梅堅強

[摘 ?要] 學習過程是學習者在原有認識結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上所產(chǎn)生、進行的一個過程，學習者必須結(jié)合已有的相關(guān)知識與經(jīng)驗才能建立新的認知和理解并提升解題能力. 教師應(yīng)關(guān)注學生的有意義學習并使學生在已有知識與能力的基礎(chǔ)上不斷獲得解題能力的發(fā)展.

[關(guān)鍵詞] 解題能力;有意義學習;學習過程

有意義的學習這一現(xiàn)代認識學習理論是美國心理學家奧蘇泊爾所提出的，他一直認為學習過程是學習者在原有認識結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上所產(chǎn)生、進行的一個過程，學習者必須結(jié)合已有的相關(guān)知識與經(jīng)驗才能對新的概念、規(guī)則、命題、問題建立認知和理解. 他認為學習者循序漸進的學習能力在已有知識的基礎(chǔ)上也是螺旋上升、逐步提升的，這需要學習者具備一定的認知與理解的基礎(chǔ).事實上，學生在學習過程中能夠認識、理解新的概念、規(guī)則和命題正意味著其能力的突破，這是一種具體的體現(xiàn).

每個教師在實際教學中均會追求提升學生解題能力這一目標，這在教學環(huán)節(jié)中也是最為重要的一環(huán). 很多數(shù)學教師在高考政策下依舊在教學中重復著機械而強化的訓練，但現(xiàn)實是，這種機械、重復、強化的訓練并沒有對學生解題能力的提升起到積極的作用，學生的創(chuàng)造力與好奇心卻因此遭到了巨大的打擊和泯滅. 應(yīng)試教育在很多教師心目中仍舊占據(jù)著極其重要的地位，很多教師將有效提升課堂教學效率置于理論研究的范疇中，這部分教師在實際教學中很少關(guān)注學生知識的形成過程，高付出與低產(chǎn)出仍舊是這部分教師數(shù)學教學的一大特色，這都是極少關(guān)注學生有意義的學習而導致的.

現(xiàn)在數(shù)學高考主要是針對學生對知識的理解與應(yīng)用上的考查，這是針對考查學生能力而設(shè)計的. 學生在缺乏數(shù)學思想的前提下解題，往往無法對知識的整體性等問題進行全面的考慮，解題缺陷自然會表現(xiàn)得更加明顯. 因此，關(guān)注學生的有意義學習、關(guān)注學生知識形成的過程、關(guān)注學生的數(shù)學思想形成是教學中不可缺少的，只有這樣，學生才能在高度緊張的環(huán)境中獲得高考的成功.

備好學生這一關(guān)是幫助學生實現(xiàn)有意義學習的第一關(guān). 了解學生的知識儲備情況、心理特征以及思維差異性等方面，能使教師制定出更為明確且具針對性的教學目標. 另外，教師在實際教學中還應(yīng)關(guān)注數(shù)學問題中回歸基本的思維特征并對問題之間的聯(lián)系進行分析，幫助學生學會探尋解決問題的辦法. 教師長期平衡好兩者之間的關(guān)系能有效幫助學生的知識水平、解題能力獲得有力的提升.

例1：如圖1，已知△ABC為直角三角形，∠ABC為直角，AB=4，BC=3，BD為斜邊AC上的高，試求BD的長.

這是一道學生學習過解三角形后基本都會解決的簡單題，解法也不止一種，解法之一如下：

因為S△ABC= AB·BC，又S△ABC= BD·AC，所以BD= .

因為AB=4，BC=3，所以AC= =5，所以S△ABC= .

運用不同方法表示三角形的面積并建立等量關(guān)系是解決本題的基本思路，在這一等量關(guān)系中，未知量以外的其他量都是已知或比較容易求出的，因此未知量也極易求得. 這種平面幾何中的基本思路在立體幾何的相關(guān)問題中一樣適用.

例2：如圖2，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°.

（1）求證：PC⊥BC;

（2）點A至平面PBC的距離為多少？

解：（1）因為PD⊥平面ABCD，BC？奐平面ABCD，因此PD⊥BC.

由∠BCD=90°，得CD⊥BC.

又PD∩DC=D，PD，DC？奐平面PCD，因此BC⊥平面PCD.

因為PC？奐平面PCD，故PC⊥BC.

（2）聯(lián)想體積法解題. 連結(jié)AC. 設(shè)點A至平面PBC的距離是h. 因為AB∥DC，∠BCD=90°，因此∠ABC=90°. 由AB=2，BC=1，得△ABC的面積S△ABC=1.

由PD⊥平面ABCD及PD=1，可得三棱錐P-ABC的體積V= S△ABC·PD= .

