張志華 周珊杉

[摘 ?要] 解析幾何是高中數(shù)學的主干知識，而直線與橢圓的位置關系更是高考考查的重中之重.如何有效地掌握好解析幾何的相關知識？如何在這一部分高效得分？文章認為一些基本的二級結論還是有必要了解，因為這樣可以有效延伸我們思考問題的“跨越度”，快速找到已知條件與所求結論之間的內在聯(lián)系，進而讓我們對問題的本質理解更加透徹，甚至對命題者的命題角度、意圖、途徑都得窺門徑.

[關鍵詞] 圓錐曲線;過定點;基本模型

解析幾何是高中數(shù)學的主干知識，而直線與橢圓的位置關系更是高考考查的重中之重，歷來是學生數(shù)學學習的夢魘，也是教師數(shù)學教學的痛點. 如何有效地掌握好解析幾何的相關知識？如何在這一部分高效得分？始終是每一位教師和學生思考的問題. 除了大家耳熟能詳?shù)慕馕鰩缀蔚姆g與轉化能力、運算能力（尤其是字符化簡能力）有較高要求之外，筆者覺得一些基本的二級結論或基本的模型性質還是有必要了解并熟悉，當然能夠達到理解并記憶的水平自然更佳. 因為這樣可以有效延伸我們思考問題的“跨越度”，快速找到已知條件與所求結論之間的內在聯(lián)系，進而讓我們對問題的本質理解更加透徹，甚至可以對命題者的命題角度、意圖、途徑都得窺門徑.

以下就以兩道具體的解析幾何問題為例，探索其背后所蘊含的基本模型，進而探索這種模型有哪些基本性質或二級結論，最終得以窺視命題者命題的數(shù)學來源與本質.

例題展示與評析

例1：（重慶市高2018級二診理數(shù)20（2））

已知F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）是橢圓 + =1的左、右焦點.

（2）過F2作兩條互相垂直的直線l1與l2（均不與x軸重合），分別與橢圓交于A，B，C，D四點，線段AB，CD的中點分別是M，N，求證：直線MN過定點，并求出該定點坐標.

解析：設直線AB：y=k（x-1），聯(lián)立橢圓方程3x2+4y2=12得：

（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，則xA+xB= ，故

xM= · = ，yM= · = . 將k用- 代替得

xN= = ，yN= .

由題意，若直線AB關于x軸對稱后得到直線A′B′，則得到的直線M′N′與MN關于x軸對稱，所以若直線MN經(jīng)過定點，則該定點一定是直線M′N′與MN的交點，該點必在x軸上.

設該定點坐標P（s，0）， =（s-xM，-yM）， =（xM-xN，yM-yN），由 = 得：s= ，代入M，N坐標化簡得s= .所以直線MN過定點 ，0.

評注：此題屬于解析幾何中的定點問題，按照通常的“由特殊到一般”的思路先猜后證，從思維要求上說應該不太難. 但是，從實際考場上的得分結果反饋，除去一部分學生的心理因素和時間因素之外，此題對運算能力特別是字符化簡能力的要求提出了較高的挑戰(zhàn)，因此得分率并不太理想. 所以，我們有必要深入研究問題的背景和本質，使得學生能夠做到對此問題心中有數(shù)、高屋建瓴、統(tǒng)攬全局，最后再從容不迫計算，甚至只是驗證心中所想的基本結論而已.

其實，此題的本質就屬于橢圓中互相垂直的弦中點過定點的基本模型. 以下就給出一些基本的結論與證明.

基本結論與證明

結論1：過橢圓 + =1的右焦點F（c，0）作兩條互相垂直的弦AB，CD. 若弦AB，CD的中點分別為M，N，那么直線MN恒過定點 ，0.

結論2：過橢圓 + =1的長軸上任意一點S（s，0）（-a

證明：設AB的直線為x=my+s，則CD的直線方程為x=- y+s，

x=my+s，b2x2+a2y2-a2b2=0，（m2b2+a2）y2+2b2msy+b2（s2-a2）=0，

Δ=4a2b2（m2b2+a2-s2）>0，y1+y2= ，y1·y2= ，

由中點公式得M ， ，

將m用 代換，得到N的坐標 ，

MN的直線方程為y+ = x- ，

令y=0，得x= . 所以直線MN恒過定點 ，0.

結論3：過橢圓 + =1的短軸上任意一點T（0，t）（-b

結論4：過橢圓 + =1內的任意一點Q（s，t） + <1作兩條互相垂直的弦AB，CD. 若弦AB，CD的中點分別為M，N，那么直線MN恒過定點 ， .

