宗理

摘要：《三角形的內(nèi)角和》一課的縱向延展，基于學(xué)生有了演繹推理的萌芽，旨在讓學(xué)生充分地經(jīng)歷演繹推理的過程，培養(yǎng)初步的演繹推理能力。教學(xué)時(shí)，要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，準(zhǔn)確定位;要提供支架、搭建平臺(tái)，助力學(xué)生在數(shù)學(xué)縱深處的探秘，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的提升。

關(guān)鍵詞：延展式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)縱向延展三角形的內(nèi)角和

一、課前慎思

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)《三角形的內(nèi)角和》一課，主要通過量和算、撕和拼、折和拼等具體操作，歸納出三角形的內(nèi)角和是180°。課堂上，量和算的學(xué)生，得到了178°、181°、175°等度數(shù);而撕和拼、折和拼的學(xué)生，有的拼出來的不像個(gè)平角，有的縫隙總對(duì)不上。雖然有教師的解釋“量、拼會(huì)存在一定的誤差”，總不免讓之前說好的“驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和為180°”顯得有點(diǎn)兒牽強(qiáng)、不可信。

這不，課后，幾個(gè)學(xué)生不服氣地圍著我說：“老師，我有不同的方法證明三角形的內(nèi)角和是180°……”“我也有方法，而且沒有誤差……”他們更多使用的是演繹推理證明的方法。

雖然，小學(xué)階段，基于學(xué)生思維的基本特點(diǎn)——從以形象思維為主要形式逐步過渡到以抽象邏輯思維為主要形式，學(xué)生主要接觸的是歸納推理，但是，既然他們有了演繹推理思維的萌芽，我們的教學(xué)為何要停止在歸納推理上？而且，有研究表明，10-11歲是兒童演繹推理快速發(fā)展的時(shí)期。于是，我決定第二天再上一節(jié)《三角形的內(nèi)角和》的延展課，讓學(xué)生充分地經(jīng)歷演繹推理的過程，培養(yǎng)初步的演繹推理能力。課前，布置學(xué)生想一想：還有沒有其他的方法來證明三角形的內(nèi)角和是180°？可以畫畫、寫寫、剪剪、拼拼。

二、教學(xué)過程

（一）回顧實(shí)驗(yàn)歸納

師 昨天的數(shù)學(xué)課上，我們通過哪些方法得到了三角形的內(nèi)角和是180°的？

生通過測(cè)量三個(gè)角的度數(shù)，相加得到三角形的內(nèi)角和是180°。

生還通過撕和拼的方法得到一個(gè)平角，通過折和拼的方法也得到了一個(gè)平角，得出三角形的內(nèi)角和是180°。

師是的，昨天我們是通過實(shí)驗(yàn)的方法，得出了三角形的內(nèi)角和是180°?？墒窍抡n的時(shí)候，有好幾個(gè)小朋友圍著我，跟我說他們還有其他的方法也能證明三角形的內(nèi)角和是180°。你們找到了不同的方法來證明三角形的內(nèi)角和是180°了嗎？

（學(xué)生先小組內(nèi)交流，再全班交流。）

[教學(xué)意圖：回顧上一節(jié)課學(xué)習(xí)的三角形內(nèi)角和的證明方法，幫助學(xué)生快速回憶操作、實(shí)驗(yàn)的過程，概括出這些都是歸納驗(yàn)證的方法。]

（二）演繹推理，步步推進(jìn)

生（出示圖1）我畫了一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的四個(gè)角都是直角，所以長(zhǎng)方形的內(nèi)角和是360°。然后畫一條對(duì)角線，把長(zhǎng)方形分成兩個(gè)完全一樣的三角形，那么一個(gè)三角形的內(nèi)角和就是180°。

師（出示一個(gè)長(zhǎng)方形紙片）你怎么確定對(duì)角線把長(zhǎng)方形分成了兩個(gè)完全一樣的三角形？

生（取過老師手中的長(zhǎng)方形紙片現(xiàn)場(chǎng)操作）我們沿著對(duì)角線把長(zhǎng)方形剪開，然后把這兩個(gè)三角形重疊在一起，發(fā)現(xiàn)完全一樣。

（學(xué)生鼓掌。）

生這種方法只能說明直角三角形的內(nèi)角和是180°，因?yàn)殚L(zhǎng)方形沿對(duì)角線分成的兩個(gè)三角形一定是直角三角形。還有銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和怎么辦？

