李 玲， 云強強， 李治強， 蔡安江， 段志善

(西安建筑科技大學機電工程學院 西安，710055)

引 言

為了滿足特定的要求，絕大部分機械設備由許多零件、部件及其相互連接的結合面組成[1]，結合面的種類很多，但都是相互接觸的粗糙表面且起著傳遞運動、載荷和能量的重要作用。實際工程中普遍采用潤滑劑和添加涂層等方式降低摩擦因數，減少表面磨損，提高設備使用壽命，但會引起結合面復雜多變的接觸特性。

針對這一問題，國內外學者進行了大量的研究[2-3]。Greenwood和Williamson基于Hertz理論提出粗糙表面的接觸模型(簡稱GW模型[4])，將單個剛性球體與彈性半空間的接觸擴展為一個剛性平面與一個粗糙表面間的接觸，通過統(tǒng)計學方法分析多種因素對結合面的影響規(guī)律；但該模型受假設條件的約束，忽略了微凸體的塑性變形、微凸體之間的相互作用以及基體變形，無法準確地描述粗糙表面的接觸特性。為了修正GW模型的假設條件，Chang等[5]提出了一種用于分析粗糙表面接觸的彈塑性模型(CEB模型)，該模型基于塑性變形期間微凸體的體積守恒，獲得了微凸體的臨界塑性變形。Kogut和Etsion基于CEB模型提出了彈塑性微觀接觸模型(K-E模型[6-7])，使用有限元方法研究了單個球體與剛性平板的接觸問題，揭示了微凸體從彈性、彈塑性到完全塑性的3個不同階段。進一步地，Chandrasekar等[8]利用有限元方法對粗糙表面接觸過程進行仿真，發(fā)現微凸體相互作用對結合面接觸特性有著明顯的影響，所提出的模型能很好地反映結合面的法向載荷-變形關系。Iida等[9]基于Green函數計算相鄰微凸體側向接觸引起的位移，研究了微凸體之間的相互作用。Wang等[10]基于彈性理論，獲得了微凸體相互作用引起的變形，提出了考慮微凸體相互作用影響的分形接觸剛度模型。

關于混合潤滑條件下結合面的研究，文獻[11-12]基于Greenwood和Tripp模型給出了結合面彈流潤滑的數值解，考慮了微凸體相互作用對液體介質厚度的影響。Gonzalez-Valadez等[13]基于界面的超聲反射系數與接觸剛度之間的關系，采用超聲反射回波測試方法獲得混合潤滑結合面的接觸剛度，實現了固體表面接觸剛度與液體介質接觸剛度的耦合。上述文獻均基于傳統(tǒng)模型研究了潤滑狀態(tài)下粗糙接觸界面的接觸特性，忽略了基體變形的影響。但是，如果粗糙表面上包含硬涂層或表面膜時，粗糙表面將由表面涂層與基體組成，此時傳統(tǒng)模型無法準確地描述其接觸行為。

為進一步分析混合潤滑狀態(tài)下結合面的接觸特性，彌補上述模型不能研究基體變形的不足，筆者基于二維分形理論建立了混合潤滑狀態(tài)下考慮基體變形的結合面接觸模型。綜合單微凸體-基體系統(tǒng)模型，獲得考慮基體變形的固體表面接觸剛度。同時，利用固體表面的接觸剛度計算液體介質的等效厚度，推導了液體介質的接觸剛度。

1 混合潤滑條件下結合面接觸模型

兩粗糙表面之間的接觸可以簡化為剛性平面與等效粗糙表面之間的接觸，混合潤滑狀態(tài)下，它們之間的間隙由潤滑劑填充，如圖1(a)所示。此時，基于剛度分配思想，結合面的法向接觸剛度K由固體部分和潤滑劑部分并聯連接[14]，如圖1(b)所示，可表示為

K=KS+KL

(1)

其中：KS和KL分別為固體表面的接觸剛度和液體介質的接觸剛度。

圖1 混合潤滑條件下結合面接觸示意圖Fig.1 Schematic diagram of joint surface in mixed lubrication

1.1 單微凸體-基體系統(tǒng)建模

當機械表面含有硬質涂層，粗糙表面被假設為基體與微凸體的組合。作用于表面的法向載荷通過微凸體傳遞到基體，此時微凸體和基體可以假設為兩個串聯的彈簧，如圖2所示。

圖2 接觸模型原理圖Fig.2 Schematic of the contact model

圖2中系統(tǒng)的總變形量δ是微凸體變形量δa與基體變形量δb之和，如式(2)[15]所示

(2)

