華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 謝曉川 方浩穎 陳 楠 駱超容 馬振迪

一、引言

英國A-level 課程被國際教育界譽(yù)為“金牌”教育課程和全球大學(xué)入學(xué)的“金牌”標(biāo)準(zhǔn),因此其考試試題對國際數(shù)學(xué)教育有著重要的意義.而中國高考由教育部統(tǒng)一組織調(diào)度,是全世界規(guī)模最大的“統(tǒng)一性考試”,意義深遠(yuǎn).通過比較分析中英兩國高考數(shù)學(xué)試題,能對比出兩國對學(xué)生數(shù)學(xué)能力要求的偏重,為中國高考數(shù)學(xué)試題的命制和改革提供參考,與國際接軌.

英國A-level 數(shù)學(xué)考試分為Part Ⅰ和Part ⅠⅠ兩大部分,每部分各有兩份試卷.由于大部分的英國學(xué)生會選擇CⅠE 考試局組織的考試,所以選擇CⅠE 發(fā)布的2018年A-level 數(shù)學(xué)試題和中華人民共和國教育部考試中心發(fā)布的2018年中國數(shù)學(xué)理科全國Ⅰ卷為研究對象,其中A-level 數(shù)學(xué)試題包含純粹數(shù)學(xué)1(P1)、純粹數(shù)學(xué)3(P3)、概率數(shù)學(xué)1(S1)、概率數(shù)學(xué)2(S2)這4 份試卷[1-2].

二、綜合難度模型介紹

試題的難度系數(shù)模型的研究,開始于Nohara 提交的一份報(bào)告,提出總體難度系數(shù)由探究性問題、背景、運(yùn)算和推理四個(gè)因素組成[3].隨后有不少學(xué)者在該理論的基礎(chǔ)上改進(jìn)和研究.其中由鮑建生教授提出的習(xí)題評價(jià)的綜合難度系數(shù)模型的運(yùn)用最為廣泛,模型從試題的數(shù)學(xué)認(rèn)知、背景、運(yùn)算、推理和知識含量五個(gè)因素進(jìn)行等級分析[4].

中國的試題包括了選擇題,填空題和解答題,而英國的四份試卷都只有解答題.經(jīng)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)中英兩國試題題型的差異一定程度上影響了試題難度.且在基本模型中,五個(gè)難度因素對不同類型的題目影響程度也不同.因此對鮑建生的綜合難度模型進(jìn)行了改進(jìn),由兩層模型“難度因素—綜合難度”改為三層模型“難度因素—題目類型—綜合難度”,使其能更加準(zhǔn)確的比較出樣本的難度.

優(yōu)化后的模型可以考慮到不同的難度因素、不同的題型等影響.原模型計(jì)算公式修改為：

其中,i=1,2,3,4,5 依次表示“數(shù)學(xué)認(rèn)知”、“背景”、“運(yùn)算”、“推理”、“知識含量”五個(gè)難度因素,j=1,2,3,4 依次表示每個(gè)難度因素的各個(gè)等級,k=1,2,3 依次表示“選擇題”、“填空題”、“解答題”三種題型,dik表示第k種題型中第i個(gè)難度因素的上的取值,dijk表示第k種題型中第i個(gè)難度因素的第j個(gè)等級的取值,nijk則表示第k種題型中屬于第i個(gè)難度因素的第j個(gè)等級的題目的個(gè)數(shù),nk表示第k種題型的總題數(shù).

同時(shí)引入了各層因素之間的權(quán)重計(jì)算：

其中,Sk表示第k 種題型難度對綜合難度的影響權(quán)重,mik表示第i個(gè)難度因素對第k種題型難度的影響權(quán)重,yik則表示第k種題型中第i個(gè)難度因素對綜合難度的影響權(quán)重,Di表示整份試題在第i個(gè)難度因素的取值.Cd表示整份試題的綜合難度.

為確定各層因子的權(quán)重,研究選用問卷調(diào)查的方法.在華南師范大學(xué)發(fā)放并回收了168 份有效問卷,其中低年級學(xué)生占比85.71%,數(shù)理類學(xué)生共占比80.95%,符合問卷預(yù)期.題型權(quán)重以解答題的得分為參考標(biāo)準(zhǔn),整理調(diào)查結(jié)果的數(shù)據(jù)以后,求得選擇、填空和解答三種題型的標(biāo)準(zhǔn)化權(quán)重Sk分別是0.82,0.84 和1.00.而因素權(quán)重以推理因素的得分為參考標(biāo)準(zhǔn),因素權(quán)重表格如表1所示.

