崔亞寧，任偉?

①上海大學(xué) 理學(xué)院物理系，上海 200444；②上海大學(xué) 量子與分子結(jié)構(gòu)國際中心，上海 200444

1 拓?fù)浣^緣體

拓?fù)浣^緣體是由凝聚態(tài)物理學(xué)家提出的一類關(guān)于電子導(dǎo)電性質(zhì)的全新物態(tài)相，其從理論上提出到實(shí)驗(yàn)樣品制備合成及表征測量，很快成為凝聚態(tài)物理和量子材料中的熱點(diǎn)研究問題[1-2]。量子霍爾效應(yīng)、量子反常霍爾效應(yīng)、量子自旋霍爾效應(yīng)的研究為拓?fù)浣^緣體的提出打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。拓?fù)浣^緣體與常規(guī)絕緣體的不同之處在于自旋軌道耦合效應(yīng)較為顯著，其塊體材料具有內(nèi)部體態(tài)絕緣而表面或者邊緣導(dǎo)電的奇異特性，這一特性無法用朗道對稱性破缺理論進(jìn)行很好的描述。拓?fù)浣^緣體表面態(tài)或者邊緣態(tài)的狄拉克(Dirac)錐是由體態(tài)能帶的拓?fù)湫再|(zhì)決定的，并受到時間反演對稱性的保護(hù)，具有很強(qiáng)的穩(wěn)定性。那么什么是數(shù)學(xué)上的拓?fù)涓拍钅兀课覀兣e一個簡單直觀的例子：如圖1所示，一個莫比烏斯環(huán)帶不能通過簡單平滑的形變轉(zhuǎn)換成為一個普通的環(huán)形帶，而兩者之間的區(qū)別就是拓?fù)渖系膮^(qū)別。類似概念在凝聚態(tài)物理以及其他領(lǐng)域都有非常重要的研究意義和價值。

拓?fù)洳蛔兞康母拍钤缭?982年就已經(jīng)被應(yīng)用于處理二維周期勢中的整數(shù)量子霍爾效應(yīng)[3]，而且拓?fù)湫虻母拍钜脖挥糜诿枋鰪?qiáng)關(guān)聯(lián)體系中的分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)[4]。如果將自旋軌道耦合作用當(dāng)作一個等效的本征磁場，那么拓?fù)浣^緣體可以被認(rèn)為是在無外加磁場時發(fā)生了量子霍爾效應(yīng)。當(dāng)前人們發(fā)現(xiàn)的拓?fù)浣^緣體可以在固體物理的單電子能帶理論[5]框架下進(jìn)行理解，并且已經(jīng)被廣泛地推廣到光子晶體[6]、聲子晶體[7]甚至經(jīng)典電子元件組成的電路中的輸運(yùn)研究[8]。

圖1 (a)石墨烯圍成的莫比烏斯帶；(b)石墨烯圍成的正常環(huán)帶

1.1 拓?fù)淠軒Ю碚?/h3>

絕緣體也可稱作電介質(zhì)，具有不易傳導(dǎo)電流的高電阻率，是一種與導(dǎo)體相反的最基本的物態(tài)。一個簡單直觀的圖像就是電子都被緊緊束縛在原子核周圍，沒有自由電子或者載流子(圖2)。固體能帶理論基于量子力學(xué)，常被用于描述晶體中的電子結(jié)構(gòu)。根據(jù)晶體的平移對稱性，我們可以在動量空間或倒空間定義布里淵區(qū)，并且求解其高對稱路徑上的能量與k的色散關(guān)系，就可以獲得常說的能帶結(jié)構(gòu)。由于電子是費(fèi)米子，在滿足泡利不相容原理的條件下，電子從低到高能量占據(jù)軌道能級，即在費(fèi)米面下方的填充軌道對應(yīng)價帶，而費(fèi)米面上方的空軌道則對應(yīng)導(dǎo)帶。絕緣體的導(dǎo)帶與價帶之間存在躍遷能隙，因此電子不能輕易躍遷到導(dǎo)帶，也就表現(xiàn)出不活躍的電惰性。