注：回到開頭的例題，其實此問題的本質就屬于橢圓中互相垂直的弦中點過定點的基本模型，若套用我們前面的結論1：直線MN恒過定點 ，0，即 ，0，問題瞬間秒殺.正所謂“問渠那得清如許，為有源頭活水來”.

相關結論與拓展

拓展結論（1）：其實，雙曲線中互相垂直的弦中點過定點也有類似的結論.

結論5：過雙曲線 - =1的右焦點F（c，0）作兩條互相垂直的弦AB，CD.若弦AB，CD的中點分別為M，N，那么直線MN恒過定點 ，0.

結論6：過雙曲線 - =1的實軸上任意一點S（s，0）（s<-a或s>a）作兩條互相垂直的弦AB，CD. 若弦AB，CD的中點分別為M，N，那么直線MN恒過定點 ，0.

結論7：過雙曲線- + =1的虛軸上任意一點T（0，t）（t<-b或t>b）作兩條互相垂直的弦AB，CD.若弦AB，CD的中點分別為M，N，那么直線MN恒過定點 ，0.

結論8：過雙曲線 - =1外的任意一點Q（s，t） - >1作兩條互相垂直的弦AB，CD.若弦AB，CD的中點分別為M，N，那么直線MN恒過定點 ， .

其證明讀者可以類比橢圓的相關結論進行，略.

拓展結論（2）：與之相關的圓錐曲線上的直角弦過定點的結論.

結論9：橢圓 + =1上一點P（x0，y0），橢圓上存在不同于點P的兩點A，B，且滿足PA⊥PB，那么直線AB恒過定點 x0，- y0.

等價說法：以（x0，y0）為直角頂點的橢圓 - =1內接直角三角形的斜邊必過定點 x0，- y0.

結論10（1）：雙曲線 + =1上一點P（x0，y0），雙曲線上存在不同于點P的兩點A，B，且滿足PA⊥PB，那么直線AB恒過定點 x0，- y0.

等價說法：以（x0，y0）為直角頂點的雙曲線 - =1內接直角三角形的斜邊必過定點 x0，- y0.

結論10（2）：雙曲線- + =1上一點P（x0，y0），雙曲線上存在不同于點P的兩點A，B，且滿足PA⊥PB，那么直線AB恒過定點 x0， y0.

結論11：拋物線y2=2px（p>0）上一點P（x0，y0），拋物線上存在不同于點P的兩點A，B，且滿足PA⊥PB，那么直線AB恒過定點（x0+2p，-y0）.

等價說法：以（x0，y0）為直角頂點的拋物線y2=2px內接直角三角形的斜邊必過定點（x0+2p，-y0）.

注：其證明讀者可以類比橢圓的相關結論進行，略.

例題運用與評析

例2：（重慶市高2018級文科二診20（2））

已知F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）是橢圓 + =1的左、右焦點，B為橢圓的上頂點.

（2）過點B作兩條互相垂直的直線與橢圓交于S，T兩點（異于點B），證明：直線ST過定點，并求該定點的坐標.

解析：設S（x1，y1），T（x2，y2），直線BS：y=kx+ ，聯(lián)立橢圓方程得：

（4k2+3）x2+8 kx=0，x1= ，x = = ，

由題意，若直線BS關于y軸對稱后得到直線B′S′，直線BT關于y軸對稱后得到直線B′T′，則得到的直線S′T′與ST關于y軸對稱，所以若直線ST經(jīng)過定點，則該定點一定是直線S′T′與ST的交點，該點必在y軸上.

設該定點坐標（0，t），

= ？圯t= = ，

代入x1，x2化簡得t=- ，所以過定點0，- .

評析：其實此問題的本質就屬于圓錐曲線上的直角弦過定點的基本模型，若套用我們前面的結論9：直線AB恒過定點 x0，- y0（其中a2=4，b2=3，x =0，y = ），即直線AB恒過定點 ×0，- × =0，- . 問題被瞬間秒殺，這種感覺真叫人拍案叫絕，正所謂“會當凌絕頂，一覽眾山小”.

教學反思與啟示

通過這兩道典型問題的分析，給了我們很多有益的啟示. 要徹底洞察解析問題的本質，必須要有“清澈的源頭”，才能做到高屋建瓴，一語中的. 只有掌握好了一些基本的模型、套路、方法，解析幾何問題才會變得溫馴且可控.因此，我們在日常教學中，應堅持“學生的精彩才是教師的出彩”的原則，啟發(fā)學生的思維，提升學生的探究能力，培養(yǎng)學生對復雜問題的鉆研精神，使學生在問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決、反思過程中，不斷發(fā)現(xiàn)并總結出一些套路模型與二級結論，進而不斷提升數(shù)學思維能力與核心素養(yǎng).