程潘紅

摘 要 合理的期權(quán)價(jià)格是期權(quán)交易的前提.基于上證50ETF期權(quán)的最新數(shù)據(jù)，運(yùn)用經(jīng)典的Black-Scholes定價(jià)模型、蒙特卡洛模擬期權(quán)定價(jià)方法和分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)定價(jià)模型對(duì)上證50ETF期權(quán)價(jià)格進(jìn)行實(shí)證研究.結(jié)果表明：分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)定價(jià)模型相比較經(jīng)典的BlackScholes定價(jià)模型和蒙特卡洛方法在接近期權(quán)的實(shí)際成交價(jià)格時(shí)均方誤差和均方比例誤差更小，能夠較為準(zhǔn)確地、有效地模擬出上證50ETF期權(quán)的價(jià)格，從而對(duì)投資者的期權(quán)交易行為具有一定的指導(dǎo)作用，也為國(guó)內(nèi)其他品種的期權(quán)定價(jià)研究提供參考.

關(guān)鍵詞 金融工程;均方誤差;均方比例誤差;上證50ETF期權(quán);分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)

中圖分類(lèi)號(hào) F830.9; O211.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

Abstract Reasonable options price is the premise of options trading. This paper makes an empirical research of the SSE 50ETF option pricing by using the classic Black-Scholes pricing model， Monte Carlo simulation option pricing method and the fractional Brownian motion pricing model based on the latest data of the SSE 50ETF option price. The analysis results show that the fractional Brownian motion pricing model can more accurately and effectively simulate the SSE 50ETF options price because of smaller mean square error and mean square proportional error. The research can provide guidance for investors options trading behavior. In addition， it is helpful to study other varieties of domestic options.

Key words Financial Engineering; Mean Square Error; Mean Square Proportional Error; SSE 50 ETF Options; Fractional Brownian Motion

1 引 言

期權(quán)作為典型的金融衍生品（遠(yuǎn)期、期貨、互換、期權(quán)）之一，具有悠久的發(fā)展歷史.但現(xiàn)代意義上的期權(quán)是從1973年美國(guó)CBOE推出16只股票組成的股票期權(quán)開(kāi)始[1].期權(quán)具備良好的價(jià)格發(fā)現(xiàn)、資產(chǎn)配置、風(fēng)險(xiǎn)度量與管理等功能.因此，各國(guó)為推進(jìn)資本市場(chǎng)更加健康有序發(fā)展，不斷的進(jìn)行產(chǎn)品創(chuàng)新、制度創(chuàng)新與技術(shù)創(chuàng)新.

中國(guó)金融期貨交易所于2013年11月8日面向市場(chǎng)開(kāi)展股指期權(quán)仿真交易，這是推出首個(gè)期權(quán)交易的關(guān)鍵一步.隨后上海金融期貨交易所、大連商品交易所、鄭州商品交易所也陸續(xù)開(kāi)展以期貨為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)仿真交易.上海證券交易所開(kāi)展了股票期權(quán)的仿真交易，其中包括50ETF期權(quán)合約.該期權(quán)經(jīng)過(guò)了一年的仿真交易，在眾多仿真交易產(chǎn)品中脫穎而出.于2015年2月9日在上海證券交易所正式上線(xiàn)交易，這不僅宣告中國(guó)期權(quán)時(shí)代的到來(lái)，也表明我國(guó)典型金融衍生品已配備齊全.

上證50ETF期權(quán)基于杠桿性、風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖及套利技術(shù)等特點(diǎn)受到投資者的青睞，在金融衍生品市場(chǎng)中擁有舉足輕重的地位.如：在2015年6月29日央行降準(zhǔn)降息的背景下，上證50ETF期權(quán)并未出現(xiàn)大幅度反彈，交易依然活躍，流動(dòng)性強(qiáng)，成交量與持倉(cāng)量較前一個(gè)交易日均有所增加.但其標(biāo)的資產(chǎn)上證50ETF，即上證50交易型開(kāi)放式指數(shù)證券投資基金則約有0.97%的跌幅.期權(quán)作為市場(chǎng)上交易活躍的金融衍生品，是投資者進(jìn)行套期保值、套利的有利保障，對(duì)完善資本市場(chǎng)體系具有重要作用.