師那你有辦法嗎？

生我有辦法。其實(shí)我們不一定要畫長(zhǎng)方形，畫一個(gè)任意的四邊形就可以了。（出示圖2）我們總能用對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)三角形，你看這里就出現(xiàn)了鈍角三角形和銳角三角形。四邊形的內(nèi)角和是360°，除以2是180°，三角形的內(nèi)角和就是180°。

生我有疑問。你怎么知道你分成的兩個(gè)三角形的內(nèi)角和是一樣的？只有一樣才能用360°÷2呢。萬一內(nèi)角和一個(gè)大、一個(gè)小呢？

生我也有疑問。你怎么知道你畫的四邊形的內(nèi)角和是360°的？

（被問的學(xué)生一時(shí)答不出話來。）

師雖然他的推理遭到了同學(xué)們的質(zhì)疑，但也讓我們明白了第一位同學(xué)為什么要在長(zhǎng)方形里研究。

生因?yàn)殚L(zhǎng)方形的四個(gè)角都是直角，內(nèi)角和一定是360°;而且長(zhǎng)方形的對(duì)角線一定是把長(zhǎng)方形分成兩個(gè)完全一樣的直角三角形，那我們就確定了直角三角形的內(nèi)角和一定是180°。

師你說得有理有據(jù)，一下子就讓好多同學(xué)明白了一開始想到在長(zhǎng)方形里研究原來還有這么多原因。其實(shí)，第二位同學(xué)的發(fā)言還提醒我們不能只考慮直角三角形的內(nèi)角和，還要進(jìn)一步研究銳角三角形和鈍角三角形的。

生我先畫一個(gè)銳角三角形ABC，（出示圖3）過A點(diǎn)作BC的高，這樣就把銳角三角形分成了兩個(gè)直角三角形。兩個(gè)直角三角形的內(nèi)角和是180°×2=360°，再減去∠3和∠5，所以銳角三角形的內(nèi)角和=360°-90°-90°=180°。

師為什么要減去∠3和∠5？能說得再明白些嗎？

生左邊直角三角形的內(nèi)角和是∠1+∠2+∠3=180°，右邊直角三角形的內(nèi)角和是∠4+∠5+∠6=180°，但是三角形ABC的內(nèi)角和是∠1+∠4+∠2+∠6，∠3、∠5不是三角形ABC的內(nèi)角，所以要減去兩個(gè)直角，也就是兩個(gè)90°。

師∠3是左邊三角形的一個(gè)內(nèi)角，∠5是右邊三角形的一個(gè)內(nèi)角，但它們不是三角形ABC的內(nèi)角——內(nèi)角不但要在圖形的內(nèi)部，而且還是由這個(gè)圖形的邊組成的。

生鈍角三角形也是這樣，先畫一條高……

師剛才我們研究了銳角三角形和鈍角三角形，它們的內(nèi)角和都是 180°。還需不需要研究其他的銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和了？

生沒有必要了，因?yàn)槊總€(gè)三角形都可以畫高，都能把三角形分成兩個(gè)直角三角形，都能得出內(nèi)角和是180°。

師剛才的過程太巧妙了！我們先利用長(zhǎng)方形證明了直角三角形的內(nèi)角和是180°，然后把銳角三角形和鈍角三角形都轉(zhuǎn)化成直角三角形，從而證明了銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和也都是180°，最終得出了所有三角形的內(nèi)角和是180°。

[教學(xué)意圖：學(xué)生的演繹推理從長(zhǎng)方形中的三角形開始，從直角三角形內(nèi)角和的證明到銳角三角形和鈍角三角形內(nèi)角和的證明，雖然整個(gè)演繹推理的過程不是來自一名學(xué)生，是全體學(xué)生共享、交流的產(chǎn)物，但學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)完整而又嚴(yán)密的推理過程，在這個(gè)過程中，有肯定，有質(zhì)疑，有反思，有共鳴，有思維上的滿足感，散發(fā)著數(shù)學(xué)理性思考的氣息。]

（三）不同的推理，拓展思維

生我有個(gè)不同的方法。（出示圖4）過三角形ABC的頂點(diǎn)A作BC的平行線，則有∠B=∠1，∠C=∠2，這樣三角形的三個(gè)內(nèi)角都聚到上面去了，變成了一個(gè)平角，所以三角形的內(nèi)角和就是180°。

生你這個(gè)方法和昨天的撕下三個(gè)角再拼成一個(gè)平角的方法差不多。

生昨天撕和拼的方法會(huì)有誤差，我們看著像一個(gè)平角，實(shí)際上是不是平角不能確定。我這里過A點(diǎn)畫的是一條直線，那么一定是一個(gè)平角。

