王忠誠，陳海衛(wèi)，王 志

（1.江南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 無錫214122；2.江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點實驗室，江蘇 無錫214122）

旋轉(zhuǎn)機(jī)械的振動主要是由偏心不平衡引起的。倘若系統(tǒng)有固定的偏心，可利用動平衡或靜平衡的方法達(dá)到平衡。然而，在許多情況下，不平衡質(zhì)量的分布會隨時間的變化而變化，從而很難預(yù)測這種不平衡會在何時何地發(fā)生。球式自動平衡裝置是自動定心型的平衡裝置[1]，不需要外部提供任何能量，只利用系統(tǒng)響應(yīng)所形成的能量來驅(qū)動滾球的移動和分布，從而自動地消除轉(zhuǎn)子的不平衡[2-3]。Rajalingham，Bhat和Rakheja[4]研究了球式自動平衡裝置無衰減動力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并利用線性化后的運動方程來確定系統(tǒng)穩(wěn)定轉(zhuǎn)速的范圍，從而得出，在達(dá)到系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速時轉(zhuǎn)子的振動減小。Chung和Ro[5]采用極坐標(biāo)的方式并利用拉格朗日方程推導(dǎo)出了球式自動平衡裝置自治系統(tǒng)的運動方程，并對球式自動平衡裝置的穩(wěn)定性和動力學(xué)特性進(jìn)行了分析。譚青[6]建立了單自由度振動系統(tǒng)球式自動平衡裝置實驗臺，并通過仿真與實驗驗證了球式自動平衡裝置的減振性能。

本文構(gòu)建了雙自由度球式自動平衡裝置的平面模型，并對自治系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，指出系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速的條件。

1 球式自動平衡裝置的振動模型

本文的研究對象是一個平面放置的偏心旋轉(zhuǎn)盤和一個由兩個平衡球組成的自動平衡裝置模型，如圖1所示，包括圓盤，平衡球和懸掛系統(tǒng)。圓盤以恒定的角速度旋轉(zhuǎn)。點W表示圓盤的質(zhì)量中心（不包括平衡球）且與旋轉(zhuǎn)中心C不重合，偏心距為ε。平衡球在固定的軌道中周向運動，軌道半徑為R。

圖1 球式自動平衡裝置模型

本文所采用的符號(單位均采用國際標(biāo)準(zhǔn)單位)：O、C——圓盤中心靜止時和運動時的位置

X、Y——C點在水平和豎直方向的坐標(biāo)

C、K——圓盤在水平和豎直方向的阻尼系數(shù)和剛度

M、m——偏心圓盤與平衡球的質(zhì)量

R——平衡球周向運動的軌道半徑

ε——偏心距

ψ、φi——圓盤轉(zhuǎn)角、第i個滾球的轉(zhuǎn)角

D——球的粘性阻尼系數(shù)

M0——系統(tǒng)總質(zhì)量(M0=M+2m)

圓盤在XY平面中運動，系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為：

利用拉格朗日方程推導(dǎo)得到系統(tǒng)的運動微分方程

為了簡化計算，上式(1)、式(2)、式(3)中的X、Y、t可通過下面的公式轉(zhuǎn)化為無量綱形式的X0、Y0、t0，

定義如下的無量綱參數(shù)

ωn是系統(tǒng)的固有頻率

系統(tǒng)的微分方程可以轉(zhuǎn)化為如下的無量綱形式

上述得到的模型為非自治系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)解為周期解。因為周期解的討論較為困難,所以這里進(jìn)行自治系統(tǒng)的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而討論其平衡點的穩(wěn)定性。采用下述旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換[7]的方法將上述系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為自治形式

將旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)帶入式(4)、(5)、(6)，得到系統(tǒng)的自治形式

2 自治系統(tǒng)分岔與穩(wěn)定性分析

本節(jié)中對式(8)得到的系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性進(jìn)行分析。首先，通過計算求得系統(tǒng)在不同條件下的穩(wěn)態(tài)解；然后利用AUTO軟件[8]對各個解進(jìn)行穩(wěn)定性分岔分析。

2.1 穩(wěn)態(tài)解

系統(tǒng)具有穩(wěn)態(tài)解時，所有關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)均為零。當(dāng)系統(tǒng)的質(zhì)心處在原點時，系統(tǒng)會有一個平衡的穩(wěn)態(tài)解，再根據(jù)公式(8)可得

