徐鵬,鄒冬林,呂芳蕊,塔娜,饒柱石*
1 海軍駐大連船舶重工集團有限公司軍事代表室,遼寧大連116005
2 上海交通大學 振動、沖擊、噪聲研究所,上海200240
3 上海交通大學機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室,上海200240
作為船舶動力裝置的核心部件,推進軸系可以將主機功率轉(zhuǎn)化為螺旋槳的推力,然后經(jīng)推力軸承傳遞給船體,從而推動船舶前進。在螺旋槳流體激勵、轉(zhuǎn)軸不平衡激勵、軸承摩擦激勵等復雜的外部載荷作用下,運轉(zhuǎn)中的推進軸系將不可避免地發(fā)生振動現(xiàn)象。過大的振動易導致軸系疲勞失穩(wěn)、軸承磨損甚至是損壞,從而影響軸系的安全穩(wěn)定運行,因此,船舶推進軸系的振動特性一直是該領(lǐng)域的研究熱點[1-2]。推進軸系振動包括彎曲振動、扭轉(zhuǎn)振動和縱向振動3 種形式。目前,國內(nèi)外大多采用線性理論研究推進軸系,故可分別獨立開展3 種振動的分析計算,從而簡化模型。例如,李全超等[3]研究了船舶推進軸系的彎曲振動特性,重點分析了支撐參數(shù)對彎曲振動特性的影響規(guī)律;李燎原等[4]研究了船舶橫搖條件下,主機隔振對推進軸系彎曲振動特性的影響;Zhang 等[5]研究了船舶推進軸系的縱向振動特性;張金國等[6]分析了推力軸承幾何參數(shù)對軸系縱向振動特性的影響規(guī)律;胡澤超等[7]研究了利用共振轉(zhuǎn)換裝置控制推進軸系縱向振動的優(yōu)化設(shè)計方法;張陽陽等[8]分析了推進軸系的縱向振動特性和振動控制策略;Polic 等[9]研究了螺旋槳與冰相互作用下的軸系扭轉(zhuǎn)振動響應;談微中等[10]開展了大型船舶推進軸系扭振特性的仿真和試驗研究。上述研究均是基于線性理論展開,然而,在實船復雜的工況條件下,這3 種振動形式之間會產(chǎn)生強烈的耦合作用,例如,軸系彎扭耦合振動、多頻現(xiàn)象、組合共振、自激振動等。因此,為了避免工程設(shè)計隱患,有必要建立推進軸系的非線性動力學模型。
對于船舶推進軸系不同方向之間的耦合非線性振動,國內(nèi)外已開展了相應的研究工作。例如,Hua 等[11]、花純利[12]和張振果等[13]分析了推進軸系在水潤滑橡膠軸承摩擦激勵下的彎扭耦合振動現(xiàn)象,以及軸承摩擦導致自激振動的發(fā)生條件。劉宗發(fā)等[14]研究了由螺旋槳偏心導致的軸系彎扭耦合振動現(xiàn)象,并分析了軸系疲勞應力。朱漢華等[15]研究了潤滑耦合沖擊作用下的軸系彎扭耦合振動特性。Jiang 等[16]研究了因摩擦激勵導致的推進軸系彎—縱耦合振動現(xiàn)象。近年來,這方面的研究成果層出不窮,由此可見,軸系非線性效應對其振動特性的影響已經(jīng)引起了業(yè)內(nèi)重視。
在上述研究中,非線性效應都是由于存在非線性激勵源(例如,摩擦激勵)所致;而在實際工程應用中,幾何大變形也會導致軸系的非線性效應。對小型船舶的推進軸系而言,其剛度較大,幾何非線性效應很小。然而,大型船舶的推進軸系一般很長(可能上百米跨度)且細長比較?。氶L比即軸系截面回轉(zhuǎn)半徑與軸系長度之比,細長比越小,表明軸系越“柔”,這是工程中考察梁剛度的一個重要指標),其在螺旋槳流體激勵和不平衡載荷激勵下,容易產(chǎn)生較大的軸系橫向變形,進而在縱向變形和橫向變形之間產(chǎn)生較嚴重的彈性耦合作用,這就是大變形幾何非線性導致的梁彎—縱耦合振動現(xiàn)象。基于此,本文擬建立并求解船舶推進軸系的彎—縱耦合非線性動力學方程,然后采用有限元法和多尺度法分析推進軸系產(chǎn)生彎—縱耦合非線性效應時的異常振動現(xiàn)象,用以為大型船舶推進軸系的工程設(shè)計提供參考。