如果我們將絕緣體進(jìn)行分類，那么所有常規(guī)絕緣體都是拓?fù)涞葍r的，并且拓?fù)渖峡梢缘葍r為真空，因?yàn)楦鶕?jù)狄拉克的相對論量子理論，真空中電子和正電子間也有能量帶隙。然而，并非所有的絕緣體電子態(tài)都和真空等價，一個最簡單的例子是整數(shù)量子霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)[3,9]。二維電子氣在強(qiáng)磁場和低溫條件下，電子圓形軌道的量子化回旋頻率為ωc，第m個量子化朗道能級為?m=?ωc(m+1/2)。每個朗道能級都是分立的，朗道能級之間沒有可以占據(jù)的電子態(tài)。如果第N條朗道能級被填滿而剩下的是空的，占據(jù)態(tài)和空態(tài)之間有一個能量帶隙，這使其能帶結(jié)構(gòu)看起來與常規(guī)絕緣體有所類似。然而與絕緣體不同，霍爾橫向電場會引起電子軌道漂移，從而導(dǎo)致邊緣出現(xiàn)量子化霍爾電導(dǎo)率的霍爾電流。量子化霍爾電導(dǎo)率可以寫為：

其中e為一個電子的電荷量，h為普朗克常數(shù)。實(shí)驗(yàn)上測量得到的量子霍爾電導(dǎo)的精度高達(dá)10-9[10]，完美地體現(xiàn)了的拓?fù)湫再|(zhì)。

圖2 (a)～(c)絕緣態(tài)；(a)原子絕緣體；(b)簡單絕緣體的模型能帶結(jié)構(gòu)；(d)～(f)量子霍爾態(tài)；(d)電子的回旋運(yùn)動；(e)分立的朗道能級；(c)和(f)橙子和甜甜圈表示具有兩種不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的示意圖(圖片來自文獻(xiàn)[2])

1.2 TKNN不變量

既然量子霍爾態(tài)和普通絕緣體都有能隙，那么它們之間該如何區(qū)分呢？ Thouless、Kohmoto、Nightingale和den Nijs四人(簡稱TKNN)的一篇開創(chuàng)性的論文中給出了一種新的分類方法。有帶隙的能帶結(jié)構(gòu)可以通過考慮等價類來進(jìn)行拓?fù)浞诸?，在不閉合能隙的條件下哈密頓量可以連續(xù)變形，這些不同的類可以通過拓?fù)洳蛔兞勘硎菊麛?shù))來區(qū)分，即數(shù)學(xué)中的纖維叢理論的陳不變量(Chern invariant)[11]。如果兩個能帶能夠相互連續(xù)變換，并且不閉合能隙，它們就有著相同的陳不變量。如果從物理的角度解釋陳不變量，可以通過與布洛赫波函數(shù)um(k)相關(guān)的貝里相位(Berry phase)表示。在沒有簡并的情況，貝里相位可以通過對?在k空間的閉合環(huán)路積分得到。貝里曲率的定義為而陳不變量即為整個布里淵區(qū)貝里曲率的積分：

nm是一個量子化的整數(shù)，總的陳數(shù)可以等于所有已占據(jù)能帶的累加。假如占據(jù)態(tài)能帶之間有簡并，陳數(shù)也是不變的。拓?fù)淠軒Ю碚撝械年悢?shù)n類似于拓?fù)鋵W(xué)中的虧格g。一個球體(如圖2(c))有g(shù)=0，而一個環(huán)(圖2(f))的g=1。由數(shù)學(xué)中的Gauss定理[11]可知，虧格g可以通過閉合曲面上的高斯曲率積分得到，而陳數(shù)就是貝里曲率的積分。

2 霍爾效應(yīng)

2.1 量子霍爾效應(yīng)

量子霍爾效應(yīng)于1980年被德國物理學(xué)家Klaus von Klitzing在高強(qiáng)度磁場實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)[9]，并因此獲得1985年諾貝爾物理學(xué)獎。量子霍爾效應(yīng)與傳統(tǒng)霍爾效應(yīng)最大的不同之處在于橫向電壓對磁場的線性響應(yīng)顯著不同。

