浙江省杭州市余杭區(qū)教育局教研室 李玉華

浙江省杭州市余杭教育學(xué)院 張建明

圍繞“扎實·智慧的數(shù)學(xué)課堂——堅持與包容：基于基礎(chǔ)性課程內(nèi)容的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)”這一主題的浙江省杭州市2018年小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)觀摩評比活動已經(jīng)圓滿結(jié)束了，在此活動中我區(qū)推出的《相交與平行》，課后得到了同行們“簡潔與深刻一致”的高度評價，并榮獲了一等獎中的第一名，現(xiàn)將“起源、思考、實踐、反思”的心智經(jīng)歷分享與大家。

一、起源

為了迎接市小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)觀摩評比活動，我們團隊選擇了人教版四年級第五單元《平行四邊形和梯形》的第一課時《平行與垂直》作為了研究課例。

1.學(xué)生沒有真正理解“同一平面內(nèi)”含義

“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線”是人教版給“平行線”概念的定義。教材先讓學(xué)生在紙上任意畫兩條直線，通過觀察、分類、直線延長等畫一畫、分一分中逐步明確平行線概念，比較簡潔、高效。但學(xué)習(xí)后“同一個平面”這一前置條件學(xué)生并沒有真正理解。我們嘗試讓五年級的學(xué)生說說：“下圖中兩條直線是什么關(guān)系？為什么？”，絕大多數(shù)學(xué)生能說出“兩條直線既不平行也不相交”，但能正確說出“為什么”則寥寥無幾，更不知道兩直線所在平面位置。

顯然，從二維到三維的思維跨度較大，對學(xué)生的空間想象能力要求太高，事實上上圖中直線m所在的平面可以有無數(shù)個，同理直線L也有無數(shù)個，但是不能合在同一平面內(nèi)，這是很難讓四年級的孩子去領(lǐng)悟的，所以教學(xué)時學(xué)生對異面兩直線體會并不深刻，蜻蜓點水，淺嘗即止，缺乏整體建構(gòu)。

2.學(xué)生理不清“平行、相交、垂直”關(guān)系

人教版教材把此內(nèi)容的課題定為《平行與垂直》，從教材的版面設(shè)計來看，對平行和垂直概念明顯筆墨較多，有意無意地弱化了相交的地位，從以往的課例來看，一課時內(nèi)完成相交、平行、垂直的教學(xué)是普遍現(xiàn)象，這樣產(chǎn)生的副作用是：學(xué)生對三者之間的邏輯關(guān)系常?；煜?。我們對不同教師任教的班級做了三次后測（結(jié)果統(tǒng)計如下表）?？梢?，教材著重突出了平行與垂直后，相當(dāng)一部分學(xué)生對于三者之間的關(guān)系是不甚清楚的，將垂直概念與相交、平行置于并列關(guān)系占了27%。

題：請你用維恩圖（集合圖）表示一下同一平面內(nèi)相交、平行、垂直之間的關(guān)系。

題：請你用維恩圖（集合圖）表示一下同一平面內(nèi)相交、平行、垂直之間的關(guān)系。典 型 圖 例 結(jié)論 占比images/BZ_61_289_640_417_710.pngimages/BZ_61_426_638_599_714.png正確表達 68%images/BZ_61_264_753_392_823.pngimages/BZ_61_400_750_527_820.pngimages/BZ_61_542_751_670_821.pngimages/BZ_61_271_847_399_918.pngimages/BZ_61_408_845_581_920.png錯誤表達27%images/BZ_61_335_954_463_1025.pngimages/BZ_61_471_951_598_1021.png其他（不完整） 7%

二、思考

為了突出教學(xué)重點突破教學(xué)難點，我們從基于本質(zhì)屬性建構(gòu)概念意義的角度，對“同一平面內(nèi)”含義真正理解的導(dǎo)入、“相交、平行”概念意義重構(gòu)的定位、“教材再整合”課時安排調(diào)整的設(shè)想，進行了較深入的思考。

