作用，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的關(guān)注。接著，教師繼續(xù)提問(wèn)：“剛買(mǎi)完，老師就后悔了，知道為什么嗎？”激起了學(xué)生極大的好奇心和求知欲，讓學(xué)生再一次回歸“淘寶”情境，思考問(wèn)題的原因，給出自己的猜測(cè)。部分學(xué)生對(duì)于繼續(xù)開(kāi)展課后探究躍躍欲試。

而《墻面有多大》一課的學(xué)習(xí)后，教師引導(dǎo)學(xué)生借助生成的疑問(wèn)，開(kāi)展后續(xù)的操作實(shí)踐，驗(yàn)證每一種方案實(shí)際的可行性，進(jìn)一步修改調(diào)整，則讓延展式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有了更強(qiáng)的生命力。