在下面的分析計算中，將公式(9)記為解1。

當(dāng)系統(tǒng)的質(zhì)心不在原點，即x,y≠0時，系統(tǒng)會有不平衡的穩(wěn)態(tài)解。根據(jù)公式(8)可得

在k=0時對應(yīng)系統(tǒng)的第一個不平衡的穩(wěn)態(tài)解，也就是說兩個平衡球是重合的狀態(tài)（不考慮球的碰撞和球之間的相互作用）。將k=0 及式(10)代入式(8)，從而可以得到

在下面的計算分析中，將式(11)記為解2±。

在k=1時是系統(tǒng)的第二個不平衡的穩(wěn)態(tài)解，此時，2 個平衡球處于相對的位置，與旋轉(zhuǎn)中心C在一條直線上。將k=1及式(10)代入式(8)，可以得到

在下面的計算分析中，將公式(12)記為解3。

(a)為解1，兩個平衡球關(guān)于偏心對稱；

(b)為解2±，兩個平衡球重合；

(c) 為解3，兩個平衡球與旋轉(zhuǎn)中心在同一直線上。

圖2 三個解的示意圖，G代表偏心，B代表平衡球

2.2 數(shù)值分岔結(jié)果

利用數(shù)值分岔軟件AUTO 對式(8)得到的自治系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。AUTO是在Linux/Unix系統(tǒng)下運行的軟件，本文使用的版本為AUTO07p。當(dāng)發(fā)生鞍-結(jié)分岔時，系統(tǒng)在平衡點處具有一個0特征值。當(dāng)發(fā)生霍夫分岔時，平衡點處系統(tǒng)存在一對共軛復(fù)根。該復(fù)根穿越了復(fù)平面中的虛軸，系統(tǒng)的平衡點也由此變得不穩(wěn)定。計算過程中各參數(shù)的默認(rèn)值及變化范圍見表1

表1 計算參數(shù)

進(jìn)而可以得到無量綱參數(shù)默認(rèn)值以及變化范圍如表2

表2 無量綱參數(shù)

上述所得的穩(wěn)態(tài)解的存在需具備一定的條件。對于解1，其存在的條件為

也就是說，為了達(dá)到平衡狀態(tài)，平衡球的總質(zhì)量與軌道半徑的乘積要大于偏心質(zhì)量與偏心距的乘積。當(dāng)公式(13)兩邊相等時，φ1=π,φ2=-π。說明此時兩個平衡球相對于偏心都處于相對狀態(tài)，即兩平衡球重合，恰好對應(yīng)解2±。在Mε＞2mR時，解1不存在，即在兩個平衡球重合后，平衡的穩(wěn)態(tài)解1開始不存在，這是典型的叉形分岔。

圖3是m0的單參數(shù)分岔圖，在圖中，縱坐標(biāo)為AUTO 默認(rèn)的L2范數(shù)實線為穩(wěn)定解，虛線為不穩(wěn)定解，叉形分岔點用△標(biāo)記，霍夫分岔點用*標(biāo)記。從圖3可看出,隨著m0的增大,系統(tǒng)中出現(xiàn)了霍夫分岔現(xiàn)象。經(jīng)過霍夫分岔點后,自治系統(tǒng)的解也從不穩(wěn)定轉(zhuǎn)為穩(wěn)定。平衡解1來自平衡解2±其中之一的叉形分岔PF。

圖3 m0單參數(shù)分岔分析，PF代表叉形分岔點，H代表霍夫分岔點

對于兩平衡球處于重合狀態(tài)的解2±來說，利用反余弦函數(shù)定義域絕對值小于等于1 的性質(zhì)，聯(lián)合式(11)可以得到

圖4(a)和圖4(b)給出了針對無量綱參數(shù)ω0與m0的雙參數(shù)分岔結(jié)果。在圖4(a)和圖4(b)中，實線對應(yīng)的是鞍結(jié)分岔PF 或者叉形分岔SN，虛線對應(yīng)的是霍夫分岔H；區(qū)域一對應(yīng)的是平衡解1，區(qū)域二對應(yīng)的是解2±，其余區(qū)域沒有對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)解。