其中：k為微凸體-基體系統(tǒng)的剛度；ka為微凸體的剛度；kb為基體的剛度。

根據剛度的定義，單個微凸體的法向接觸剛度[16]可以表示為

(3)

基于彈性理論，基體表面的變形量[5]表示為

根據平衡條件，微凸體變形引起的基體變形量為

(6)

聯立式(5)和式(6)，可以得到基體的剛度kb為

(7)

聯立式(2)～(7)可知

(8)

化簡得

(9)

令δa=f(δ)，式(9)可以表示為

(10)

利用不動點迭代法，可以得到式(10)的近似解，則式(10)又可以表示為

(11)

其中：n=0，1，…，∞，迭代的次數越多得到的結果越精確。

為計算方便，取起始點f0為

(12)

將式(12)代入式(11)進行迭代，發(fā)現只需迭代2次得到的近似解就非常接近于計算得到的數值解，且誤差不超過5%，因此微凸體的變形量可以近似為前2次迭代的解

(13)

圖3描述了采用數值解法的式(8)和近似解法的式(13)求得的微凸體形變量在不同涂層下的對比。其中：橫坐標表示系統(tǒng)實際位移；縱坐標表示微凸體的位移量；κ表示微凸體材料與基體材料復合彈性模量的比值。由圖3可知，對于不同的κ值，數值解與近似解都基本重合，滿足誤差范圍，所以采用近似解替代數值解是有效的。當κ<1時，微凸體材料比基體材料軟，微凸體的變形占主導作用；當κ>1時，隨著微凸體材料硬度的增加，微凸體的形變量減小，基體的形變量增大，此時基體的變形量占主導地位。從上述結果可知，表面涂層較硬時，基體的變形對接觸行為的影響很大。

圖3 微凸體形變量數值解與近似解的對比Fig.3 Comparisons of single asperity deformation with applied displacement between the numerical solution and approximate solution

基于Weierstrass-Mandelbrot函數(W-M函數)粗糙表面的表面輪廓[17]可以表征為

(14)

其中：z(x)為隨機表面輪廓高度；L為試樣取樣長度；D為分形維數(1

根據式(14)可得單個微凸體產生的變形為基波波峰與波谷之間的距離

δ=2(4-1.5D)G(D-1)(lnγ)0.5π(0.5D-1)a(1-0.5D)

(15)

此時微凸體的實際變形量可表示為

(16)

其中：

由文獻[15]可知，微凸體高度可以設為實際位移的3倍，即

ha=3δ=

3×2(4-1.5D)G(D-1)(lnγ)0.5π(0.5D-1)a(1-0.5D)

(17)

根據式(14)微凸體的曲率半徑可以表示為

(18)

因此，單個微凸體彈性接觸載荷為

(19)

研究表明，微凸體的接觸變形存在彈性變形和塑性變形。其中微凸體的臨界屈服變形[5]為

(20)

其中：H為較軟材料的硬度；E′為等效彈性模量；K為較軟材料的硬度系數，K=0.464+0.41υa。

當δ=δe時，臨界屈服接觸面積為

(21)

在完全塑性變形階段，微凸體的塑性接觸載荷[17]可以表示為

fp=λσya

(22)

1.2 結合面固體表面的法向載荷與剛度

微凸體的接觸面積分布函數n(a)與最大接觸面積al之間的關系[17]為

(23)

因此，結合面產生的法向載荷可以表示為

(24)

同樣地，聯立式(21)和式(23)可得結合面的接觸面積為

(25)

由于產生彈性變形的微凸體儲存彈性應變能，所以結合面固體表面法向接觸剛度可以用彈性應變能表示，聯立式(3)、式(21)和式(23)，得到考慮基體變形的結合面固體法向接觸剛度為

(26)

1.3 液體介質的接觸剛度

混合潤滑狀態(tài)下，潤滑介質填充于兩粗糙表面間，此時結合面的接觸剛度由固體部分和液體部分組成。假設微凸體的平均高度平面與剛性平面之間的空間充滿潤滑油，當液體潤滑層中介質很薄時，液體質量可以忽略，此時，液體潤滑層可以通過一系列輕質彈簧來替代，如圖4所示。

