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圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用

2016-07-12 17:04陶述兵
考試周刊 2016年50期
關(guān)鍵詞:圓錐曲線

陶述兵

摘 要: 平面內(nèi)到定點(diǎn)F的距離到定直線(點(diǎn)F不在上)的距離比為常數(shù)e的軌跡為圓錐曲線,記為C,定點(diǎn)F為其焦點(diǎn),定直線為與F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線,常數(shù)e為其離心率,根據(jù)e的不同可分為橢圓、雙曲線、拋物線三類.當(dāng)時(shí),C為橢圓;當(dāng)e=1時(shí),C為拋物線;當(dāng)時(shí),C為雙曲線.本文主要研究圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用.

關(guān)鍵詞: 圓錐曲線 光學(xué)性質(zhì) 簡(jiǎn)單應(yīng)用

某次考試后的集體改卷中,我們備課組成員對(duì)于該考卷中的某道題目的處理產(chǎn)生了爭(zhēng)議.

填空題13題:求函數(shù)y=sin(2x+)的單調(diào)遞增區(qū)間.

學(xué)生給出的答案有主要有兩種寫法:

備課組老師有的認(rèn)為(1)的寫法比較準(zhǔn)確,有的則認(rèn)為兩者都可作為正確答案.

必修一在第1章第2節(jié):函數(shù)及其表示中,通過集合給出區(qū)間的概念,所以區(qū)間是集合,是一個(gè)數(shù)集,但區(qū)間必須指的是一個(gè)連續(xù)的范圍,所以區(qū)間并不等同于集合,或者說,并不等同于數(shù)集.在很多情況下,區(qū)間與數(shù)集具有相同的效果,可以相互轉(zhuǎn)化表示某一個(gè)范圍,如:

例1:[1,5]={x/1≤x≤5},(1,5)={x/1

例2:函數(shù)f(x)=ln(x-6x+5)的定義域:既可以表示成(-∞,1)∪(5,+∞),又可以表示成{x/x<1或x>5}.

例3:函數(shù)f(x)=lg(x-1)既可以說在(1,+∞)遞增,又可以說在{x/x>1}上是增函數(shù).

那么例1中的單調(diào)區(qū)間的兩種表示方法是否都正確呢?

筆者認(rèn)為,第一種表示方法指的是多個(gè)區(qū)間,當(dāng)k取不同的整數(shù)的時(shí)候,表示不同的區(qū)間,如:k=-1表示區(qū)間,k=0表示區(qū)間,k=1表示區(qū)間,即k取遍所有整數(shù)時(shí)的各個(gè)區(qū)間,即它不等同于這些集合的并集.而第二種表示法方法指是多個(gè)區(qū)間的并集,即:…∪∪…即k取遍所有整數(shù)時(shí)所得區(qū)間的并集.

再者,我們了解,對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性,只能在定義域的某個(gè)區(qū)間上進(jìn)行研究,不能將單調(diào)性相同的區(qū)間并起來,如函數(shù)f(x)=的單調(diào)區(qū)間,學(xué)生容易誤寫成:(-∞,0)∪(0,+∞),而正確的寫法為:函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為(-∞,0)和(0,+∞),它指的是函數(shù)有兩個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間.所以例1中的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)該是有無數(shù)多個(gè),而不是取并集為一個(gè)區(qū)間.這個(gè)問題其實(shí)在必修四中正切函數(shù)的性質(zhì)也有所體現(xiàn):“正切函數(shù)在開區(qū)間(-+kπ,+kπ),k∈Z內(nèi)都是增函數(shù).”認(rèn)真觀察我們便會(huì)發(fā)現(xiàn),對(duì)于單調(diào)區(qū)間,課本是有給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋硎镜模慈呛瘮?shù)中的單調(diào)區(qū)間基本都會(huì)用區(qū)間表示.

所以事實(shí)上,數(shù)集和區(qū)間并不能等同,數(shù)集和區(qū)間在其他地方也是有區(qū)別的.例如:對(duì)于離散的數(shù)集,可用集合{1,2,3,4}表示,但不能用區(qū)間表示若給定集合{x/m-1-2,即此區(qū)間一定有意義,不為空集.

所以數(shù)集和區(qū)間并不能簡(jiǎn)單地等同,它們之間存在區(qū)別,我們必須認(rèn)清它們的區(qū)別并正確使用,例如:函數(shù)y=lg(sinx)的定義域正確表示則應(yīng)該為{x/2kπ

總之,區(qū)間的概念是在集合的基礎(chǔ)上給出的,在很多情況下區(qū)間和集合可以相互轉(zhuǎn)化.

