李建玲，彭 勃，李 輝，李慶偉，沈宇洲，姜 鵬，羅 斌

(1.中國科學(xué)院國家天文臺(tái)，北京100101；2.中國科學(xué)院FAST重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100101；3.中國科學(xué)院大學(xué)，北京100049；4.東南大學(xué)土木工程學(xué)院，江蘇南京 210096)

500 m口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡(Five-hundred-meter Aperture Spherical radio Telescope，F(xiàn)AST)隸屬于國家“十一五”重大科技基礎(chǔ)設(shè)施項(xiàng)目。利用貴州省平塘縣喀斯特地形作為臺(tái)址，建造世界上最大單口徑射電望遠(yuǎn)鏡[1-4]。其反射面采取主動(dòng)變位的獨(dú)特工作方式，即主動(dòng)反射面技術(shù)，根據(jù)觀測(cè)目標(biāo)的不同方向，在500 m口徑反射面不同位置，形成300 m照明口徑拋物面[5-8]。

500 m口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡索網(wǎng)形狀為口徑500 m的球面或300 m的拋物面[9]，有效口徑300 m[10-12]。實(shí)現(xiàn)反射面的主動(dòng)變位特性，500 m口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡采用柔性索網(wǎng)作為反射面的支撐結(jié)構(gòu)，共包括6 670根主索單元及2 225個(gè)主索節(jié)點(diǎn)[13]。每個(gè)主索節(jié)點(diǎn)通過下拉索與促動(dòng)器連接，通過控制促動(dòng)器實(shí)現(xiàn)索網(wǎng)主動(dòng)變位，形成拋物面或球面。500 m口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡主動(dòng)反射面系統(tǒng)主要由圈梁、索網(wǎng)、反射面單元、下拉索、促動(dòng)器等組成[14]，圈梁、索網(wǎng)總體結(jié)構(gòu)示意如圖1所示。整個(gè)反射面系統(tǒng)是一個(gè)柔性索網(wǎng)+剛性反射面面板的組成結(jié)構(gòu)，反射面單元通過專用連接機(jī)構(gòu)與主索節(jié)點(diǎn)連接，鋪設(shè)在索網(wǎng)上，通過控制促動(dòng)器調(diào)節(jié)主索節(jié)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)反射面主動(dòng)變位。

變位過程中，反射面單元碰撞分析研究是其運(yùn)行工作的一項(xiàng)重要內(nèi)容。在此碰撞主要指在某些運(yùn)行情況下，索網(wǎng)之上與索網(wǎng)連接的相鄰兩個(gè)或多個(gè)反射面單元發(fā)生接觸并相碰，對(duì)望遠(yuǎn)鏡索網(wǎng)變位產(chǎn)生隱患的情況。由于500 m口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡反射面系統(tǒng)組成單元數(shù)量龐大，實(shí)際變位過程中多種因素耦合作用，加之現(xiàn)場(chǎng)環(huán)境、促動(dòng)器故障等影響，實(shí)際可能發(fā)生的組合效應(yīng)很難預(yù)知。出于對(duì)望遠(yuǎn)鏡運(yùn)行整體穩(wěn)定性的考慮，需對(duì)變位中反射面單元碰撞問題進(jìn)行進(jìn)一步分析研究。

圖1 500 m口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡圈梁、索網(wǎng)總體結(jié)構(gòu)示意圖

1 反射面單元碰撞分析

基于索網(wǎng)與反射面單元的結(jié)構(gòu)關(guān)系，探討反射面單元之間發(fā)生碰撞的主要因素。在某些變位情況下，主索節(jié)點(diǎn)受力產(chǎn)生相對(duì)位移，與之相關(guān)的主索單元承受應(yīng)力變化，主索單元長度隨之變化，由這些主索單元和主索節(jié)點(diǎn)形成的索網(wǎng)空間發(fā)生變化，使索網(wǎng)之上與索網(wǎng)相連的相鄰三角形反射面單元之間的間距發(fā)生變化，從而可能引起反射面單元之間的接觸相碰。

變位中主索節(jié)點(diǎn)受力能夠反映在相關(guān)主索單元所受的應(yīng)力變化上；同時(shí)，與索網(wǎng)相連的反射面單元連接機(jī)構(gòu)的位移也在一定約束范圍內(nèi)?？梢栽诜瓷涿鎲卧l(fā)生可能碰撞情況下，將主索單元的應(yīng)力變化值作為限值，進(jìn)行碰撞分析，得出一種索網(wǎng)變位中判斷反射面單元碰撞的方法。從這一角度出發(fā)，筆者對(duì)單個(gè)三角形反射面單元及相關(guān)主索單元進(jìn)行變位前后分析研究。