圖4 固-液-固接觸示意圖Fig.4 Schematic diagram of body-lubricant-body contact model

此時液體介質接觸剛度[13]可以表示為

KL=ρc2/h

(27)

其中：h為液體介質的等效厚度；c為縱波在介質中的傳播速度；ρ為介質的密度。

潤滑材料的聲學特性如表1所示。為了簡化計算，將油膜的厚度[13]等效為

表1 潤滑材料的聲學特性

(28)

其中：d0為光滑剛性平面與微凸體平均高度平面之間的初始距離，d0=3σ，σ為等效粗糙表面微凸體高度的均方差；Δd為粗糙表面的等效彈性變形量；KS為固體表面的彈性接觸剛度。

聯立式(27)和式(28)得液體介質的接觸剛度為

(29)

根據式(26)和(29)式得結合面的總接觸剛度為

K=KS+KL=

(30)

2 表面形貌參數確定

根據Majumdar等[18]的研究，結合面的表面形貌具有分形特征，采用結構函數法將表面輪廓曲線視為一個時間序列，則具有分形特征的時間序列能使其采樣數據的結構函數滿足

S(τ)=αG(2D-1)τ(4-2D)

(31)

其中

(32)

其中：Γ表示第2類歐拉積分；τ為粗糙表面測量儀器的最小采樣間距。

對式(31)兩端取對數得

lgS(τ)=lgα+(2D-1)lgG+(4-2D)lgτ

(33)

由此，可以通過雙對數坐標系中直線的斜率和截距求解粗糙輪廓的分形維數D與特征尺度系數G。假設直線的斜率為C，截距為b，則

(34)

選用3組測量試樣，結合面的名義接觸面積為An=0.01 m2，材料為20CrMo，表面通過銑削加工，利用Talysurf表面輪廓儀測量表面形貌，放大倍率為1 000倍。選用測定微凸體高度標準偏差分別為0.72，2.68和5.63 μm的試樣，根據式(34)可求得分形維數D和分形粗糙度系數G的參數值見表2。

表2 不同粗糙度下的D與G值

Tab.2 Fractal parameters values in different surfaceroughness

σ/μmDG/m0.721.521×10-112.681.461×10-115.631.465×10-11

3 模型驗證與結果分析

3.1 模型驗證

為了驗證第1節(jié)所建模型的正確性，將模型計算的剛度值與Gonzalez-Valadez等[13]采用超聲反射系數獲得的潤滑界面剛度值進行對比。試驗選用的材料為40CrNiMoA(EN24)，其中潤滑劑為油，測試試樣的表面粗糙度Ra=3.90 μm，其他參數如表1所示。式(26)和式(29)獲得的剛度值與試驗數據的對比如圖5所示。由圖可知，無論固體接觸剛度還是液體介質接觸剛度，模型所得結果都與參考試驗結果一致，說明筆者提出的模型可以有效地預測混合潤滑狀態(tài)下結合面的接觸特性。

圖5 新模型計算結果與試驗結果對比Fig.5 Comparison of the new model results and experimental results

3.2 基體變形對結合面的影響

當粗糙表面含有硬質涂層時，基體對結合面接觸特性的影響不可忽略，通過傳統(tǒng)接觸模型分析的結果會產生偏差。圖6為法向載荷隨真實接觸面積的變化規(guī)律，橫坐標為真實接觸面積與名義接觸面積的比值(無量綱參數)，結合面分形參數取D=1.52，G=1×10-11m。由圖6(a)可知，當真實接觸面積一定時，通過新模型計算的法向載荷明顯低于不考慮基體變形的模型。此外，涂有不同硬度的材料時，結合面的法向載荷隨真實接觸面積的變化規(guī)律如圖6(b)所示。圖中有3組曲線，分別為κ=0.1，κ=1，κ=10，κ表示微凸體材料與基體材料復合彈性模量的比值。從圖中可以看出，當真實接觸面積一定時，法向載荷隨著κ值的增加而增加。