典型的船舶推進軸系由螺旋槳、后艉軸承、前艉軸承、中間軸承及推力軸承組成,如圖1 所示。本文假設(shè)軸系具有均勻截面,并將螺旋槳簡化為集中質(zhì)量,各軸承簡化為彈簧與阻尼。
圖1 船舶推進軸系簡圖Fig.1 Schematic of marine propulsion shafting
采用瑞利梁力學模型,利用Hamilton 變分原理建立考慮彎—縱耦合非線性效應的推進軸系振動偏微分方程[17]:
式中:ρ為軸段密度;A為軸段橫截面面積;u,v,w分別為軸系的縱向(x向)、橫向(y向)、垂向(z向)振動位移;E為彈性模量;Id為截面慣性矩;kj為各徑向軸承的剛度,其中j=1,2,3;x為軸系的縱向距離;xj為螺旋槳到各徑向軸承的縱向距離;δ(x)為狄拉克函數(shù)。
式(1)列出了彎—縱耦合引起的非線性項:第1個方程最后一項的物理意義為軸系發(fā)生彎曲變形時,導致縱向方向產(chǎn)生的附加作用力;第2 個和第3 個方程倒數(shù)第2 項的物理意義為軸系發(fā)生縱向變形時,導致彎曲方向產(chǎn)生的附加作用力;第2個和第3 個方程最后一項的物理意義為軸系產(chǎn)生較大的彎曲變形時,橫向變形與垂向變形相互耦合產(chǎn)生的附加作用力。如果忽略這些非線性項,式(1)即可簡化為軸系的線性振動偏微分方程。
式(1)中,軸系首尾兩端需滿足的力平衡邊界條件為
式中:L為軸系長度;M1為螺旋槳質(zhì)量;kt為推力軸承的剛度;F為外激勵載荷;t為時間;α為載荷相位;Ω為轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)速度;ω=7Ω,為葉片次激勵頻率轉(zhuǎn)速(7 葉槳);Ip為轉(zhuǎn)軸截面極慣性矩;Jd1為螺旋槳徑向轉(zhuǎn)動慣量;Jp1為螺旋槳極轉(zhuǎn)動慣量。
式(2)中:第1 個方程表示縱向力平衡;第2 個和第3 個方程分別表示橫向剪力平衡與彎矩平衡;第4 個和第5 個方程分別表示垂向剪力平衡與彎矩平衡。同樣,如果忽略非線性項,式(2)即可簡化為軸系線性振動偏微分方程所需滿足的力平衡邊界條件。
對于式(1)和式(2)所示偏微分方程的定解問題,可以采用有限元數(shù)值方法進行求解[18-19],也可以進一步降維之后采用多尺度近似解析方法來求解[17]。有限元數(shù)值方法的求解過程較簡單,適用于任意幾何形狀的軸系,具有一定的通用性;但該方法屬于數(shù)值方法,難以獲得系統(tǒng)的解析解,故無法揭示某些機理性的規(guī)律。而多尺度法屬于漸進解析法,因而可以獲得非線性系統(tǒng)的解析解,但其求解過程較復雜。本文將同時采用這2 種方法進行求解:在第3.1~3.3 節(jié)利用有限元法分析系統(tǒng)產(chǎn)生彎—縱耦合效應時的振動現(xiàn)象;在第3.4 節(jié)利用多尺度法分析軸系相關(guān)參數(shù)對系統(tǒng)彎—縱耦合效應的影響規(guī)律。