1.1 反射面單元連接機(jī)構(gòu)與連接關(guān)系

500 m口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡反射面由4 450塊反射面單元鋪設(shè)而成，每塊三角形反射面單元通過三個(gè)頂點(diǎn)上的自適應(yīng)專用連接機(jī)構(gòu)與索網(wǎng)連接。整體反射面除與圈梁連接的反射面單元外，其余為三角形。由鋁合金結(jié)構(gòu)背架、穿孔鋁板以及連接機(jī)構(gòu)等組成。索網(wǎng)變位過程中，索網(wǎng)節(jié)點(diǎn)之間會(huì)有相對(duì)位移，剛性三角形反射面單元的三個(gè)頂點(diǎn)位置則相對(duì)固定[15]。

反射面單元連接機(jī)構(gòu)自由度設(shè)計(jì)如圖2所示。三角形反射面單元通過三個(gè)連接機(jī)構(gòu)(“0”、“1”、“2”)與主索節(jié)點(diǎn)相連，三個(gè)連接機(jī)構(gòu)均為鉸接，完全釋放轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。連接機(jī)構(gòu)“0”約束節(jié)點(diǎn)的三個(gè)平動(dòng)自由度(Ux=Uy=Uz=0)，連接機(jī)構(gòu)“1”釋放節(jié)點(diǎn)沿連接桿軸向的平動(dòng)自由度(Uy=Uz=0)，而連接機(jī)構(gòu)“2”釋放反射面單元平面內(nèi)的兩個(gè)平動(dòng)自由度(Uz=0)，在此約束條件下，假定與反射面單元連接的主索節(jié)點(diǎn)固定不動(dòng)，則單個(gè)反射面單元為靜定結(jié)構(gòu)[15]。其中連接機(jī)構(gòu)“1”沿連接桿軸向的平動(dòng)范圍約為±50 mm。反射面單元與主索節(jié)點(diǎn)連接方式如圖3所示，三角形反射面單元三個(gè)頂點(diǎn)處各有一切邊。

圖2 反射面單元連接機(jī)構(gòu)自由度設(shè)計(jì)

圖3 反射面單元與主索節(jié)點(diǎn)連接方式

根據(jù)幾何拓?fù)潢P(guān)系，對(duì)于大多數(shù)不在索網(wǎng)邊緣的主索節(jié)點(diǎn)，有6個(gè)反射面單元與之關(guān)聯(lián)，反射面單元連接機(jī)構(gòu)布置在剛性圓盤上，與主索節(jié)點(diǎn)相連接，也就是有6個(gè)連接機(jī)構(gòu)放置在同一個(gè)主索節(jié)點(diǎn)盤上部的剛性圓盤上。由于連接機(jī)構(gòu)“1”和“2”釋放了相應(yīng)的平動(dòng)自由度，兩個(gè)“1”或兩個(gè)“2”相鄰布置容易出現(xiàn)干涉等，“0”、“1”、“2”號(hào)連接機(jī)構(gòu)間隔布置的形式被采納[15]，反射面單元連接關(guān)系如圖4所示。連接機(jī)構(gòu)布置示意如圖5所示。

圖4 反射面單元連接關(guān)系

圖5 連接機(jī)構(gòu)布置示意圖

1.2 基本假定與分析

單個(gè)反射面單元與主索單元在變位前及設(shè)定變位后的關(guān)系示意如圖6所示。內(nèi)三角形表示反射面單元，a、b、c分別表示從三角形頂點(diǎn)處計(jì)算的反射面單元各邊長。外三角形表示主索單元，A、B、C分別表示三根主索單元的長度。