橫向(霍爾)電阻是量子化的。從圖3可以看出，盡管從整體趨勢上，橫向電阻(圖中紅線)隨著磁場強(qiáng)度增大而增大，但卻在強(qiáng)磁場下形成若干橫向電阻不隨磁場增大的完美平臺。這些平臺所對應(yīng)的是“量子化電阻”，即h/e2的1/n(n為正整數(shù))，對應(yīng)圖3中橫向電阻平臺的“1、0.5、0.33、0.25、0.2”等位置，這也就是整數(shù)量子霍爾效應(yīng)。此外，在橫向霍爾電阻達(dá)到一個平臺時，縱向電阻值(圖中綠線)趨于0。

如圖2(d)所示，在強(qiáng)磁場下運(yùn)動的電子受到洛倫茲力作用將導(dǎo)致體系內(nèi)部成為絕緣體，但在體系邊緣的位置電子可以按照如圖4(a)所示做總體的單向運(yùn)動，這就是量子霍爾效應(yīng)的邊緣態(tài)。如圖4(b)，費(fèi)米能級上方和下方分別是塊體的導(dǎo)帶和價帶，它們具有連續(xù)的能態(tài)并且在k=0附近具有電子能量帶隙，導(dǎo)帶和價帶之間的能隙中存在一條可以用來描述上述邊緣態(tài)的單帶。表面邊緣態(tài)的色散關(guān)系具有重要的性質(zhì)，它的行為僅僅依賴于物質(zhì)的拓?fù)湫裕c具體的幾何構(gòu)型無關(guān)。

圖3 磁場下的量子霍爾效應(yīng)中橫向霍爾電阻和縱向電阻的響應(yīng)曲線圖

圖4 (a)量子霍爾態(tài)和普通絕緣體界面存在一個手性由外磁場確定的邊界態(tài)；(b) 量子霍爾效應(yīng)體態(tài)和邊界態(tài)的電子結(jié)構(gòu)示意圖(圖片來自文獻(xiàn)[2])

2.2 自旋霍爾效應(yīng)

除了由于電子電荷受到洛倫茲力作用的傳統(tǒng)霍爾效應(yīng)，自旋軌道耦合也可以導(dǎo)致奇特的自旋霍爾效應(yīng)。自旋霍爾效應(yīng)簡單說來就是在無需外加磁場的作用下，邊界態(tài)出現(xiàn)上下兩種自旋相反方向運(yùn)動的效應(yīng)。這是由于自旋軌道作用使上下自旋電子的電流產(chǎn)生解耦從而導(dǎo)致兩套自旋分立的霍爾效應(yīng)。與上述自旋簡并的電荷霍爾效應(yīng)不同，自旋霍爾效應(yīng)中時間反演對稱性是被滿足的。在自旋霍爾效應(yīng)的二維材料中，總的電流為0，即Ie=e(I↑+I↓) = 0，而自旋流并不為0，即IS=?/2(I↑-I↓) ≠ 0，由此我們可以定義自旋霍爾電導(dǎo)為Gs=Is/V[12-13]。

在介觀物理體系的量子輸運(yùn)中有一個著名的普適電導(dǎo)漲落現(xiàn)象，引入無序之后由于量子干涉效應(yīng)導(dǎo)致電荷電流的電導(dǎo)存在一個量級為e2/h的漲落值。對于同一個給定無序樣品來說，隨機(jī)振蕩的電導(dǎo)漲落(如同樣品的指紋一樣)是可以被重復(fù)測量出來的。2006年我們發(fā)現(xiàn)自旋霍爾電導(dǎo)有類似于此介觀物理體系的量子輸運(yùn)性質(zhì)，自旋霍爾電導(dǎo)的普適漲落值為0.18e/(4π)[14-15]，這一結(jié)論很快被他人利用隨機(jī)矩陣?yán)碚摲椒ㄗC實(shí)[16]。如圖5的左插圖所示，考慮導(dǎo)線端口1和3為水平方向的電流，兩者和其中的正方形散射區(qū)域內(nèi)存在的Rashba或者Dresselhaus自旋軌道耦合，自旋霍爾電導(dǎo)通過導(dǎo)線端口2與4測量。圖中三角形、正方形和圓形符號分別代表Anderson型無序強(qiáng)度值為1、2和3的情況，其中系綜平均和漲落值rmsGsH=(-2)1/2通過分析10 000個隨機(jī)無序的體系得到。當(dāng)無序度增大時，自旋霍爾電導(dǎo)平均值逐漸減小，而同時其漲落值增大至0.18e/(4π)范圍，這一數(shù)值變得與自旋霍爾電導(dǎo)的平均值相同量級。