表1 因素權(quán)重表

三、試卷綜合難度分析

(一)試卷具體分析

由于中國試卷中選擇題、填空題和解答題的分值相差較大.為了平衡分值帶來的誤差,每道解答題以每個(gè)小問題為一道獨(dú)立的題目評分,確保每道題目的地位大致相同[5].根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果對中英高考數(shù)學(xué)試題在數(shù)學(xué)認(rèn)知、背景、運(yùn)算、推理、知識含量這5 個(gè)因素進(jìn)行如下對比分析.

圖1 各卷多因素等級對比圖

從數(shù)學(xué)認(rèn)知因素分析,所有試卷在“了解”的占比都很低,在“理解”的占比都最高.英國4 份試卷在“理解”等級的占比明顯均為0.69 以上,而中國試卷在“理解”等級的占比只有0.53.但中國試卷在“探究”等級的占比遠(yuǎn)高于英國試卷.這體現(xiàn)了英國注重學(xué)生的基本認(rèn)知,中國則要求學(xué)生能夠更加熟練地掌握和運(yùn)用知識,學(xué)生需要思考探究的內(nèi)容比英國的多,試題的綜合性和難度更高.

從背景因素分析,英國S1,S2 試卷“無背景”等級的占比為0.35 左右,而中國試卷和英國P1,P3 試卷“無背景”等級的占比高達(dá)0.8 至0.9.在“個(gè)人生活”這個(gè)等級上,英國S2,S1 試卷的占比最高,分別為0.69 和0.56,而中國試卷和英國P1,P3 試卷的占比則等于或低于0.1.總之,在背景因素方面,英國S1,S2 試卷注重學(xué)生對背景的理解,而中國試卷和英國P1,P3 則對背景的要求較低.

從運(yùn)算因素分析,5 份試卷在“無運(yùn)算”等級的占比均低于0.1.英國S1,S2 試卷在“數(shù)值運(yùn)算”等級的占比為0.81,英國P1,P3 試卷和中國試卷在此等級的占比較低.在后兩個(gè)等級上,英國P1,P3 試卷和中國試卷的占比之和均高于0.54,是英國S1,S2 試卷的4 倍以上.這說明,英國S1,S2 試卷的運(yùn)算難度較低,而英國P1,P3 試卷和中國試卷難度較高,其中中國試卷最難,它在后兩個(gè)等級的占比之和高達(dá)0.73.

中英兩國試題在推理因素上存在明顯的差異.中國試題“復(fù)雜推理”等級的占比要明顯高于英國試題,說明中國試題更側(cè)重于復(fù)雜推理的考查,對學(xué)生邏輯推理能力要求較高；而英國試題則側(cè)重簡單推理,其中英國S1 試卷在推理因素上對學(xué)生的要求最低,“無推理”的占比高達(dá)0.5.總之,在推理因素上,中國試卷的難度更大.

從知識含量因素分析,英國P1,S1 試卷中,有一半以上的題目考察一個(gè)知識點(diǎn),而中國試卷和英國P2,S2 試卷中,有一半以上的題目考察多個(gè)知識點(diǎn),其中以中國試卷最甚,考察兩個(gè)及以上的知識點(diǎn)的題目占比為0.83.這說明中國試卷和英國P2,S2 試卷的綜合性較強(qiáng),注重學(xué)生綜合能力的考查,而英國P1,S1 試卷的考察內(nèi)容比較單一,綜合性較低.