變位前基準(zhǔn)態(tài)如圖6(a)所示，對(duì)于單個(gè)三角形反射面單元，圖中L表示此時(shí)與連接機(jī)構(gòu)“0”對(duì)應(yīng)的主索節(jié)點(diǎn)編號(hào)，L0表示與連接機(jī)構(gòu)“0”對(duì)應(yīng)的反射面單元三角形頂點(diǎn)處編號(hào)，變位后相應(yīng)的點(diǎn)分別用L′和L0′表示。同理，用M、M1和N、N2分別表示與連接機(jī)構(gòu)“1”和“2”對(duì)應(yīng)的主索節(jié)點(diǎn)及反射面單元三角形頂點(diǎn)處編號(hào)，變位后相應(yīng)的點(diǎn)分別用M′、M1′和N′、N2′表示。

d0、d1、d2分別表示與連接機(jī)構(gòu)“0”、“1”、“2”對(duì)應(yīng)的反射面單元三角形三個(gè)頂點(diǎn)與主索節(jié)點(diǎn)中心投影在反射面平面內(nèi)節(jié)點(diǎn)的連線長度。球面基準(zhǔn)態(tài)下，d0、d1、d2分別位于其相鄰兩主索夾角的平分線(平分角如圖分別為：∠α/2、∠β/2、∠γ/2)在節(jié)點(diǎn)盤平面內(nèi)的投影方向上。

圖6 反射面單元與主索單元變位前及設(shè)定變位后關(guān)系示意圖

設(shè)定變位，如圖6(b)所示，以與連接機(jī)構(gòu)“2”對(duì)應(yīng)的反射面單元頂角切邊的中點(diǎn)為圓心做圓，設(shè)定變位后，與連接機(jī)構(gòu)“2”對(duì)應(yīng)的主索節(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的兩根主索單元分別與此圓相切，留有冗余，此時(shí)反射面單元與主索單元在反射面平面內(nèi)的投影處于可能接觸狀態(tài)。若反射面單元越過主索，則可能出現(xiàn)反射面單元相碰風(fēng)險(xiǎn)。在此時(shí)的設(shè)定情況下進(jìn)行反射面單元的碰撞分析。

為簡(jiǎn)化分析計(jì)算求解過程，忽略影響較小的因素，做出如下假定：

①反射面單元?jiǎng)偠容^大，不考慮其彈性變形；

②主索節(jié)點(diǎn)盤盤面基本朝向索網(wǎng)球面法線方向，在運(yùn)行過程中偏轉(zhuǎn)幅度很小，不考慮主索節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)位移；

③結(jié)構(gòu)中，連接機(jī)構(gòu)軸向?yàn)橄噜弮芍魉鲓A角的平分線在節(jié)點(diǎn)盤平面內(nèi)的投影方向，由于主索節(jié)點(diǎn)盤在實(shí)際運(yùn)行過程中偏轉(zhuǎn)幅度不大，可以認(rèn)為變位后“0”、“1”號(hào)連接機(jī)構(gòu)也位于其夾角平分線上[15]，則上述與“0”、“1”號(hào)連接機(jī)構(gòu)對(duì)應(yīng)的d0、d1在變位后也位于其夾角平分線上。

1.3 碰撞模型基本公式

索網(wǎng)作為反射面單元的支撐結(jié)構(gòu)，根據(jù)索網(wǎng)與反射面單元的構(gòu)成關(guān)系，球面基準(zhǔn)理論狀態(tài)時(shí)，可以認(rèn)為反射面單元三角形與其關(guān)聯(lián)的主索單元各對(duì)應(yīng)邊基本平行，且兩者所在平面基本平行。如圖6(a)，可以得出球面基準(zhǔn)態(tài)時(shí)，從三角形反射面單元頂點(diǎn)處計(jì)算得出的邊長a、b、c與相鄰主索單元長度A、B、C的關(guān)系如下：

(1)

變位時(shí)，連接機(jī)構(gòu)“1”發(fā)生沿連接桿軸向位移。如上所述，連接機(jī)構(gòu)軸向?yàn)橄噜弮芍魉鲓A角的平分線在節(jié)點(diǎn)盤平面內(nèi)的投影方向，故連接機(jī)構(gòu)“1”軸向位移量可以體現(xiàn)在與其對(duì)應(yīng)的d1值變化上。剛性反射面單元的邊長a、b、c在變位前后不變，以與連接機(jī)構(gòu)“0”對(duì)應(yīng)的主索節(jié)點(diǎn)L′為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系統(tǒng)。