因為PD⊥平面ABCD，DC？奐平面ABCD，所以PD⊥DC.

又PD=DC=1，因此PC= = . 由PC⊥BC，BC=1，可得△PBC的面積S△PBC= . 由VA-PBC=VP-ABC， S△PBC·h=V= ，可得h= ，則點A至平面PBC的距離為 .

點到直線的距離這一類問題在最近幾年的高考中是一個考點. 教師應(yīng)對此類問題的解題思路與方法進行總結(jié)并及時發(fā)現(xiàn)這一解題思路在幾何范疇內(nèi)的可行性. 當然，點到平面距離的此類問題的解法不止一種，下述解法一樣可行.

分別取AB，PC的中點E，F(xiàn)，連結(jié)DE，DF，可得DE∥CB，DE∥平面PBC，點D，E至平面PBC的距離相等. 又點A至平面PBC的距離等于點E至平面PBC的距離的2倍.由（1）知：BC⊥平面PCD，因此平面PBC⊥平面PCD，交線是PC. 因為PD=DC，PF=FC，因此DF⊥PC，因此DF⊥平面PBC于點F. 易得DF= ，故點A至平面PBC的距離為 .

第一種解法在解決有些問題時并不是最為簡捷的，但學生如果能夠?qū)ζ渲械慕忸}思路形成透徹的理解與掌握，則該解題思路在運用上的范圍將會更加廣泛，解題過程也會更為自然和流暢. 學生對于這種自身原有知識水平上所提煉出的解題思想并不會感覺高深莫測，因此，教師可以首先幫助學生在部分練習中對這一解題思路進行理解與掌握. 在學生對這一解題思路獲得理解之后就不用大費周章了，盡量避免學生在重復、機械的訓練中喪失處理問題的能力，上課的效率也因此大大提升.

教學的有效時間對于學生能力的提升鍛煉有著積極的影響作用，在同等時間內(nèi)幫助學生掌握知識的多少是教學有效性真實而具體的體現(xiàn). 課堂教學成功與否的一個重要標志就是學生的主體參與，但受到問題情境的創(chuàng)設(shè)、教師教學的主導等因素重大影響的學生主體參與是一個相當復雜的問題，因此，教師在課前就應(yīng)該對各種可利用的生成性資源進行預(yù)估，對整個教學過程進行整體的把握并引導學生在主體學習中達成教學的目標. 比如，教師在數(shù)列的復習教學中可以對一些復雜問題進行預(yù)設(shè)，以最貼近學生理解的方式幫助學生更好地參與課堂并令其解題能力得到發(fā)展.

例3：數(shù)列{an}中，已知a1=a，當n≥1時，an+1=pan+q，其中p，q為常數(shù)，且p≠1，試求{an}的通項公式.

直接讓學生解決這一問題顯然不會順利，很多學生甚至因為此題太難而直接放棄思考，解題的積極性自然不會很高. 教師此時可以進行如下教學以幫助學生更好地參與到課堂中來，使學生的思考由淺入深并順利實現(xiàn)解題.

問題1：已知a1=1，an+1=2an+1（n≥1），試求其通項公式.

問題2：已知a1=1，an+1=2an+3（n≥1），試求其通項公式.

問題3：已知a1=1，an+1=2an+q（n≥1），q是常數(shù)，試求其通項公式.

問題4：已知a1=1，an+1=3an+1（n≥1），試求其通項公式.

問題5：已知a1=a，當n≥1時，an+1=pan+q，其中p，q是常數(shù)，且p≠1，試求其通項公式.

學生在問題1～4的思考后基本能夠獨立解決問題5，教師在具體教學中可以花費較多的時間來解決問題1，然后引導學生在問題2～4的探索中表達出具體的解題思路，最后引導學生在教師的簡單小結(jié)后板書解題過程. 這種能夠有效規(guī)范解題步驟的教學能更好地考查學生對知識的理解與掌握情況.

上述能夠考慮學生實際的教學活動很好地考慮到了學生的主體作用，以學生已有的知識為背景并引導學生按步驟解題的教學也保障了課堂的有效性. 學生在獲得解題自信的同時也會更好地養(yǎng)成思考問題的習慣并獲得思維能力的發(fā)展.

教師的教學方式對學生的解題能力有著直接的影響，以學生已有的知識為背景進行教學的設(shè)計與實施能夠更好地幫助學生提升解題能力. 教師在實際教學中應(yīng)不斷加強新舊知識聯(lián)系的教學并使學生能夠充分感受到新知識的生長點，充分展現(xiàn)數(shù)學知識之間的邏輯聯(lián)系并幫助學生更好地構(gòu)建、完善新的知識結(jié)構(gòu).