圖6 法向載荷隨真實接觸面積的變化規(guī)律Fig.6 Variation of normal load with real contact area

大部分微凸體的球形區(qū)域被認為包含在基體中，所以式(3)和式(7)中包括了基體接觸變形的影響。因此當微凸體和基體材料相同時，即κ=1，新模型計算的接觸變形量將高于實際接觸變形量。為了得到一個確切的接觸剛度解，需對式(3)進行修改，排除其中基體對微凸體剛度的影響。然而，當微凸體材料比基體材料硬時，較軟基體的接觸變形在整個接觸過程中占主導地位，因此式(3)使用Hertz解的影響將會很小，最終導致的誤差可以忽略。

3.3 不同表面形貌對結合面的影響

不同表面形貌時結合面的法向載荷和法向接觸剛度-真實接觸面積關系曲線如圖7所示。選取σ分別為0.72，2.68和5.63 μm的3組試樣進行對比分析，σ越大表面越粗糙。圖7(a)為不同表面形貌下結合面的法向載荷隨真實接觸面積的變化規(guī)律，由圖可知，法向載荷隨真實接觸面積的增加而增加，當真實接觸面積一定時，表面越光滑所需的法向載荷越小。同樣地，圖7(b)為不同表面形貌下結合面法向接觸剛度隨真實接觸面積的變化規(guī)律，與圖7(a)相反，當真實接觸面積一定時，表面越光滑結合面的接觸剛度越大。這是由于表面越光滑，單位面積上微凸體個數越多，單個微凸體承受的法向載荷越小，單位變形的法向載荷越大。

圖7 不同表面形貌時載荷和剛度隨真實接觸面積的變化曲線Fig.7 Relationship between load and stiffness and real contact area with different surface topography

圖8 不同潤滑介質時剛度隨真實接觸面積的變化曲線Fig.8 Relationship between stiffness and real contact area for different lubricant

3.4 不同潤滑介質對結合面的影響

混合潤滑狀態(tài)下，結合面的接觸剛度等效為液體介質的接觸剛度和固體表面的彈性接觸剛度。圖8為不同潤滑介質時剛度隨真實接觸面積的變化曲線。圖8(a)表示潤滑劑為油時結合面的接觸剛度隨真實接觸面積的變化規(guī)律，其中：圓圈表示液體油膜的接觸剛度；三角形表示固體表面的彈性接觸剛度；正方形表示結合面的總接觸剛度。從圖中可以發(fā)現，當真實接觸面積較小時，液體油膜的接觸剛度遠大于固體表面的接觸剛度，此時液體油膜的剛度占主導作用。隨著真實接觸面積的增加，液體油膜剛度緩慢增加但固體表面的接觸剛度遞增速率明顯大于液體油膜接觸剛度，液體油膜剛度占總剛度的比率逐漸降低(表面越光滑減小的越快)，最后轉變?yōu)楣腆w的接觸剛度主導結合面的接觸剛度,如圖9所示。

圖9 不同表面形貌時液體介質剛度的占比情況Fig.9 The proportion of lubricat stiffness in different surface topography

圖8(b)為干摩擦結合面的接觸剛度隨真實接觸面積的變化規(guī)律，潤滑劑默認為空氣。由圖可知，圓圈表示空氣的接觸剛度，幾乎趨近于零；三角形表示固體表面的彈性接觸剛度，與正方形表示的結合面總接觸剛度基本重合。這說明該模型同樣適用于干摩擦情況下結合面的接觸特性研究。

4 結 論

1) 當粗糙表面含有硬涂層時，基體的接觸變形不可忽略，通過傳統(tǒng)接觸模型分析的結果會產生偏差。當真實接觸面積一定時，通過新模型計算的法向載荷明顯低于不考慮基體變形的模型，且粗糙表面的法向載荷隨著涂層硬度的增加而增加。

2) 隨著表面粗糙度的增加，單位面積上微凸體個數減少，單個微凸體承受的法向載荷增加，單位變形的法向載荷(剛度)減小，即當真實接觸面積一定時，結合面的法向載荷隨著表面粗糙度的增加而增加，而法向接觸剛度隨著表面粗糙度的增加而減少。

3) 混合潤滑狀態(tài)下結合面的接觸剛度由固體表面的接觸剛度和液體介質的接觸剛度組成。在接觸前期結合面的接觸剛度主要由液體介質接觸剛度主導，隨著真實接觸面積的增加液體接觸剛度占總剛度的比率越來越小，最后轉變?yōu)楣腆w接觸剛度主導結合面的接觸剛度。