對式(1)和式(2)應用有限元理論,即可推導出單元質(zhì)量矩陣Me、陀螺矩陣Ge和單元剛度矩陣Ke,其中Ke包含(線性剛度矩陣),(一次位移剛度矩陣)和(二次位移剛度矩陣)。Me,Ge及的構(gòu)成與線性情況完全一致,故此處不再列出具體形式,僅列出非線性剛度矩陣和。
式中,a~f和~等系數(shù)詳見文獻[19]。
將軸系各單元的Me,Ge,Ke組裝在一起,考慮集中質(zhì)量、支撐彈簧及阻尼的影響,即可得到軸系彎—縱耦合效應的振動微分方程:
式中:q(t)為位移向量;Cˉ=ΩG+C,其中C為阻尼矩陣;F(t)為載荷向量。
可以采用Newmark法等數(shù)值積分方法求解式(5),當系統(tǒng)非線性較弱時,通過減小步長即可取得很高的求解精度。但如果系統(tǒng)的非線性較強,即使步長很小且計算量很大,其求解精度也無法令人滿意,此時,可以結(jié)合Newton-Raphson 方法進行求解:首先,通過Newmark 法得到該時間步下的近似解,然后通過Newton-Raphson 方法進一步搜索得到更精確的數(shù)值解[18]。如果需得到系統(tǒng)的周期解,還可以結(jié)合打靶法,詳見文獻[19]。
利用Galerkin 方法即可將式(6)所示的偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程,其中試探函數(shù)將采用線性模態(tài)振 型。設(shè)u(x,t)=φ1(x)X1(t) ,v(x,t)=φ1(x)Y1(t) ,w(x,t)=ψ1(x)Z1(t) ,其中:φ1(x) 為縱向第1 階模態(tài)振型;φ1(x)為橫向彎曲第1 階模態(tài)振型;ψ1(x) 為垂向彎曲第1 階模態(tài)振型;X1(t) ,Y1(t),Z1(t)分別為時間尺度上的縱向、橫向及垂向振動位移。將其代入式(6),結(jié)合邊界條件并引入模態(tài)阻尼,得
式(7)是基于變分原理,并結(jié)合Galerkin 方法而得到的。實際上,針對能量泛函,采用Ritz 法結(jié)合Lagrange 方程也可以得到式(7),具體詳見文獻[20]。采用多尺度法和經(jīng)典龍格庫塔方法[21]求解式(7),即可得到軸系彎—縱耦合作用下的非線性振動特性。
本節(jié)將闡述彎—縱耦合效應對軸系非線性振動特性的影響,例如,多頻現(xiàn)象、跳躍現(xiàn)象及能量遷移現(xiàn)象等,并將簡單分析軸系各參數(shù)(例如,各支承軸承、螺旋槳質(zhì)量、軸系細長比等)對彎—縱耦合非線性強弱程度的影響。
對于線性系統(tǒng),穩(wěn)態(tài)響應的頻率成分始終與激勵力保持一致;然而,對于非線性系統(tǒng),響應中除了激勵力頻率成分之外,還可能出現(xiàn)別的頻率成分,即多頻響應現(xiàn)象。以表1 所示的推進軸系為研究對象,利用上文介紹的有限元方法進行求解。
表1 推進軸系的主要參數(shù)Table 1 The main parameters of propulsion shafting
假設(shè)軸系的縱向葉頻激勵頻率f縱=23.3 Hz,橫向葉頻激勵頻率f橫=20 Hz。利用Newmark 法并結(jié)合Newton-Raphson 法計算軸系的振動響應,選取軸系中點處響應的時域與頻域為考察對象,計算結(jié)果如圖2 所示。
從圖2 中可以看出,盡管橫向與縱向均為單頻激勵,但考慮彎—縱耦合非線性效應之后,響應中除了激勵頻率成分之外,還出現(xiàn)了其他新的頻率成分(表2)。
