梁淑穎

摘 要：文章通過分析學(xué)生在解決“分段計(jì)費(fèi)”這一類問題時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，在尋因的過程中反思日常教學(xué)中教師在教學(xué)觀念和教學(xué)行為方面存在的誤區(qū)，以此提出從例題重構(gòu)、幾何直觀、題組對(duì)比三方面入手，對(duì)?“分段計(jì)費(fèi)”這一類問題的探討與再思考。

關(guān)鍵詞：“分段計(jì)費(fèi)”;錯(cuò)因分析;再思考

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 收稿日期：2019-03-05 文章編號(hào)：1674-120X（2019）24-0069-02

一、“分段計(jì)費(fèi)”問題的錯(cuò)因分析

在一次五年級(jí)數(shù)學(xué)模擬考中，出現(xiàn)了這樣一道“分段計(jì)費(fèi)”題目：某校五（1）班42名師生照相合影，給每人印一張照片，一共需要付多少錢？[合影定價(jià)為30元（含5張照片），每加印一張2元]批改后發(fā)現(xiàn)：全班42人，其中有10人出現(xiàn)了錯(cuò)誤，得分率是76.1%。這道題目與書本P18 練習(xí)題中第7小題類型相同，表達(dá)方式也相似，但結(jié)果卻不盡如人意。這是為什么呢？

我翻閱了學(xué)生的試卷，主要有以下的錯(cuò)誤如圖一。

從表面上看，學(xué)生的錯(cuò)法是五花八門，探其根源卻都是在理解題意上出現(xiàn)了偏差。

而在《義務(wù)教育教科書教師教學(xué)用書（數(shù)學(xué)）五年級(jí)上冊(cè)》第26頁的編寫意圖中提到，例題9意在“結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活中乘出租車付費(fèi)問題，進(jìn)一步提升學(xué)生解決問題的能力，經(jīng)歷解決問題的過程，初步體會(huì)函數(shù)思想”。教學(xué)建議中也提示可以抓住“行駛里程和收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)”來理解題意，借助觀察“行駛里程和車費(fèi)之間的聯(lián)系及變化”滲透函數(shù)思想。由此可見，“理解題意”是解決這類題型的重中之重。

但在日常教學(xué)中，我們卻發(fā)現(xiàn)教師在引導(dǎo)學(xué)生解決這一類問題時(shí)，卻存在以下誤區(qū)。

（一）重視對(duì)“分段”的理解，忽視對(duì)“整體”的把握

這一類的題目都統(tǒng)稱為分段計(jì)費(fèi)，因?yàn)樗鼈兪欠侄魏瘮?shù)的雛形，實(shí)際上就是“對(duì)于自變量x的不同的取值范圍，有著不同的解析式的函數(shù)。它是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)”。有的教師被這種類型的名稱固定了自己的思維，在教學(xué)中過分地強(qiáng)調(diào)分段，而忽略了對(duì)“一個(gè)函數(shù)”這個(gè)整體的把握，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)分段一詞非常熟悉，但對(duì)于什么時(shí)候需要分段，對(duì)誰進(jìn)行分段卻非常模糊，甚至出現(xiàn)為分而分的現(xiàn)象。

（二）只按例題套路走，忽視舉一反三

題目如下：

（1）打固定電話每次前3分鐘內(nèi)收費(fèi)0.3元，超過3分鐘，每分鐘收0.1元（不足1分鐘按1分鐘計(jì)算）。媽媽一次通話8分15秒，她這次通話費(fèi)用是多少？

（2）打固定電話每次前3分鐘內(nèi)，每分鐘收費(fèi)0.3元，超過3分鐘，每分鐘收0.1元（不足1分鐘按1分鐘計(jì)算）。媽媽一次通話8分15秒，她這次通話費(fèi)用是多少？

從題目上看，第一小題與例題基本相似，而第二小題則出現(xiàn)了微小的變化。但是呈現(xiàn)題目時(shí)，全班42名學(xué)生中有5名學(xué)生認(rèn)為這兩道題題目是一樣的，有3名學(xué)生認(rèn)為不太清晰，也就是有接近20%的學(xué)生因?yàn)轭}目的表述出現(xiàn)了微小的變化而導(dǎo)致出錯(cuò)。學(xué)生認(rèn)為“與例題不一樣”而造成錯(cuò)誤，探其根源，是對(duì)分段計(jì)費(fèi)中自變量x的變化把握不到位，只關(guān)注與例題相同的地方，而忽視了舉一反三與深入的研究。有的學(xué)生甚至對(duì)解答這種類型的題目的方法是“死記硬背”，稍有變化就無從下手。

（三）扼殺學(xué)生個(gè)性思考

從教材“分析與解答”的呈現(xiàn)中我們不難發(fā)現(xiàn)，這種類型的題目還可以用假設(shè)法進(jìn)行思考——先假設(shè)全路程的單價(jià)都相同再加上前一部分少算的部分。實(shí)際上無論用哪種方法，它的本質(zhì)都是以“一個(gè)函數(shù)”為整體進(jìn)行研究，只是對(duì)于自變量x的取值進(jìn)行了微調(diào)。但在實(shí)際教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，教師對(duì)于這種解題方法是粗略帶過或視而不見，而學(xué)生對(duì)于這種方法也是一知半解，這扼殺了學(xué)生的個(gè)性思考。