（一）基于“同一平面內(nèi)”含義真正理解的導(dǎo)入

“同一個平面”的理解是本節(jié)課的難點，不同的學(xué)生在認(rèn)知上存在差異，為了突破并強化“必須在同一平面內(nèi)”的理解，是否可以嘗試教學(xué)導(dǎo)入時就在一個三維空間內(nèi)來研究兩條直線的位置關(guān)系，再從三維到二維再到一維，反其道而行呢？理由是學(xué)生接觸到的現(xiàn)實空間都是三維的、可視化的立體空間，比較符合認(rèn)知習(xí)慣；二者在三維空間內(nèi)研究兩線關(guān)系，便于整體建構(gòu)，將所有兩直線位置關(guān)系一一呈現(xiàn)出來（包括同面、異面），再通過分類、比較、辨析，順勢引出相交與平行，而所用的三維空間的載體，就只需一個簡單的長方體而已。

（二）基于“相交、平行”概念意義重構(gòu)的定位

基于學(xué)生積累的豐富表象和學(xué)習(xí)經(jīng)驗，人教版教材對“相交”概念直接出示，沒有下定義，如果在一個平面內(nèi)討論兩直線關(guān)系，這當(dāng)然是沒有任何問題的，但如果對兩直線關(guān)系在一個三維空間內(nèi)討論，兩直線關(guān)系出現(xiàn)的情況會非常復(fù)雜，所以需要對“相交”的本質(zhì)屬性有一個簡單的判斷，考慮到四年級學(xué)生的實際，將“有交點”作為判定相交的本質(zhì)屬性。關(guān)于平行線，人教版教材給了比較嚴(yán)格的定義“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線”，這個定義更多的是基于對平行線的判定，而非平行線的本質(zhì)屬性，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系張奠宙教授在《小學(xué)數(shù)學(xué)教材要厘清邏輯順序——談平行與平移》一文中指出：“‘平行線’教學(xué)要和方向概念聯(lián)系起來，應(yīng)用直線的方向相同來定義直線的平行?！被谶@樣的認(rèn)識，將“方向一致”作為平行線的本質(zhì)屬性在教學(xué)中加以落實。

（三）基于“教材再整合”課時安排調(diào)整的設(shè)想

在《平行與垂直》一課時中教學(xué)完相交、平行、垂直，由于知識點較多，帶來的一個問題是一部分學(xué)生對三者之間的并列與包含關(guān)系混淆，教學(xué)效果存疑。因此，從單元立意、整體建構(gòu)的角度考慮，將“垂直”概念挪到第二課時進行教學(xué)，在本課時中聚焦于研究“相交與平行”的關(guān)系，課時安排調(diào)整的設(shè)想（如下表）。

版 本 第一課時 第二課時 第三課時 第四課時教材原編排平行與垂直畫垂線 垂線段、平行線間距離處處相等畫長方形、正方形整合后安排相交與平行垂直、畫垂線垂線段、平行線間距離處處相等畫長方形、正方形

三、實踐

（一）畫一畫——感知兩條直線的不同位置

師：同學(xué)們，請看這是什么？

生：長方體。

師：現(xiàn)在老師請你們在長方體上，用直尺和水筆任意畫兩條直線。

生：畫兩條直線（師以照片的形式展示“學(xué)生作品”，并用手比劃只要“在這個長方體上畫兩條直線都可以”）

師：請想一想這兩條直線你會畫在哪里呢？（學(xué)生動手操作）

借助于長方體這個三維的工具，讓學(xué)生在長方體面上任意地畫兩條直線，肯定會出現(xiàn)同面、異面的直線；相交、待相交、平行、既不相交也不平行等各種兩直線關(guān)系，既可以為后續(xù)分類提供豐富的素材，也可以在一個三維的框架下整體建構(gòu)兩直線關(guān)系，目的是讓學(xué)生感知兩條直線的不同位置。