圖5 自旋霍爾電導(dǎo)漲落和系綜平均的霍爾電導(dǎo)隨電子費(fèi)米能量的依賴關(guān)系(圖片來自文獻(xiàn)[14])

2.3 量子自旋和反?；魻栃?yīng)

在量子霍爾效應(yīng)中，我們暫沒有考慮電子自旋內(nèi)稟屬性而只關(guān)心其電荷在外磁場洛倫茲力作用下的運(yùn)動行為。如果體系不存在自旋軌道耦合作用，則體系的哈密頓量可以分解為兩個獨(dú)立的自旋向上和自旋向下的貢獻(xiàn)。在只涉及電荷的霍爾效應(yīng)中，自旋向上和自旋向下的霍爾電導(dǎo)流向相同的方向，但是考慮自旋霍爾效應(yīng)之后我們有可能發(fā)現(xiàn)上下自旋的電子反向運(yùn)動，導(dǎo)致電荷電流為0而自旋電流不為0。

人們最早在石墨烯體系中預(yù)言了量子自旋霍爾效應(yīng)[17]。石墨烯是碳元素構(gòu)成的單原子層零帶隙半金屬，本身具有很弱的自旋軌道耦合作用[18-22]，因此實(shí)驗(yàn)上很難在石墨烯體系上實(shí)現(xiàn)量子自旋霍爾絕緣體效應(yīng)。后來Bernevig等人提出使用HgCdTe量子阱結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)量子自旋霍爾效應(yīng)，也為實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)量子自旋霍爾效應(yīng)鋪平了道路[23]。Hg1-xCdxTe是具有強(qiáng)自旋軌道耦合作用的半導(dǎo)體。CdTe的導(dǎo)帶是由一個s軌道構(gòu)成，而價帶是由p軌道構(gòu)成。然而在HgTe中發(fā)生了能帶結(jié)構(gòu)反轉(zhuǎn)，即p軌道能級在s軌道上面。Bernevig等人選擇HgTe在兩個CdTe中間形成三明治結(jié)構(gòu)的量子阱。當(dāng)HgTe厚度ddc時能帶結(jié)構(gòu)發(fā)生反轉(zhuǎn)。在此理論提出一年內(nèi)，烏爾茲堡大學(xué)的Molenkamp課題組制備了這個器件并且做了輸運(yùn)的測量，在實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證了量子自旋霍爾效應(yīng)[24]。目前有大量的理論工作被提出，預(yù)言在足夠大的自旋軌道耦合作用下，可以在室溫條件觀測到量子自旋霍爾效應(yīng)。上海大學(xué)任偉課題組在兩面分別氫化和氟化的二維單層金屬鉍Bi2HF中也預(yù)測了量子自旋霍爾效應(yīng)的可能[25]。這一結(jié)構(gòu)對稱性破缺還導(dǎo)致電子自旋和能谷之間的耦合，理論上二維拓?fù)浣^緣體的能隙接近1 eV，因此有望在非低溫條件下被實(shí)驗(yàn)觀測到。