其實(shí)在本題中,集合與區(qū)間的區(qū)別僅僅在于后面的k∈Z,比如區(qū)間(,π)與集合{x/

數(shù)學(xué)是一門非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科,數(shù)學(xué)教師應(yīng)該在教學(xué)中處處體現(xiàn)其嚴(yán)謹(jǐn)性,這樣學(xué)生才能在學(xué)習(xí)中逐步形成嚴(yán)密的思維方式,在教學(xué)中不能模棱兩可,是就是,不是就不是,容不得半點(diǎn)紕漏,要注意各種細(xì)節(jié)的不同.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,其實(shí)還有很多細(xì)節(jié)需要我們注意,比如此題學(xué)生所寫答案除了本文開頭兩種外,還有部分學(xué)生的答案為(3){x/k·180°-75°

對(duì)于這個(gè)答案,備課組老師們大多數(shù)認(rèn)為,因?yàn)楹瘮?shù)的定義域必須是數(shù)集,而單調(diào)區(qū)間是定義域的一個(gè)子集,所以必須為數(shù)集,那么就必須用弧度制表示,所以這類答案肯定不正確.那么,事實(shí)真是如此嗎?

必修一是在兩個(gè)非空數(shù)集的基礎(chǔ)上給出函數(shù)的概念,于是,在高中教學(xué)中,有很多老師在給學(xué)生介紹弧度制時(shí)都以為了使研究三角函數(shù)時(shí),使得角與實(shí)數(shù)集一一對(duì)應(yīng)為理由,但真的是如此嗎?事實(shí)上,弧度制和角度制是度量角的兩種不同的方式,而其實(shí),無論是角度制還是弧度制,都能使得每個(gè)角都有唯一的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng),也就是說,無是有角度制還是弧度制,都能夠建立三角函數(shù),三角函數(shù)的定義域及單調(diào)區(qū)間也能用角度制表示,所以筆者認(rèn)為,第(4)種答案也是可以的.那么到底為什么有了角度制還要引入弧度制呢?我們知道角度制為六十進(jìn)制,而弧度制是用長(zhǎng)度單位度量角,是一類十進(jìn)制的實(shí)數(shù),弧度制的定義巧妙地將長(zhǎng)度單位和角度單位統(tǒng)一起來,這給研究三角函數(shù)帶來很大的便利.而且在必修四給出三角函數(shù)的定式義時(shí):是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么,y叫做α的正弦,即sinα=y,這個(gè)時(shí)候,y的單位為長(zhǎng)度單位,若此時(shí),角a采用角度制,則它們的單位無法統(tǒng)一,而弧度制恰恰解決了這個(gè)問題.

當(dāng)然,因?yàn)榻嵌戎剖怯媒嵌攘拷?,而弧度制是用長(zhǎng)度度量角,這種方式學(xué)生理解起來會(huì)有些困難,在教學(xué)中解釋為什么引入弧度制的必要是十分重要的,對(duì)于弧度制的理解,必須貫穿整個(gè)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中,即教學(xué)學(xué)習(xí)中都要盡量采用弧度制以便學(xué)生習(xí)慣并掌握弧度制,角度制和弧度制是角的兩同的度量方式,這與用千克,磅度量質(zhì)量一樣,是一種非常重要的認(rèn)識(shí),弧度制的引入最基本的作用體現(xiàn)在三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)上.

老子曾說:“天下難事,必做于易;天下大事,必作于細(xì)。”要做好一件事,必須從最簡(jiǎn)單最細(xì)微的地方入手,在科學(xué)領(lǐng)域中,細(xì)節(jié)是決定成敗的關(guān)鍵.數(shù)學(xué)教學(xué)也是如此,在教學(xué)過程中,一定要注重各種細(xì)節(jié),即使是教學(xué)語(yǔ)言也要注重細(xì)節(jié),養(yǎng)成用詞的習(xí)慣,這樣學(xué)生才能吃透課本,深入理解每個(gè)概念,從而真正掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn),學(xué)好數(shù)學(xué).總之,教師的發(fā)展就是為了學(xué)生的發(fā)展,在教學(xué)中,對(duì)細(xì)節(jié)的不忽視、不敷衍,是對(duì)學(xué)生負(fù)責(zé)任的一種體現(xiàn).

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