在此坐標(biāo)系下，如圖6(b)所示，進(jìn)行反射面單元與主索單元在設(shè)定變位后的分析計(jì)算。隨著連接機(jī)構(gòu)的軸向位移，與連接機(jī)構(gòu)“1”相對(duì)應(yīng)的d1也發(fā)生變化。記設(shè)定變位后主索單元的長度分別為A1、B1、C1，則依據(jù)設(shè)定變位后各主索節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)，可計(jì)算得出各主索單元的長度，此時(shí)可知

a2=(A1-d0cos(α/2)-d1cos(β/2))2+(d0sin(α/2)-d1sin(β/2))2，

(2)

可得A1，則M′點(diǎn)的坐標(biāo)為

(3)

則依據(jù)∠α/2，∠β/2，可得M′1的坐標(biāo)；依據(jù)a、b、c及M1′的坐標(biāo)，可求得∠1，∠2以及∠3，c不變，可得N2′的坐標(biāo)。

如圖6(b)所示，n2′為與2號(hào)連接機(jī)構(gòu)對(duì)應(yīng)的反射面單元三角形頂角切邊的中點(diǎn)，可求出∠4，則依據(jù)∠3、∠4 、N2′點(diǎn)的坐標(biāo)以及N2′到n2′的連線長度m，可得n2′坐標(biāo)

(4)

以n2′為圓心做圓，此時(shí)計(jì)算主索單元L′-N′、M′-N′與圓相切，可得主索單元L′-N′在當(dāng)前坐標(biāo)系下的斜率kL’-N’，則反射面單元與主索單元在反射面平面內(nèi)的投影可能接觸。另取M′點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，橫、縱坐標(biāo)方向不變，可得主索單元M′-N′在此坐標(biāo)系下與圓相切的斜率kM’-N’，兩根主索單元相交于N′點(diǎn)，則N′點(diǎn)在原坐標(biāo)系下的坐標(biāo)

(5)

依據(jù)設(shè)定變位后L′、M′以及N′的坐標(biāo)，可分別得出主索單元A1、B1、C1的長度分別為

(6)

則可以分別得出不同d1值在變位后對(duì)應(yīng)的三根主索單元的長度變化量ΔA=A1-A,ΔB=B1-B，ΔC=C1-C，同時(shí)可以求出三根主索單元與基準(zhǔn)態(tài)比較的應(yīng)力變化值為

(7)

其中，E為每根主索單元材料的彈性模量。

2 碰撞判別準(zhǔn)則

基于索網(wǎng)與反射面單元的結(jié)構(gòu)關(guān)系以及合理假定，若反射面單元越過主索在反射面平面內(nèi)有投影，則可能出現(xiàn)相碰風(fēng)險(xiǎn)。另外，考慮長期循環(huán)往復(fù)變位對(duì)主索應(yīng)力以及索網(wǎng)疲勞的影響，上述設(shè)定變位后，計(jì)算出的每組主索單元應(yīng)力值需滿足

(8)

同時(shí)還需滿足

(9)

其中，σA、σB、σC分別為主索單元的應(yīng)力值，σA=ΔσA+σA0，為變位后應(yīng)力變化值ΔσA與球面基準(zhǔn)態(tài)時(shí)的預(yù)應(yīng)力值σA0之和。σmax為正常變位主索應(yīng)力的最大限值，主索材料的抗拉強(qiáng)度約為1 860 MPa[16],取冗余系數(shù)為2.5，則主索應(yīng)力最大限值約為744 MPa；Δ為正常變位疲勞應(yīng)力幅最大限值，約為500 MPa[17]。

另外，索網(wǎng)在500 m口徑范圍內(nèi)連續(xù)變位，選取該范圍內(nèi)的550個(gè)主索節(jié)點(diǎn)作為拋物面中心軌跡，可以在足夠精度下，得到主索應(yīng)力變化歷程[17]，進(jìn)而得到變化歷程中每根主索最大應(yīng)力值σAmax、σBmax、σCmax。同時(shí)，每根主索最大應(yīng)力值與最小應(yīng)力值的差值小于應(yīng)力幅最大限值Δ，故σAmax-Δ到σAmax涵蓋了當(dāng)前主索單元變化歷程的最小應(yīng)力值到最大應(yīng)力值的范圍。

若上述設(shè)定變位后計(jì)算的每一組σA、σB、σC同時(shí)滿足上述條件，則反射面單元存在相碰可能，將其作為碰撞判別準(zhǔn)則。每根主索單元在基準(zhǔn)態(tài)下的預(yù)應(yīng)力值可通過計(jì)算求出。