量子自旋霍爾效應(yīng)是無需外加磁場實(shí)現(xiàn)的，而如果材料本身存在內(nèi)稟磁場，就會出現(xiàn)反?；魻栃?yīng)。相應(yīng)地，量子反?；魻栃?yīng)也不需要外加磁場，而是由材料本身的自旋軌道耦合和自發(fā)磁化導(dǎo)致的。如圖6(a)所示，將單層石墨烯置于襯底BiFeO3的(111)表面上，便會打破石墨烯平面上下的鏡面對稱性，同時由于Fe是具有磁性的原子，可以產(chǎn)生磁鄰近作用，石墨烯的電子能帶結(jié)構(gòu)就會出現(xiàn)自旋劈裂的現(xiàn)象(圖6(b)的紅色和藍(lán)色能帶)。如果此時再考慮自旋軌道耦合作用，在上下自旋交叉處將會產(chǎn)生有限大的能隙(圖6(c)中綠色方框顯示)，這個能隙便是可以觀測無磁場下的量子反?；魻栃?yīng)的能量窗口。此時單層石墨烯由于量子反?；魻栃?yīng)而進(jìn)入量子拓?fù)鋺B(tài)[26]。早在2013年，由薛其坤領(lǐng)銜的實(shí)驗(yàn)團(tuán)隊(duì)從實(shí)驗(yàn)上首次觀測到量子反?；魻栃?yīng)[27]。

圖6 (a)在(111)BiFeO3表面的石墨烯超胞；(b)自旋分裂的石墨烯能帶結(jié)構(gòu)；(c)考慮自旋軌道耦合的石墨烯能帶結(jié)構(gòu)(圖片來自文獻(xiàn)[26])

2.4 石墨烯狄拉克電子和碳納米管模型

石墨烯是二維的碳原子單層物質(zhì)[28-29]，是當(dāng)前眾多科學(xué)技術(shù)研究領(lǐng)域的明星材料。不考慮自旋軌道耦合作用時，石墨烯中存在二維狄拉克電子，即由狄拉克方程描述的線性色散的電子，區(qū)別于普通的半導(dǎo)體中電子的能量和動量為拋物線型的色散關(guān)系。這意味著狄拉克電子的運(yùn)動行為類似于相對論性的光子，即使在室溫下也具有極其高的電子或空穴的載流子遷移率[30-31]。碳納米管是由石墨烯層巻曲而成的無縫納米管狀的準(zhǔn)一維材料，其擁有的拓?fù)湫再|(zhì)不遜于石墨烯。根據(jù)碳管邊界的形狀還可以分為鋸齒型和扶手椅型，以及除此以外的手性結(jié)構(gòu)。由于結(jié)構(gòu)對稱性的不同，碳納米管的狄拉克點(diǎn)也會隨之改變。對于鋸齒型邊界碳納米管，根據(jù)管壁一周的原子數(shù)目對于整數(shù)3的倍數(shù)關(guān)系，狄拉克點(diǎn)會移動到Γ點(diǎn)，或者直接打開一個能量帶隙，分別表現(xiàn)為金屬性質(zhì)或半導(dǎo)體性質(zhì)。對于扶手椅型碳納米管，狄拉克點(diǎn)則會移動到Γ點(diǎn)和X點(diǎn)之間的一個位置。有趣的是，這一狄拉克點(diǎn)可以被垂直于管軸的橫向電場進(jìn)行調(diào)控。隨著外加電場強(qiáng)度的增強(qiáng)，線性色散關(guān)系在費(fèi)米能級附近發(fā)生扭曲，進(jìn)而Γ-X方向上的1個狄拉克點(diǎn)會轉(zhuǎn)變?yōu)?個相交于費(fèi)米能級的狄拉克點(diǎn)[32]。圖7(a)~(e)是我們利用密度泛函理論計(jì)算得出的能帶結(jié)構(gòu)，從左向右依次為外加電場強(qiáng)度數(shù)值為0、0.05、0.10、0.12、0.15 eV/?的情況。圖7(f)~(j)是我們用單參數(shù)緊束縛模型計(jì)算得出的能帶結(jié)構(gòu)，可以看出在費(fèi)米能級附近非常吻合第一性原理計(jì)算得出的結(jié)果。