（二）分一分——思考兩條直線的不同關(guān)系

師：巡視中將典型的7種畫法借助西沃同屏軟件拍照實時傳于大屏幕。

師：如果讓你給它們分分類，你會怎么分？把你的想法先說給同桌聽一聽。

（同桌交流想法，然后請學(xué)生上臺拖動圖片分一分）

生1：把兩條直線畫在同一個面上的分為一類（圖①②⑥⑦），畫在不同面上的分為一類（圖③④⑤）。

生2：把交叉在一起的分為一類（圖②③），不交叉在一起的分為一類（圖①④⑤⑥⑦）。

生3：這兩條直線延長后也會交叉在一起（圖⑥），也應(yīng)該分在交叉的那一類。

生4：我覺得這四幅應(yīng)該單獨分一類（圖①②⑥⑦），它們在同一個面上。

師：聽了這幾位同學(xué)的意見，他們對這四幅圖（圖②③⑤⑥）有不同的想法，既然這樣我就先來研究大家沒有意見的這三幅圖（圖②③⑥）。

對這7種類型進行分類，根據(jù)前測發(fā)現(xiàn)學(xué)生分類的思考路徑基本可概括為兩種，第一種是按兩條直線是否畫在同一個平面上來分，第二種是按兩條直線是否相交（學(xué)生稱交叉）來分，但是這兩種分類的路徑，最終都會指向相交、平行、既不相交也不平行三類，所以分類的切入點不同，但出口端相同，殊途同歸，目的是讓學(xué)生自主思考兩條直線的不同關(guān)系。

（三）議一議——理解相交平行的概念含義

1.基于“有交點”建構(gòu)“相交”概念

師：先來看這幅（圖②），這幅圖你們都說這兩條直線是交叉在一起的，那么它們在哪里交叉了呢？

生1：它們這樣（用手比劃）交叉在一起了。

生2：一條直線這樣，另一條方向這樣，不一樣的就交叉了。

師：那哪個地方可以看出來因為它們方向不一樣就交叉了呢？

生：這個點。（生上臺指一指交點）

師：同學(xué)們剛剛說的交叉在一起，在數(shù)學(xué)上我們就說這兩條直線的位置關(guān)系就是“相交”，這個交叉的點就叫“交點”，只要這兩條直線有相交關(guān)系那么就會“有交點”（板書）。

師：那這兩幅圖（圖③⑥）的兩條直線相交嗎？

生：相交。（圖③）交點在棱上（學(xué)生上臺比劃）；（圖⑥）交點在延長線上，因為這是直線，直線是可以無限延長的。

師：把掌聲送給他，直線的特點馬上就想到了。如果把這兩條直線延長，那你能想象下大約會在什么位置相交（生想象）。

師：拿出直尺動手操作，實際證明這兩條直線也會相交。這條直線向著這個方向延長，另一條直線向著另一個方向延長，最終它們相交了，交點就在這兒（比劃）。我們把這三幅圖移到黑板上。這些圖中的兩條直線都相交，相交后都有交點。

從沒有爭議的相交圖入手，讓學(xué)生指一指在哪里交叉，指向相交的本質(zhì)屬性“有交點”，同時隨即滲透相交的兩條直線“方向不一樣”，為后面學(xué)習(xí)平行的本質(zhì)屬性“方向一致”做好埋伏。有了第一幅圖關(guān)于相交本質(zhì)屬性“有交點”的準(zhǔn)備，然后用這一屬性來判斷異面相交（本質(zhì)上是同面）和延長后相交這兩種情況，完善了對相交概念的認(rèn)知。