由此可見,即使僅存在單頻激勵,軸系彎—縱耦合非線性效應也會使其出現(xiàn)多頻響應現(xiàn)象,新的頻率成分為激勵頻率的各種組合,而組合形式主要與非線性的階次和響應乘積有關(guān)。由式(1)可知,軸系彎—縱耦合的非線性階次主要為二次和三次,且以彎曲響應和縱向響應的乘積為主,因此,新的頻率成分也表現(xiàn)為激勵頻率的2 倍或3倍,而響應中的乘積關(guān)系在頻譜中則體現(xiàn)為激勵頻率的相加與相減。
圖2 軸系L/2 處振動響應時域與頻域曲線Fig.2 Time domain and frequency domain response at L/2 of shafting
表2 響應中新的頻率成分組合Table 2 The new frequency components in the response
筆者所在團隊曾測試了數(shù)艘在役艦船的推進軸系振動響應,根據(jù)測試結(jié)果,上述多頻響應現(xiàn)象是真實存在的。
本節(jié)將利用有限元法結(jié)合打靶法進行求解[19]。軸系升速與降速時,葉頻激勵力作用下的軸系幅頻響應曲線如圖3 所示。從圖中可以看出:1)彎—縱耦合效應呈“硬彈簧”特性,故軸系的共振頻率略大于線性固有頻率;2)在某些頻率點處,響應曲線同時存在3 個解(2 個穩(wěn)定解和1 個不穩(wěn)定解),所以存在跳躍現(xiàn)象。
圖3 葉頻激勵下的軸系幅頻響應曲線Fig.3 Amplitude frequency response curves of shaft under blade frequency excitation
從物理的角度分析,彎—縱耦合非線性效應會導致軸系產(chǎn)生正的非線性剛度,并疊加在原來的線性剛度上,從而增加軸系的共振頻率。
圖4 所示為不同阻尼比和細長比時的軸系幅頻響應曲線(圖中,σ為頻率失調(diào)參數(shù),且7Ω-ε2σ=wf,其中wf為軸系橫向第1 階正進動固有頻率)。從圖中可以看出,阻尼比越小、細長比越小時,軸系彎—縱耦合的非線性效應越強。因此,可以通過增加阻尼比來抑制幾何非線性效應,從而提高軸系的穩(wěn)定性。
眾所周知,對于線性振動而言,各個方向的振動具有相互獨立的特點,互不干涉。但是對于非線性振動而言,其各個方向的振動之間則可能存在能量遷移現(xiàn)象。如圖5 所示,當軸系存在彎—縱耦合效應時,在某些特定工況下,彎曲振動與縱向振動之間存在能量滲透。圖5 中:au為縱向振動幅值;av為彎曲振動的正進動幅值;bv為彎曲振動的反進動幅值。在計算過程中,僅在縱向方向施加激勵力,而彎曲方向沒有載荷[20,22]。從圖中可以看出,對于臨界載荷f2:當激勵力小于f2時,隨著激勵力的增加,縱向振動幅值也線性增加,彎曲振動幅值為0,這與線性振動的結(jié)論一致;當激勵力大于f2時,隨著激勵力進一步增加,縱向振動幅值不變,能量飽和之后,多余的能量將轉(zhuǎn)移到彎曲方向,進而導致彎曲振動幅值進一步增加。同時,正進動與反進動之間的能量分配與其進動頻率成反比[22],因此反進動的幅值大于正進動。
圖4 幅頻響應曲線隨阻尼比和細長比的變化規(guī)律Fig.4 Variation of amplitude frequency response curves with damping ratio and slenderness ratio