圖7 扶手椅型(12,12)碳納米管中的狄拉克點(diǎn)數(shù)量隨電場增大而變化：(a)～(e)密度泛函理論計(jì)算結(jié)果；(f)~(j)緊束縛模型計(jì)算結(jié)果(圖片來自文獻(xiàn)[32])

碳納米管早在1991年就被實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)[33]，但是合成出的碳納米管形態(tài)具有多樣性，半徑尺寸相似的結(jié)構(gòu)也可具有半導(dǎo)體或者金屬的不同性質(zhì)，批量生產(chǎn)特定單一結(jié)構(gòu)的碳納米管仍然具有挑戰(zhàn)。相比之下，石墨烯首次在實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)于2004年，引發(fā)的研究熱潮使得其發(fā)現(xiàn)者在2010年便獲得諾貝爾物理學(xué)獎。這些具有拓?fù)湫再|(zhì)的量子材料被人們認(rèn)為具有廣闊的應(yīng)用前景。正如量子力學(xué)為半導(dǎo)體技術(shù)的發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，信息工業(yè)的發(fā)展也極大得益于過去一個世紀(jì)物理學(xué)研究領(lǐng)域的發(fā)現(xiàn)。如今集成電路芯片越來越小，性能越來越高，但是散熱問題卻構(gòu)成阻礙摩爾定律持續(xù)發(fā)展的瓶頸。然而拓?fù)浣^緣體因?yàn)殡娮榆壍礼詈献饔脤?dǎo)致的內(nèi)部絕緣、表面無耗散導(dǎo)電特性，將有望在新一輪信息產(chǎn)業(yè)革新中起到重要作用。

3 拓?fù)浒虢饘?/h2>

前面介紹的是拓?fù)浣^緣體的創(chuàng)新發(fā)展，那么能不能將拓?fù)湮锢淼母拍詈头椒ㄍ茝V到金屬等其他物質(zhì)的分類中呢？我們在此介紹一類特殊的金屬體系——拓?fù)浒虢饘佟Ｍ負(fù)浒虢饘倏梢酝ㄟ^能帶交叉的費(fèi)米面表征，這些能帶交叉點(diǎn)的簡并度一般和晶體對稱性相關(guān)，與對應(yīng)的拓?fù)鋽?shù)也存在聯(lián)系。不同類型的拓?fù)浒虢饘偻ㄟ^能帶交叉點(diǎn)的簡并度、維度、費(fèi)米速度區(qū)分，也可以用能帶交叉點(diǎn)的原因——能帶反轉(zhuǎn)或是對稱性保護(hù)區(qū)分。這些不同的性質(zhì)和拓?fù)涮卣鳂?gòu)成了龐大的拓?fù)浒虢饘偌易?，包括狄拉克和外?Weyl)半金屬[34-37]，以及各種不同的節(jié)線態(tài)半金屬(如nodalchain[38]、nodal-link[39]、node-knot[40]、node-line[41]和node-net[42-43]、第一類型和第二類型拓?fù)浒虢饘賉44]、多重簡并的半金屬[45-46]和三重簡并半金屬[47-50])。這些拓?fù)浒虢饘倏梢源嬖谪S富多樣的低能拓?fù)浼ぐl(fā)，不僅僅為固體中研究準(zhǔn)粒子提供了平臺，還拓展了高能物理中對已知粒子的認(rèn)識[46]。

3.1 狄拉克半金屬和外爾半金屬

狄拉克半金屬中的狄拉克點(diǎn)是四重簡并的線性能帶交叉點(diǎn)，受到晶體對稱性的保護(hù)。前文中提到的石墨烯模型就是狄拉克半金屬的典型范例。外爾半金屬則是兩條不同自旋的能帶在布里淵區(qū)空間中相交于同一個k點(diǎn)，這個二重簡并點(diǎn)就是外爾點(diǎn)。