2.基于“方向一致”建構(gòu)“平行”概念

師：我們來看這兩幅圖（圖①⑦），剛才同學(xué)們都同意這兩幅圖中的兩條直線是不相交的，你們是怎么想的？

生：這兩條直線方向是一樣的，不管怎么延長都不會相交的。

師：那向左向右穿過這個屏幕無限延長下去呢？

生：還是永遠(yuǎn)不會相交的，因為這兩條直線的方向是一樣的，不會相交在一起的。

師：是?。▌討B(tài)延長圖①兩直線），像這樣的方向一樣的兩條直線永遠(yuǎn)不相交，我們就說這兩條直線互相平行。它們的位置關(guān)系就是“平行”（板書）那這兩條直線互相平行嗎（圖⑦）？說說你的想法。

生1：還是互相平行的，它們和前面圖中兩條直線一樣的，只是都是朝著前后方向延長的，延長后也不會相交的。

生2：他說的就是兩條直線向著前后無限延長永遠(yuǎn)不會相交的，所以也還是互相平行的。

師：是的，這兩條直線向前、向后這兩個方向無限延長，它們都是不相交的，所以它們是互相平行。那這樣呢（旋轉(zhuǎn)圖⑦）？

生：還是互相平行的，只是現(xiàn)在兩條直線都是向同一個方向斜著的。

師：對的，像這樣延長方向一致的兩條直線，永不相交，就互相平行了。

基于“方向一致”初步建構(gòu)“平行”概念。由于沒有學(xué)過垂直，無法用距離處處相等來判定，因此對平行的定義是基于視覺直觀，即兩條直線向兩端無限延長之后也不會相交（借助于計算機技術(shù)和空間想象），落腳點是在“方向一致”上，通過前后方向，左右方向，旋轉(zhuǎn)后斜向，體會平行的兩條直線都是向同一個方向無限延長。

師：那這兩條直線互相平行嗎（圖④）？

生 1：平行

生2：不平行

生 3：平行

師：誰來說說你們是怎么想的？

生3：前面說了只要方向一致的兩條直線就互相平行了，那么這兩條直線的方向是一樣的，所以我認(rèn)為這兩條直線是互相平行的。

師：那認(rèn)為不平行的你們又是怎么想的？

生2：這兩條直線不在一個面上，也可以平行嗎？

師：其實要互相平行的兩條直線還要在同一平面上，請仔細(xì)觀察這兩條直線它們能放在同一平面上嗎？（學(xué)生沉思）

生1：可以的，把長方體拆開來就好了

生2：拆開來打開就能放到同一平面上了

師：還有不拆的想法嗎？（生沒有其他想法）那你們先看動畫（用刀沿著兩條直線進行切割的動畫），看完你再思考下你有沒有新想法？

師：現(xiàn)在你看到了什么？

生1：經(jīng)切割，這兩條直線它們在一個面上了。

生2：這個面和我們平?？吹降牟灰粯?，這個面是切出來的，而且還是斜著的。

生3：是的，只要是平平的就是平面了，斜著的也是的。

師：是呀，像這樣方向一致的兩條直線我們就可以切出一個斜斜的平面了，這兩條直線就在同一平面上了，看來這三副圖中的兩條直線都是互相平行的。

基于“方向一致”深入建構(gòu)了“平行”概念。先通過討論圖中異面（實質(zhì)是同面）平行的兩條直線來激發(fā)認(rèn)知沖突，再把兩條異面的直線想辦法放在同一個平面上，是一個需要很強空間想象力的任務(wù)，學(xué)生的直覺思維是把這個長方體的面給拆了拉平。對于需要斜切在長方體內(nèi)部來找平面的方法學(xué)生普遍感到困難，借助計算機輔助，動態(tài)演示切的過程，學(xué)生恍然大悟，難點順勢而解。

3.基于“同一平面”深化“相交與平行”本質(zhì)