生你怎么知道∠B=∠1，∠C=∠2的呢？

生我在課外學(xué)習(xí)知道了內(nèi)錯(cuò)角，∠B和∠1是內(nèi)錯(cuò)角，∠C和∠2也是內(nèi)錯(cuò)角，平行線間的內(nèi)錯(cuò)角是相等的。

（學(xué)生鼓掌。）

師太厲害！用到了初中的內(nèi)錯(cuò)角知識(shí)來證明三角形的內(nèi)角和是180°。還需要再畫一個(gè)鈍角三角形來說明一下嗎？

生沒有必要。任何一個(gè)三角形，我們總是可以過它的一個(gè)頂點(diǎn)畫平行線的。

生我也有一個(gè)方法來證明三角形的內(nèi)角和是180°，但是需要大家進(jìn)行想象。（出示圖5）先畫個(gè)三角形ABC，然后我們把A點(diǎn)往下壓，下面的兩個(gè)角變小了，上面的頂角變大了。繼續(xù)往下壓，下面的兩個(gè)角就越來越小，越接近0;上面的頂角越來越大，越接近平角，所以三角形的內(nèi)角和是180°。

師這位同學(xué)帶著我們通過想象，不停地把頂點(diǎn)A往下壓，從而發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和是180°。太了不起了！其實(shí)，這里運(yùn)用了一種極限思想——無限逼近的方法。

[教學(xué)意圖：展示不同學(xué)生的推理方法，一方面，讓學(xué)生大開眼界：別的同學(xué)的方法和自己的完全不同，原來還可以這樣推理證明，課外學(xué)到的知識(shí)也可以幫助我們學(xué)習(xí)，極限思想的運(yùn)用，等等;另一方面，也打開了學(xué)生思維的大門。]

（四）對(duì)比思維方式，感受不同

師今天同學(xué)們證明三角形內(nèi)角和的方法，和昨天的方法有什么不同？

生昨天我們是量（撕、拼）一個(gè)個(gè)具體的三角形內(nèi)角的度數(shù)，然后計(jì)算得出的，今天我們沒有研究具體哪一個(gè)三角形。

生昨天，我們是做的實(shí)驗(yàn)，得出三角形的內(nèi)角和是180°。今天我們沒有做實(shí)驗(yàn)，就是在想辦法證明。

生昨天，我們量的或者撕和拼的，都會(huì)有誤差，有的沒有到180°，有的比180°又多了些，今天不存在誤差。

師是呀，昨天和今天雖然都是在研究三角形的內(nèi)角和，但我們用了兩種不同的思維方式。昨天，我們是通過具體的三角形的例子，實(shí)驗(yàn)、歸納得出了三角形的內(nèi)角和是180°。今天，我們是用知道的一些知識(shí)，通過推理得出了三角形的內(nèi)角和是180°。

師回想一下，上個(gè)單元學(xué)習(xí)的運(yùn)算律，加法和乘法的那些規(guī)律我們是怎么得出的？

生我們?cè)诤芏嗪芏嗟乃闶嚼又袣w納得出來的。

師是的。比如乘法分配律（a+b）c=ac+bc，我們?cè)诖罅康乃闶街姓蚁嗤?，同時(shí)又找不到反例，最后歸納出了乘法分配律。歸納法可以給我們帶來新的發(fā)現(xiàn)。其實(shí)，乘法分配律也可以用今天的思維方式去證明它，去證明（a+b）c是不是一定等于ac+bc。

（學(xué)生躍躍欲試，但是摸不著頭緒。）

師可以從乘法和加法之間的關(guān)系去證明，a+b乘以c表示什么意思呢？

生c個(gè)a+b相加。

師把它寫下來：a+b+a+b+…+a+b。

（有幾個(gè)學(xué)生恍然大悟，拿起了筆。）

[教學(xué)意圖：對(duì)比兩節(jié)課三角形內(nèi)角和的學(xué)習(xí)過程，感受不同的思維方式：實(shí)驗(yàn)歸納法和演繹推理法，從探索走向論證。同時(shí)，給學(xué)生提供上個(gè)單元才學(xué)過的乘法分配律來“操練”推理論證的方法。演繹推理不止于三角形的內(nèi)角和，也不止于下課的鈴聲，學(xué)生的思維已然打開……]