外爾半金屬可以看成對稱性破缺的相，因?yàn)樵谕瑫r具有時間反演對稱性和空間反演對稱性的情況下，所有的能帶都保持二重簡并性。所以，外爾點(diǎn)的存在需要破壞時間反演對稱性或者空間反演對稱性[51]，當(dāng)然也可以同時破壞這兩種對稱性。在有對稱性破缺的情況下，狄拉克點(diǎn)會被移除或者分裂成為兩個外爾點(diǎn)[10,35,52]，因此狄拉克半金屬又可以看作對稱性保護(hù)的拓?fù)浒虢饘傧?。具有旋轉(zhuǎn)對稱性保護(hù)的狄拉克半金屬已經(jīng)在Na3Bi和Cd3As2中預(yù)測和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[53-54]，這些半金屬相表現(xiàn)出豐富的拓?fù)湫再|(zhì)[35]。狄拉克半金屬和外爾半金屬看似具有完全不同的對稱性要求，那么是否存在一種這兩種準(zhǔn)粒子同時存在的材料呢？

3.2 狄拉克-外爾半金屬

上海大學(xué)任偉課題組2018年開創(chuàng)性地提出外爾點(diǎn)和狄拉克點(diǎn)共存的拓?fù)浒虢饘賉55]，這是一種非中心反演對稱性的六角ABC結(jié)構(gòu)SrHgPb，能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算顯示其中可以共存狄拉克點(diǎn)和外爾點(diǎn)。在具有極化空間群P63mc的SrHgPb中存在1對狄拉克費(fèi)米子和6對外爾費(fèi)米子。其中：狄拉克點(diǎn)是由于能帶反轉(zhuǎn)導(dǎo)致，位于旋轉(zhuǎn)軸上并受到晶體點(diǎn)群對稱性的保護(hù)；位于kz=0平面上的外爾點(diǎn)是由于二重旋轉(zhuǎn)對稱性和時間反演對稱性所導(dǎo)致的，并且外爾點(diǎn)的位置和存在可以通過HgPb層的褶皺厚度來控制。隨著HgPb褶皺厚度的改變，一對手性相反的外爾點(diǎn)可以在高對稱性線上產(chǎn)生或者湮滅。三元化合物SrHgPb的晶體結(jié)構(gòu)如圖8所示，位于B和C位的Hg和Pb原子形成Wurtzite晶格，A位原子填充于其間隙。這是一種LiGaGe類型的ABC晶體結(jié)構(gòu)，所選的三種元素都位于元素周期表下方且具有較強(qiáng)的自旋軌道耦合效應(yīng)[56]，而且理論計(jì)算提出，類似LiGaGe類型的晶體[57]可以實(shí)現(xiàn)鐵電[57]、Rashba效應(yīng)[58]、反鐵電拓?fù)浣^緣體[59]、狄拉克半金屬[18,60]和外爾半金屬[61]。SrHgPb的晶體材料已經(jīng)在多年之前的實(shí)驗(yàn)中合成[56]，這為深入研究狄拉克和外爾點(diǎn)共存的效應(yīng)提供了材料實(shí)現(xiàn)的可能。

我們的第一性原理計(jì)算得到的SrHgPb能帶圖如圖9所示。沿著能帶的高對稱性點(diǎn)路徑，可以觀察到位于Γ點(diǎn)附近的空穴口袋以及位于M和A點(diǎn)的電子口袋，這說明該材料是一個半金屬。一般在中心反演對稱性破缺的結(jié)構(gòu)中，除了一些高對稱點(diǎn)和高對稱線以外，能帶保持單重簡并，而SrHgPb的能帶結(jié)構(gòu)就具有這種性質(zhì)。

圖8 (a) SrHgPb的晶體結(jié)構(gòu)：綠色、黑色和灰色分別表示Sr、Pb和Hg原子；(b) SrHgPb的(110)面電子局域函數(shù)；(c) SrHgPb的第一布里淵區(qū)以及在(001)表面的投影(圖片來自文獻(xiàn)[55])