師：那這兩條直線呢（圖⑤）？

生1：屬于相交的。

生2：應(yīng)該是平行的。

生3：它們不會有交點，所以肯定不是相交。

師：剛剛第一位同學(xué)說相交的，請問交點在哪里？

生1：把這條直線延長就會在這里相交了（學(xué)生比劃）。

師：真的？老師這兒有兩根小棒咱們就把它們當(dāng)成這兩條直線，請你上來擺一擺看。

生1：上臺擺好，硬生生把小棒折彎說相交了。

生：（搶答）這是直線怎么可以折彎呢？應(yīng)該是不相交的。

生：（搶答）老師我還發(fā)現(xiàn)這兩條直線方向是不一樣的，而且也不在一個面上。

師：誰聽懂這位同學(xué)說的了嗎？

生：他說這兩條直線的方向是不一樣的。

師：那這兩條直線是互相平行嗎？

生：也不是平行。

師：是呀，像這樣的兩條直線不會相交，方向也不同，而且也不在同一平面上，所以它們“既不是相交也不是平行”（板書）。今天大家一起研究了兩條直線的關(guān)系：相交與平行（板書）。像這樣既不相交也不平行的我們以后再研究。

最后的圖⑤是屬于異面中既不平行也不相交的情況，它的存在對于完善相交和平行的概念有很大作用，由于拍成的圖片是二維的，學(xué)生在辨析中存在困難，因此通過教具的直觀演示（用兩根小棒代替直線）來進行突破，效果較好。此環(huán)節(jié)還發(fā)生了一個學(xué)生將小棒折斷后讓線強行相交的小插曲，也很好地反證了直線必須是直的特性。最后點明本課主旨，研究的是兩條直線之間的關(guān)系：相交與平行，相交的本質(zhì)屬性是兩直線“有交點”、平行的本質(zhì)屬性是兩直線的“方向一致”。

四、反思

1.課題演變有利于關(guān)系的簡單理清

課題是一個“眼”，課題的演變及背后的思考（如下表）。從“教、學(xué)、評”的結(jié)果看，過程的思考是深刻的，課題的演變是正確的，它更有利于學(xué)生簡單理清“相交與平行”的并列關(guān)系。

稿別 課題 思考第一稿《平行》對教材內(nèi)容《平行與垂直》進行處理，去掉垂直部分的教學(xué)，課題就順理成章地剩下了《平行》字第二稿《平行與相交》在同一個平面內(nèi)，教學(xué)平行概念，勢必繞不開相交，兩者是并列關(guān)系，缺一不可，課題定為《平行與相交》體現(xiàn)建構(gòu)的整體性第三稿《相交與平行》在同一個平面內(nèi)的兩線關(guān)系，相交是一種更普遍的現(xiàn)象，而平行卻是一種相對比較特殊的現(xiàn)象（需要一定的條件：方向一致），本課教學(xué)中，也是先涉及相交后研究平行，所以《相交與平行》既能體現(xiàn)一般與特殊的關(guān)系，又能反映教學(xué)先后順序。

2.本質(zhì)把握有利于概念的深刻建構(gòu)

從一個“體”上來研究兩直線關(guān)系，即從三維整體構(gòu)建再回到二維研究，對四年級學(xué)生來說雖具有一定的挑戰(zhàn)性，但從課堂教學(xué)效果看學(xué)生由于生活經(jīng)驗的積累，空間想象能力還是能有效支撐的。關(guān)于“平行線”的定義不同版本教材有的“像這樣……”描述性定義，有的“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線”下相對嚴(yán)格的定義，沒有出現(xiàn)用“方向一致”這個角度來定義，是考慮到四年級學(xué)生的認(rèn)知水平較低空間觀念不足采取的不得已策略，還是另有原因我們雖不得而知，但從學(xué)生課堂學(xué)習(xí)結(jié)果看，基于“平行”的本質(zhì)屬性弱化“同一平面”用“方向一致”來建構(gòu)概念意義還是切實可行的。當(dāng)然，作為一堂研究型的課，顛覆以往固有的設(shè)計結(jié)構(gòu)，提供一種全新的切入視角，一切還有待時間來檢驗。