面對(duì)這樣的問題，我們又該如何解決呢？

二、“分段計(jì)費(fèi)”問題的再思考

（一）例題重構(gòu)，從特殊到一般，幫助學(xué)生理解題意

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，從特殊開始，通過特殊的情況探討解題的思路或過程，再在一般的情況下得出結(jié)論，這是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常使用的歸納法。借助這種方法，有利于幫助學(xué)生在第一次接觸這種“分段計(jì)費(fèi)”的問題時(shí)弄清楚題意，找準(zhǔn)“整體”。因此，例題可以重構(gòu)如下：

出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)： 3km以內(nèi)7元，超過3km，每千米1.5元（不足1km按1km計(jì)算）

（1）行程2km，乘客要付多少錢？（2）行程2.3km，乘客要付多少錢？

（3）行程3km，乘客要付多少錢？（4）行程5km，乘客要付多少錢？

（5）行程6.3km，乘客要付多少錢？（6）行程8.7km，乘客要付多少錢？

通過不斷變化的總里程數(shù)，教師幫助學(xué)生重點(diǎn)理解“3km以內(nèi)7元”和“超過3km”的具體含義。同時(shí)在找準(zhǔn)整體也就是總里程的基礎(chǔ)下，結(jié)合具體的情境引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步分析什么時(shí)候要分段，什么時(shí)候不需要分段，以此順理成章地引出“分段點(diǎn)”。這樣，通過從特殊到一般的層層深入，教師能逐步幫助學(xué)生理解題意，初步建立解決這一類問題的審題步驟。

（二）借助幾何直觀，幫助學(xué)生建立分段函數(shù)的雛形

以上述例題為例，可以把題目簡化成以下的線段圖，幫助學(xué)生結(jié)合圖形進(jìn)一步理解整體與分段點(diǎn)，從圖形中理解分段點(diǎn)的作用如圖二。

還可以利用函數(shù)圖形展現(xiàn)分段計(jì)費(fèi)的結(jié)果，讓學(xué)生初步、直觀感知分段函數(shù)的圖像，再次體會(huì)“整體”與“分段點(diǎn)”的關(guān)系，結(jié)合圖像理解題意如圖三。

車費(fèi)/元

里程/km

（三）歸類分析，明確本質(zhì)，舉一反三

筆者把此類問題做了如下的分類與設(shè)計(jì)：

題組一：

（1）某市自來水公司為鼓勵(lì)節(jié)約用水，采取按月分段計(jì)費(fèi)的方法收取水費(fèi)。12噸以內(nèi)的每噸2.5元;超過12噸的部分，每噸3.8元。小云家上月用水量為17噸，應(yīng)繳水費(fèi)多少元？

（2）某市自來水公司為鼓勵(lì)節(jié)約用水，采取按月分段計(jì)費(fèi)的方法收取水費(fèi)。12噸以內(nèi)25元;超過12噸的部分，每噸3.8元。小云家上月用水量為17噸，應(yīng)繳水費(fèi)多少元？

題組二：某市居民用電按階梯收費(fèi)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如表一。

（1）小明家上月用電230千瓦時(shí)，電費(fèi)是多少？

（2）小華家上月用電260千瓦時(shí)，電費(fèi)是多少？

（3）李強(qiáng)家上月用電420千瓦時(shí)，電費(fèi)是多少？

說明：本題改編自《義務(wù)教育教科書教師教學(xué)用書（數(shù)學(xué)）五年級(jí)上冊(cè)》P38 第（4）小題。此題組包含多種類型，一是不需要進(jìn)行分段計(jì)費(fèi)，二是要進(jìn)行兩段或多段的分段計(jì)費(fèi)。意在強(qiáng)化學(xué)生對(duì)信息的提取能力，以及對(duì)分段點(diǎn)的判斷能力，學(xué)生要分幾段進(jìn)行針對(duì)性的練習(xí)。

題組三： 郵局印刷品收費(fèi)如表二。

（1）小明寄一本重540克的書給本埠同學(xué)，應(yīng)付郵費(fèi)多少元？

（2）小華寄一本重540克的書給外埠同學(xué)，應(yīng)付郵費(fèi)多少元？

說明：本題取材于學(xué)生日常生活的情境，意在發(fā)揮線段圖的作用，凸顯數(shù)形結(jié)合在解決此類型題目時(shí)的價(jià)值。

題組四：某停車場的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：停車2小時(shí)以內(nèi)（含2小時(shí)）收費(fèi)10元，超過2小時(shí)部分，每0.5小時(shí)收費(fèi)3.5元，不滿0.5小時(shí)按0.5小時(shí)計(jì)算。

（1）王叔叔在這個(gè)停車場停車3.2小時(shí)，他要繳停車費(fèi)多少元？

（2）王叔叔在這個(gè)停車場停車3.8小時(shí)，他要繳停車費(fèi)多少元？

“分段計(jì)費(fèi)”這一類的問題雖然千變?nèi)f化，但其實(shí)萬變不離其宗，教師從例題重構(gòu)、幾何直觀、題組對(duì)比三方面入手，有助于學(xué)生理解題意，更好地解決 “分段計(jì)費(fèi)”這一類的問題。俗話說“教無定法”，作為教師，我們需放下身段，善于從學(xué)生的點(diǎn)滴錯(cuò)誤中尋找根源，并以此回頭審視我們的教學(xué)，不斷摸索最適合的方法，以促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]陶 強(qiáng).分段函數(shù)：“分身”不“分心”解決方法研究[J].教育界（綜合教育研究版），2018（1）：132-133.