臨界載荷f2與系統(tǒng)參數(shù)、激勵頻率及非線性強弱程度等密切相關(guān),圖6 所示為臨界載荷f2隨系統(tǒng)阻尼比的變化規(guī)律。從圖中可以看出,隨著阻尼比的減小,臨界載荷f2也隨之減小,這表明在很小的激勵力作用下也可發(fā)生能量遷移現(xiàn)象。
在設(shè)計推進軸系時,為了有效控制軸系縱向振動,可以充分利用這種能量滲透特性,使縱向振動幅值保持在一個“極限值”,而不會隨縱向激勵力的增加而進一步增加。
圖5 縱向振動幅值、彎曲振動幅值隨激勵力的變化規(guī)律Fig.5 Variation of longitudinal vibration amplitude and bending vibration amplitude with excitation force
圖6 臨界載荷隨阻尼比的變化規(guī)律Fig.6 Variation of critical load with damping ratio
本節(jié)將利用多尺度法探討軸承剛度、螺旋槳質(zhì)量及細長比等參數(shù)對非線性參數(shù)Λ1(反映軸系彎—縱耦合非線性強弱程度)的影響[23],計算結(jié)果如圖7 所示。從圖中可以看出:在一定范圍內(nèi)增加后艉軸承剛度,可以抑制彎—縱耦合非線性效應;在一定范圍內(nèi)增加前艉軸承剛度和推力軸承剛度,可以增強彎—縱耦合非線性效應;中間軸承對彎—縱耦合效應的影響較?。辉黾勇菪龢|(zhì)量、減少細長比也可以增強彎—縱耦合效應。
軸系參數(shù)對系統(tǒng)彎—縱耦合效應的影響機理具體如下:
圖7 軸系各參數(shù)對彎—縱耦合效應的影響Fig.7 Effect of the shaft parameters on the geometric nonlinear
1)推進軸系的第1 階彎曲振動模態(tài)一般表現(xiàn)為螺旋槳處的振動。因此,增加后艉軸承剛度或減小螺旋槳質(zhì)量可以有效減小軸系的彎曲振動,從而抑制軸系的彎—縱耦合效應。
2)對于軸系第1 階縱向振動而言,由于推力軸承剛度一般遠小于軸系自身的拉伸或壓縮剛度,因此縱向第1 階模態(tài)以軸系整體平移為主。這種振動模式不會使軸系產(chǎn)生縱向變形,所以也不會引起軸系的彎—縱耦合效應。然而,隨著推力軸承剛度的增加,當其值與軸系自身的拉伸或壓縮剛度相當時,軸系第1 階縱向振動將不再表現(xiàn)為整體平移,而是軸系自身的縱向變形,此時軸系將產(chǎn)生明顯的彎—縱耦合效應。同時,隨著推力軸承剛度的增加,軸系彎—縱耦合效應越來越強。前艉軸承對第1 階彎曲振動的影響規(guī)律與縱向振動相似,本文不再贅述。
3)由于中間軸承位于軸系前端,其對軸系第1階彎曲振動模態(tài)的影響很小,故對系統(tǒng)彎—縱耦合效應的影響也不明顯。
4)增加軸系的細長比可以有效增加軸系的剛度,從而減小軸系彎曲及縱向變形,最終抑制軸系的彎—縱耦合效應。
本文建立了軸系彎—縱耦合時的非線性振動偏微分方程,闡述了有限元法、多尺度法等非線性方程求解方法,分析了彎—縱耦合效應對軸系非線性振動特性的影響,得到如下結(jié)論:
1)與線性模型相比,彎—縱耦合效應將增加軸系的固有頻率。
2)當軸系產(chǎn)生彎—縱耦合效應時,軸系振動響應中將出現(xiàn)多頻響應、響應跳躍及能量遷移等復雜的振動現(xiàn)象。
3)增加后艉軸承剛度可以抑制軸系彎—縱耦合效應,增加前艉軸承剛度和推力軸承剛度可以增加軸系彎—縱耦合效應,而中間軸承對軸系彎—縱耦合效應的影響則較小。
4)激勵載荷越大、阻尼比越小,軸系彎—縱耦合效應將越強。