2 文獻(xiàn)綜述

Black 和 Scholes （1973）[1]提出了著名的BS期權(quán)定價(jià)模型，該定價(jià)模型的誕生標(biāo)志著現(xiàn)代期權(quán)理論的建立.紀(jì)瓊（2015）[2]運(yùn)用GARCH模型和BS模型對(duì)上證50ETF期權(quán)價(jià)格進(jìn)行分析，得出GARCH模型對(duì)于小樣本數(shù)據(jù)有著更好的擬合效果.喬克林和薛盼紅（2016）[3]分別用經(jīng)典BS模型和擴(kuò)展BS模型（即標(biāo)的資產(chǎn)支付離散紅利）對(duì)上證50ETF期權(quán)進(jìn)行定價(jià)實(shí)證研究，將模型結(jié)果與期權(quán)實(shí)際價(jià)格相比較，認(rèn)為擴(kuò)展BS定價(jià)模型更有效.方艷等（2017）[4]運(yùn)用IGARCH、蒙特卡洛模擬、BSM模型對(duì)期權(quán)定價(jià)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)IGARCH模型比GARCH模型能更好地?cái)M合上證50ETF的波動(dòng)率，BSM模型和蒙特卡羅模擬方法均可以較為有效地模擬出上證50ETF期權(quán)價(jià)格.以上學(xué)者研究期權(quán)定價(jià)均基于其標(biāo)的資產(chǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是由布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的假設(shè)背景.但在實(shí)際的金融市場(chǎng)中，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)動(dòng)過(guò)程具有長(zhǎng)程相依性、自相似性以及“尖峰厚尾”現(xiàn)象.Elliott和Hoek （2003）[5]研究了赫斯特指數(shù)H在（1/2，1）情況下的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)（fractional Brownian motion，簡(jiǎn)寫(xiě)為fBm）.Hu和Φksendal （2003）[6]通過(guò)Wick積分和分?jǐn)?shù)白噪聲進(jìn)一步研究了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)積分理論，并證明了It型分?jǐn)?shù)BlackScholes市場(chǎng)無(wú)套利和完備性.Bender（2003）[7]將其推廣到了任意赫斯特指數(shù).Nualart（2006）[8]提出了分?jǐn)?shù)BS模型，對(duì)經(jīng)典BS模型做了改進(jìn).劉韶躍和楊向群（2002）[9]討論了標(biāo)的資產(chǎn)支付紅利時(shí)分?jǐn)?shù)布朗環(huán)境下歐式期權(quán)的定價(jià)公式及看漲看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系.趙佃立（2007） [10]研究了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下歐式冪期權(quán)的定價(jià).李金秀（2014）[11]在假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、標(biāo)的資產(chǎn)紅利均為時(shí)間的函數(shù)時(shí)，分析了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下歐式看跌期權(quán)的價(jià)格.李志廣和康淑瑰（2016）[12]考慮了標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，短期利率服從Vasicek模型時(shí)，歐式期權(quán)價(jià)格滿(mǎn)足的偏微分方程，并通過(guò)求解該方程得到期權(quán)的定價(jià)公式.劉文倩等（2018）[13]研究了混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的歐式障礙期權(quán)定價(jià)，得到了歐式障礙期權(quán)看漲看跌平價(jià)關(guān)系式，并根據(jù)敲入敲出障礙期權(quán)關(guān)系式推出障礙期權(quán)所有類(lèi)型的定價(jià)公式.程志勇等（2018） [14] 考慮次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下支付連續(xù)紅利時(shí)歐式期權(quán)的定價(jià)，并對(duì)定價(jià)模型中的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，討論了估計(jì)量的無(wú)偏性和強(qiáng)收斂性.

由此，在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下對(duì)上證50ETF期權(quán)定價(jià)進(jìn)行實(shí)證分析很有意義.運(yùn)用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)刻畫(huà)上證50ETF的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，使用最新的上證50ETF期權(quán)高頻數(shù)據(jù)，得到fBm環(huán)境下的期權(quán)價(jià)格.然后將3種定價(jià)模型得到的上證50ETF期權(quán)理論價(jià)格與實(shí)時(shí)市場(chǎng)價(jià)格進(jìn)行比較，計(jì)算各自均方誤差和均方比例誤差，驗(yàn)證模型的有效性和穩(wěn)健性.

3 期權(quán)定價(jià)模型

選擇合適的定價(jià)模型對(duì)上證50ETF期權(quán)進(jìn)行實(shí)證研究是目前學(xué)術(shù)界的一個(gè)重要研究方向.下面簡(jiǎn)要介紹三種常用的期權(quán)定價(jià)模型，即經(jīng)典BS模型、蒙特卡洛模擬期權(quán)定價(jià)方法和fBm模型.

3.1 BlackScholes 定價(jià)模型

經(jīng)典BS模型[1]可通過(guò)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法或求解期權(quán)價(jià)格滿(mǎn)足的偏微分方程來(lái)建立.

經(jīng)典BS定價(jià)模型的看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格分別為

從表6可以得到：當(dāng)赫斯特指數(shù)H取值在0.51到0.53之間時(shí)，fBm定價(jià)比經(jīng)典的BS模型、MC模擬期權(quán)定價(jià)更接近期權(quán)的實(shí)際成交價(jià)格.即fBm定價(jià)模型能夠較好地模擬上證50ETF期權(quán)的價(jià)格，精確度較高，穩(wěn)健性較好.

給出了3種模型下上證50ETF看漲與看跌期權(quán)的理論價(jià)格與實(shí)際市場(chǎng)價(jià)格之間的比較圖，如圖1 和圖2所示.

3種模型模擬得到的上證50ETF看漲期權(quán)價(jià)格基本重合，但fBm模型下看跌期權(quán)的價(jià)格更為貼近實(shí)際市場(chǎng)價(jià)格.因此，fBm期權(quán)定價(jià)模型更為準(zhǔn)確地、有效地模擬出期權(quán)的實(shí)際價(jià)格，這與運(yùn)用MSE、MSPE評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)得到的結(jié)論一致.

5結(jié) 論

將上證50ETF期權(quán)作為研究對(duì)象，運(yùn)用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)（fBm）刻畫(huà)上證50ETF的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，得到fBm定價(jià)模型，實(shí)證研究的結(jié)果表明相比較典型的BS定價(jià)模型、MC定價(jià)方法，fBm定價(jià)模型能夠更有效地接近期權(quán)的實(shí)際價(jià)格.研究結(jié)論對(duì)合理預(yù)測(cè)上證50ETF期權(quán)有參考作用，可以為投資者提供參考.

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