三、課后反思

（一）縱向延展，要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，準(zhǔn)確定位

觀察、操作、實(shí)驗(yàn)是小學(xué)生喜歡的學(xué)習(xí)方式，所以，“三角形的內(nèi)角和”這一學(xué)習(xí)內(nèi)容向來頗受學(xué)生喜歡，學(xué)生在量、撕、拼等熱鬧而忙碌的學(xué)習(xí)活動(dòng)中可以輕而易舉地得出“三角形內(nèi)角和是180°”的結(jié)論。那么，學(xué)生除了得到這個(gè)結(jié)論外，還會(huì)有哪些收獲呢？可能是對(duì)這個(gè)結(jié)論的懷疑。課堂上，有不少“聰明”的學(xué)生在量角度計(jì)算的時(shí)候，第三個(gè)角的度數(shù)不是量出來的，而是算出來的，就為了去湊180°。他們知道大部分測(cè)量都會(huì)存在誤差，但為了得到結(jié)果的正確，而去弄虛作假，丟失了實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度。

疑慮，最好是讓學(xué)生自己去消除。消除疑慮，一般就要進(jìn)行數(shù)學(xué)證明。運(yùn)用數(shù)學(xué)公理、定理的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明，顯然超越了四年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平。那就換個(gè)思維方式，用推理的方法去證實(shí)三角形的內(nèi)角和為180°，培養(yǎng)和發(fā)展初步的論證意識(shí)和推理能力，獲得證實(shí)結(jié)論的滿足感。從而也滿足學(xué)生的好奇心：什么是證明？怎樣證明？至于實(shí)事求是的態(tài)度，理性思考的精神，敢于質(zhì)疑的勇氣，科學(xué)探究的方法等，則是更為上位的教學(xué)目標(biāo)。

（二）縱向延展，要搭建平臺(tái)，提供支架

小學(xué)生天性好奇、多問。學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)角和，他們就想到：四邊形的內(nèi)角和是多少度？其他多邊形的內(nèi)角和是多少度？三角形有內(nèi)角，那會(huì)不會(huì)有外角呢？如果有外角，外角和會(huì)是多少呢？三角形的內(nèi)角和真是180°嗎？三角形的內(nèi)角和一定是180°嗎？……延展式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，就需要為學(xué)生在數(shù)學(xué)縱深處的探秘搭建平臺(tái)，提供支架。

于是，全班交流時(shí)，讓想到用長(zhǎng)方形來證明的學(xué)生先發(fā)言，是教師有意而為之：其一，選擇這個(gè)方法的學(xué)生相對(duì)較多，易于接受、理解。其二，長(zhǎng)方形是學(xué)生最熟悉的知識(shí)支架，易于表達(dá)。其三，用長(zhǎng)方形證明直角三角形的內(nèi)角和后，易于層層推進(jìn)，經(jīng)歷嚴(yán)密的演繹推理過程。課堂上提供的長(zhǎng)方形紙片是教師精心準(zhǔn)備的;長(zhǎng)方形的對(duì)角線把長(zhǎng)方形分成兩個(gè)完全一樣的三角形，學(xué)生完全是憑著直觀和經(jīng)驗(yàn)得出的，并把它作為已知事實(shí)直接運(yùn)用來論證;通過剪、重疊這一操作過程，能讓學(xué)生明白，已知的事實(shí)也是需要論證的，由此進(jìn)一步感受推理的嚴(yán)謹(jǐn)性。學(xué)生用任意四邊形證明方法的意外插入，教師及時(shí)抓住這一生成，讓學(xué)生反思從長(zhǎng)方形入手的原因：原來，我們的每一步都是有理由的，我們的直覺也是有理論支撐的。

（三）縱向延展，可促進(jìn)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的提升

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志之一。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，除了通過觀察、動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)等這些“看得見”的活動(dòng)積累的經(jīng)驗(yàn)之外，也包括數(shù)學(xué)思維上“看不見”的活動(dòng)所積累的意會(huì)、感悟等經(jīng)驗(yàn)。

比如，對(duì)于用任意四邊形證明的學(xué)生來說，興致勃勃的講解、展示遭到了同學(xué)們的質(zhì)疑，相信數(shù)學(xué)論證的嚴(yán)謹(jǐn)給他烙下了深刻的印象;對(duì)于全班學(xué)生來說，到了五年級(jí)，研究圓的面積推導(dǎo)時(shí)，一定會(huì)想起在四年級(jí)時(shí)就曾有同學(xué)運(yùn)用過極限思想;到了初中，再次學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角和的證明時(shí)，小學(xué)一位同學(xué)的內(nèi)錯(cuò)角證明方法可能會(huì)在腦海中若隱若現(xiàn)。