3 算例與討論

圖7 1/5區(qū)域(A區(qū))主索單元及主索節(jié)點(diǎn)布置示意圖

500 m口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡主索及反射面單元布置分為A～E五個(gè)區(qū)，且滿足1/5旋轉(zhuǎn)對(duì)稱。A～E區(qū)的主索節(jié)點(diǎn)號(hào)采用“各區(qū)域字母+節(jié)點(diǎn)位置編號(hào)”的方式編制。由于其對(duì)稱性，選取1/5區(qū)域(A區(qū))，其主索單元及主索節(jié)點(diǎn)布置示意如圖7所示。根據(jù)主索及反射面單元布置形式，選取一典型位置的主索單元以及對(duì)應(yīng)的反射面單元進(jìn)行計(jì)算，圖中標(biāo)出了算例對(duì)應(yīng)的主索單元及反射面單元。

參照1.3節(jié)表示方式，計(jì)算得出設(shè)定變位后，對(duì)應(yīng)于反射面單元的主索單元應(yīng)力值。由于實(shí)際上每塊反射面單元及相應(yīng)主索單元的具體尺寸與長度不完全相同，故對(duì)于不同尺寸的反射面單元及主索單元需單獨(dú)再進(jìn)行計(jì)算。

圖8 設(shè)定變位條件下算例計(jì)算的主索單元應(yīng)力值

基準(zhǔn)態(tài)時(shí)，算例中主索單元三邊的長度分別約為11 825.2 mm、11 795.2 mm、12 373.6 mm，取d1的初始值約為60 mm。前述設(shè)定變位后主索單元應(yīng)力值表示為σA、σΒ、σC。設(shè)定變位條件下算例計(jì)算的主索單元應(yīng)力值如圖8所示。其中σA=ΔσA+σA0,即主索單元A的應(yīng)力值σA為設(shè)定變位后計(jì)算出的應(yīng)力變化值ΔσA與基準(zhǔn)態(tài)時(shí)的預(yù)應(yīng)力值σA0之和，主索B、C同理?；鶞?zhǔn)態(tài)時(shí)，算例中主索單元A、B、C的預(yù)應(yīng)力值分別約為555 MPa、552 MPa、550 MPa。需將同一對(duì)應(yīng)條件下三根主索單元應(yīng)力值σA、σB、σC作為一組情況進(jìn)行分析。

對(duì)算例結(jié)果進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)，對(duì)應(yīng)于同一個(gè)反射面單元的三根主索單元計(jì)算出的應(yīng)力值中，有的主索單元的應(yīng)力值小于零。由于主索在正常過程中僅受拉不受壓，故應(yīng)力值小于零的情況一般不會(huì)出現(xiàn)，且應(yīng)力值不處于主索應(yīng)力變化歷程中應(yīng)力值范圍之內(nèi)，不滿足2節(jié)的條件。基于上述條件的計(jì)算方法可作為用于分析反射面單元碰撞的一種方法。

4 結(jié)束語

500 m口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡索網(wǎng)變位過程中，與索網(wǎng)相連的反射面單元的變位是必須考慮的因素?；?00 m口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡索網(wǎng)與反射面單元結(jié)構(gòu)關(guān)系，從構(gòu)成索網(wǎng)的主索單元變位前后應(yīng)力的角度來分析反射面單元的碰撞，并從整體反射面系統(tǒng)中提取單個(gè)三角形反射面單元及對(duì)應(yīng)主索單元，進(jìn)行了分析和計(jì)算，同時(shí)提供了算例。總結(jié)如下：

(1)對(duì)于文中設(shè)定條件下反射面單元算例，基于上述假定及近似計(jì)算方法，在主索已有的各安全及疲勞應(yīng)力設(shè)計(jì)限值下，正常變位中(不包括促動(dòng)器故障或失控、連接機(jī)構(gòu)異常、主索及下拉索材料性能參數(shù)變化、反射面控制問題或控制異常等)，沒有出現(xiàn)碰撞風(fēng)險(xiǎn)。

(2)提出了索網(wǎng)變位中，通過計(jì)算主索應(yīng)力實(shí)現(xiàn)對(duì)反射面單元碰撞問題分析的方法，為變位整體運(yùn)行提供冗余保障。

(3)提供了反射面單元在可能出現(xiàn)相碰風(fēng)險(xiǎn)的設(shè)定條件下主索應(yīng)力的近似計(jì)算方法。