(二)試卷整體比較

根據(jù)綜合難度模型中的公式,可以求得五份試卷的五個(gè)難度因素的取值Di和綜合難度Cd,并整理得出各卷不同因素綜合難度系數(shù)雷達(dá)圖,如圖2所示：

圖2 各卷不同因素綜合難度系數(shù)雷達(dá)圖

由圖2可以看出,各卷難度得分在“數(shù)學(xué)認(rèn)知”等級上相差不大,大致處于“理解”水平.而在“背景”上,英國概率數(shù)學(xué)S1、S2 的難度得分明顯高于其他幾份試卷,說明英國在概率數(shù)學(xué)的考察中注意與現(xiàn)實(shí)相聯(lián)系.在“運(yùn)算”因素上,中國試卷與英國純粹數(shù)學(xué)P1、P2 兩份試卷的運(yùn)算難度都比較大,而英國S1、S2 兩份試卷的運(yùn)算難度較小.通過比較“推理”因素,發(fā)現(xiàn)除了S1 試卷得分較低外,其他4 份試卷的難度得分基本一致,而對于知識含量,5 份試卷的得分依次遞增,其中中國試卷得分最高,英國S1 試卷得分最低.

結(jié)合圖表,綜合以上五大因素的難度得分及其權(quán)重,可以得出結(jié)論,中國試卷的綜合難度最大,得分為9.42,英國試卷P3,S2 次之,英國試卷P1,S1 的難度最低,這也體現(xiàn)了英國試卷命題的等級性.

四、結(jié)論與啟示

(一)結(jié)論

通過對五個(gè)方面的比較發(fā)現(xiàn),我國高考數(shù)學(xué)對“數(shù)學(xué)認(rèn)知”要求較高,達(dá)到掌握程度的知識點(diǎn)占比明顯高于英國,試題綜合性較高,說明我國注重對學(xué)生思維能力的訓(xùn)練.盡管英國各卷對“背景”的要求各不相同,但總體上高于中國,對我國高考數(shù)學(xué)在“背景”因素的考慮上具有借鑒的作用.中國高考數(shù)學(xué)對“運(yùn)算”、“推理”的要求明顯高于英國,且每道題考察的“知識含量”也明顯多于英國,對學(xué)生的篩選作用勝于英國.但英國高考數(shù)學(xué)試卷組成更為復(fù)雜,為學(xué)生的多樣化發(fā)展提供了更好的條件,對我國高中數(shù)學(xué)的課程設(shè)計(jì)具有借鑒作用.

中國數(shù)學(xué)高考目前是一年一考,一考一卷,在試卷命題的時(shí)候相關(guān)學(xué)者應(yīng)該更加深入考慮試卷命題的科學(xué)性,除了保證試卷的綜合性,還需顧及各個(gè)難度因素之間的平衡.

(二)嘗試分卷考試,深入考查學(xué)生

英國實(shí)行分卷考試,盡管是試卷的綜合難度不如中國,但可以增多題量,加長時(shí)間,對學(xué)生的知識和能力的考察更加全面,值得我國借鑒.同時(shí)分卷考試的形式促使學(xué)生在高中階段就有選擇地學(xué)習(xí)專業(yè)知識,利于學(xué)生的個(gè)性發(fā)展.

我國可以嘗試將高考試卷分成“數(shù)”和“形”兩大部分.將函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等分為一部分,解析幾何,立體幾何等分為一部分,在考查得更加全面的同時(shí)降低試卷的綜合難度,減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).同時(shí),可以結(jié)合目前推出的“3+3”高考模式,實(shí)行分層考試,對選擇物理、化學(xué)等學(xué)科的學(xué)生和選擇政治、歷史等學(xué)科的學(xué)生,考試試卷的難度也可以略有差距,以此適應(yīng)新時(shí)期對人才的培養(yǎng)目標(biāo).

(三)優(yōu)化綜合難度模型,為綜合難度模型提供新的視角

考慮了題型因素,綜合難度模型在基本難度模型的基礎(chǔ)上進(jìn)一步優(yōu)化,從兩層模型改進(jìn)至三層模型.同時(shí),權(quán)重的確定方法選擇問卷調(diào)查的方法,比以往少數(shù)幾人的評分更加客觀.新的綜合難度模型更適用于比較研究來自不同國家的高考試題,綜合多方面評分,得到更加準(zhǔn)確的試題難度.

雖然綜合難度模型研究的是數(shù)學(xué)高考試卷,但也可以用于物理等學(xué)科試卷的研究,或者是其他年級的試題研究.這使得綜合難度模型有更加廣闊的應(yīng)用范圍,可以為其他學(xué)者、老師提供一個(gè)試題難度評定的工具.