圖9(a)中沿著Γ-A線的導(dǎo)帶和價帶發(fā)生了能帶反轉(zhuǎn)，并且導(dǎo)帶和價帶的反轉(zhuǎn)形成四重簡并的狄拉克點(diǎn)。這里的狄拉克點(diǎn)是由于B和C位的成鍵態(tài)和反鍵態(tài)導(dǎo)致的，受到晶體對稱性保護(hù)，不會被自旋軌道耦合相互作用給打開。這里的狄拉克點(diǎn)與Na3Bi和Cd3As2中的狄拉克點(diǎn)類似[53]。不同于非點(diǎn)式對稱性保護(hù)的狄拉克半金屬BiO2，外爾點(diǎn)在k空間的位置與狄拉克點(diǎn)一般不同。由于狄拉克點(diǎn)受到旋轉(zhuǎn)對稱性或者非點(diǎn)式對稱性的保護(hù)，一般會在布里淵區(qū)的高對稱點(diǎn)上，而外爾點(diǎn)一般就不在高對稱點(diǎn)上。在SrHgPb體系的能帶結(jié)構(gòu)中共有6對外爾點(diǎn)，如圖9(b)中沿著Γ-W+-K，其中W+為一個外爾點(diǎn)。利用SrHgPb晶體的點(diǎn)群對稱性C6v，可以通過旋轉(zhuǎn)對稱性找到剩下的5對外爾點(diǎn)，并且這6對外爾點(diǎn)具有相同的能量。

圖9 (a) SrHgPb的動量空間中沿著高對稱點(diǎn)的能帶結(jié)構(gòu)，其中的插圖為紅色；(b) 能帶結(jié)構(gòu)沿著Γ-W+-K，其中W+處有一個外爾點(diǎn)坐標(biāo)為(0.217, 0.036, 0)?-1，這里的導(dǎo)帶和價帶交叉形成一個外爾點(diǎn)；(c) 布里淵區(qū)中的狄拉克點(diǎn)和外爾點(diǎn)的分布，其中狄拉克點(diǎn)用黑色的點(diǎn)來表示，外爾點(diǎn)用藍(lán)色和紅色的點(diǎn)來表示，紅色和藍(lán)色的點(diǎn)表示不同手型的外爾點(diǎn)；(d) kz=0平面的面內(nèi)Berry曲率，箭頭表示Berry曲率的方向(圖片來自文獻(xiàn)[55])

通過理論預(yù)測發(fā)現(xiàn)的這種可以共存狄拉克和外爾兩種拓?fù)湎嗟男虏牧蠟槲覀冄芯克鼈冎g的相互關(guān)系提供了新思路，這項(xiàng)工作為實(shí)現(xiàn)自旋電子學(xué)和量子計(jì)算衍生的拓?fù)洳牧咸峁┝诵碌目赡苄浴?/p>

4 總結(jié)和展望

近年來量子拓?fù)洳牧弦驗(yàn)榛A(chǔ)研究和應(yīng)用潛力的新奇獨(dú)特物性備受關(guān)注。本文擷取目前熱門的研究方向，包括拓?fù)浣^緣體、拓?fù)浒虢饘?、量子反常霍爾效?yīng)、量子自旋霍爾效應(yīng)等，并且我們對這些材料和現(xiàn)象進(jìn)行了簡要的介紹和描述，列舉了具有代表性的研究成果。我們相信隨著越來越多的拓?fù)洳牧媳粡睦碚擃A(yù)言到實(shí)驗(yàn)證實(shí)，人們對其物理性質(zhì)的理解會越來越清晰，并且可選擇的材料種類越來越豐富。近期一些工作利用材料基因組工程的思路和高通量計(jì)算系統(tǒng)搜索篩選建成了拓?fù)洳牧蠑?shù)據(jù)庫[62-64]，可以幫助人們尋找以前未發(fā)現(xiàn)的拓?fù)洳牧?，也為拓?fù)洳牧系陌l(fā)現(xiàn)提供了新平臺。目前半導(dǎo)體電子器件尺寸的不斷縮小已經(jīng)日趨達(dá)到瓶頸，迫切需要新一代的電子器件，而拓?fù)潆娮芋w系所具有的量子材料特性，或能實(shí)現(xiàn)能量和信息的無耗散傳輸，這將推動能源和信息產(chǎn)業(yè)的發(fā)展與革命。