鞍結(jié)分岔、叉形分岔和霍夫分岔曲線交于一點，即為上文提到的叉形分岔點，該點的坐標(biāo)為

該點坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為有量綱的形式為

在圖4(a)中，字母的下標(biāo)對應(yīng)的解的序號；在圖4(b)中，下標(biāo)代表該區(qū)域是否處于穩(wěn)定狀態(tài)(s代表穩(wěn)定，u 代表不穩(wěn)定)。從圖4(a)和圖4(b)中可以得到，對于解1來說，只有當(dāng)m0＞1時存在，且只在區(qū)域二中是穩(wěn)定狀態(tài)；對于解2+來說，在m0＜1 時，解2+一直是穩(wěn)定的解，而在m0＞1 時，只有當(dāng)ω0比較小時，即在鞍結(jié)分岔曲線SN2±的左側(cè)，系統(tǒng)才會處于穩(wěn)定狀態(tài)；對于解2-來說，系統(tǒng)一直處于不穩(wěn)定狀態(tài)。

圖5進(jìn)一步給出了其他相關(guān)物理參數(shù)的雙參數(shù)分岔分析，圖5(a)、圖5(b)分別表示隨著ω0的增加，穩(wěn)定邊界與球阻尼D、系統(tǒng)阻尼C的無量綱參數(shù)D0、C0的關(guān)系。區(qū)域一對應(yīng)的是平衡解1，區(qū)域二對應(yīng)的是解2±，其余區(qū)域沒有對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)解。在這2種情況中，在經(jīng)過鞍節(jié)分岔點SN 時解2±開始變得不穩(wěn)定，而在經(jīng)過霍夫分岔點H時平衡解1開始變得穩(wěn)定。

對于解3，無論各參數(shù)怎樣取值，式(12)總有意義，即解3一直存在（注意：和解1一樣，通過交換φ1和φ2可以得到兩種形式的解，因為兩個平衡球是完全一樣的，所以兩種形式的解是等價的）。

圖4 ω0 -m0雙參數(shù)分岔分析

圖5 雙參數(shù)分岔分析

3 分岔結(jié)果的仿真驗證

在本節(jié)中，應(yīng)用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值仿真并驗證上一節(jié)的分岔結(jié)果。各項參數(shù)采用表2中的默認(rèn)值，其他參數(shù)的初值設(shè)定為

圖4得到了系統(tǒng)不同解的區(qū)域以及穩(wěn)定、不穩(wěn)定區(qū)域，圖6給出了分岔圖中不同區(qū)域的數(shù)值仿真結(jié)果，即徑向振動隨時間的變化。

圖6 數(shù)值仿真圖

圖6(a)給出了高轉(zhuǎn)速(ω0=20)以及m0=2 時的仿真結(jié)果，該情況對應(yīng)圖4(a)中平衡解1的霍夫分岔邊界H1的右側(cè)，且最終實現(xiàn)了完全平衡的效果。圖6(b)給出了低轉(zhuǎn)速ω0=0.3 以及m0=2 時的仿真結(jié)果，長時間的數(shù)值仿真系統(tǒng)都未能達(dá)到平衡的效果。圖6(c)給出了平衡球與偏心質(zhì)量比值較小(m0=0.5)以及ω0=4的仿真結(jié)果，對于給定的偏心率e=2，此時并不滿足平衡條件(13)，如同分岔分析所預(yù)測的一樣，解2+是穩(wěn)定的，系統(tǒng)的徑向振動最終穩(wěn)定在0.025 77。圖6(d)給出的是m0=4、ω0=0.6的仿真結(jié)果，圖6(d)可以得知，此時系統(tǒng)沒有穩(wěn)定的平衡，在該條件下系統(tǒng)具有振蕩的徑向振動。

4 結(jié) 語

本文建立了雙自由度振動系統(tǒng)的球式自動平衡裝置的模型，并對其進(jìn)行了非線性分岔分析，給出系統(tǒng)的雙參數(shù)分岔分析圖，從而得到系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)與不穩(wěn)定區(qū)。最后在MATLAB 中進(jìn)行數(shù)值仿真驗證分岔結(jié)果，得到不同參數(shù)值情況下的平衡結(jié)果。從中可以得到以下結(jié)論：

(1)從圖3和圖4可以得到，若每個平衡球的質(zhì)量與偏心質(zhì)量之比m0大于偏心率e的一半，且隨著轉(zhuǎn)速的增加，系統(tǒng)在經(jīng)過霍夫分岔后即可實現(xiàn)平衡；

(2)在每個平衡球的質(zhì)量與偏心質(zhì)量之比m0小于偏心率e的一半時，此時兩平衡球重合，最終系統(tǒng)的振幅會穩(wěn)定在某個特定的值，從而實現(xiàn)動態(tài)平衡。