彭一鳴 薛煜 肖光宗 于濤 謝文科? 夏輝 劉爽 陳欣 陳芳琳 孫學(xué)成

1) (中南大學(xué)物理與電子學(xué)院,長沙 410083)

2) (國防科技大學(xué)前沿交叉學(xué)科學(xué)院,長沙 410073)

應(yīng)用螺旋譜分析理論,推導(dǎo)了相干合成渦旋光束螺旋譜分量的位置和大小,數(shù)值分析驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的正確性.基于上述譜分析理論,可將螺旋譜分析結(jié)果作為相干合成渦旋光束質(zhì)量評價(jià)函數(shù)并指導(dǎo)相干合成參數(shù)優(yōu)化.結(jié)果表明： 隨著子光束數(shù)量和束腰半徑的增加、組束環(huán)半徑的減少可提高目標(biāo)合成拓?fù)浜傻哪Ｊ郊兌?同時(shí)獲得高質(zhì)量渦旋光束.這與采用桶中功率等傳統(tǒng)評價(jià)函數(shù)得到的結(jié)論具有一致性.

1 引 言

渦旋光束是在傳播方向上中心強(qiáng)度或軸向強(qiáng)度為零、相位具有螺旋上升或下降梯度分布的環(huán)形光束,又稱暗中空光束[1].與普通高斯光束相比,渦旋光束具有許多優(yōu)點(diǎn),例如自身攜帶軌道角動量、暗中空結(jié)構(gòu)等,這些獨(dú)特性質(zhì)在自由空間光通信[2,3]、光學(xué)微操控[4?6]、量子信息處理[7]、光學(xué)測量[8]、超分辨成像[9]、激光加工和材料處理[10]等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用.近年來隨著人們對渦旋光束研究的深入,高功率渦旋光束的應(yīng)用需求也在不斷增加.在光學(xué)微操控中,需要高功率渦旋光束實(shí)現(xiàn)高驅(qū)動力的微粒操控[11,12];對于自由空間光通信,為實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)距離穩(wěn)定傳輸,提高系統(tǒng)信噪比,需要高功率、高質(zhì)量的渦旋光束[13];在激光加工和材料處理領(lǐng)域,激光消融和表面燒蝕等應(yīng)用也對渦旋光束的功率提出了更高需求[10].

傳統(tǒng)產(chǎn)生渦旋光束的方法有計(jì)算全息法[14]、螺旋相位板法[15]、空間光調(diào)制器法[16]、幾何模式轉(zhuǎn)換法[17,18]等.但是,受衍射效率的限制計(jì)算全息法僅適合低階渦旋光束的產(chǎn)生;空間光調(diào)制器無法處理高功率光束;高質(zhì)量螺旋相位板制作困難;幾何光學(xué)模式轉(zhuǎn)換法對光學(xué)器件的加工制作要求較高,轉(zhuǎn)換系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜且不易控制渦旋的參數(shù).相比之下,相干合成渦旋光束在降低系統(tǒng)成本、提高熱管理效率和靈活光束控制等方面都具有明顯的優(yōu)勢.基于相干合成技術(shù),Yu等[19]和Xie等[20]已經(jīng)實(shí)現(xiàn)高光束質(zhì)量特定渦旋光束的相干合成,且系統(tǒng)架構(gòu)具有向高功率拓展的優(yōu)勢.

在實(shí)際應(yīng)用中,對光束質(zhì)量進(jìn)行有效評價(jià)是非常必要的.針對不同應(yīng)用,人們定義了不同光束質(zhì)量評價(jià)函數(shù),例如聚焦光斑尺寸、遠(yuǎn)場發(fā)散角、斯特列爾比、衍射極限倍數(shù)β因子、光束參數(shù)乘積、桶中功率和M2因子等,也形成了多種檢測方法[21?23].對于相干合成渦旋光束,傳統(tǒng)分析方法主要利用桶中功率、相關(guān)系數(shù)等.但這些評價(jià)函數(shù)均基于強(qiáng)度分布定義,只能對強(qiáng)度分布進(jìn)行評價(jià),而不能反映合成渦旋光束相位特征.

本文應(yīng)用螺旋譜分析理論,對相干合成貝塞爾?高斯(Bessel?Gaussian,BG)渦旋光束進(jìn)行定量譜分析.理論推導(dǎo)了相干合成渦旋光束螺旋譜分量的位置和大小.以目標(biāo)譜分量純度為評價(jià)函數(shù)對合束子光束數(shù)量、子光束束腰半徑、組束環(huán)半徑等參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化,驗(yàn)證了其作為相干合成渦旋光束評價(jià)函數(shù)的可行性,本文對深入理解相干合成渦旋光束的技術(shù)本質(zhì)具有一定參考意義.

2 理論基礎(chǔ)

2.1 渦旋光束譜分析理論

柱坐標(biāo)系下,沿z軸傳輸?shù)臏u旋光束復(fù)振幅表達(dá)式為

其中E0表示振幅,r為軸向距離,?為方位角,z是傳輸距離,l表示拓?fù)浜蓴?shù),k=2π/λ為波數(shù),λ為波長.由于任意z處,kz為常數(shù),所以只考慮螺旋相位項(xiàng) exp(-ilφ).

為了定量分析渦旋光束螺旋相位譜特征,這里引入螺旋諧波分析方法,設(shè)有任意l和l′階螺旋諧波函數(shù)分別為 exp(ilφ) 和 exp(il′φ) ,則

即,螺旋諧波函數(shù)構(gòu)成一組完備正交基.因此,設(shè)任意光場復(fù)振幅w(r,φ,z) 可在諧波函數(shù)exp(ilφ)張成的線性空間進(jìn)行展開,即

拓?fù)浜蓴?shù)為l的諧波與整個(gè)光束能量的比值即為相對功率或第l階模式的純度,其表達(dá)式為

利用上述螺旋譜分析理論可求得相干合成渦旋光束中不同譜分量的相對功率或純度.

2.2 相干合成渦旋光束螺旋譜理論分析

對環(huán)形排列的高斯光束陣列加載離散渦旋相位,相干合成n階BG渦旋光束.源平面高斯光束陣列及相位分布如圖1(a)和圖1(b)所示.具有離散螺旋相位的高斯光束陣列在自由空間的傳播方程為[24]

其中

M是子光束數(shù)量,R是組束環(huán)半徑;為z處光斑半徑,w0是源平面高斯子光束束腰半徑;為z處的曲率半徑;為高斯光束的共焦參數(shù);m=0,1,是第m束子光束中心與x軸的夾角,是第m束子光束額外附加的相位,n是拓?fù)浜蓴?shù),故相鄰子光束間相位相差單位為弧度.

當(dāng)M=12,n=2,R=1.2 mm,w0=0.24 mm時(shí),子光束陣列及相位分布如圖1(a)和圖1(b)所示,根據(jù)(6)和(7)式,計(jì)算z=2 m處與光軸垂直平面內(nèi)的合成光場強(qiáng)度、相位分布如圖1(c)和圖1(d)所示,對比圖1(c)與圖1(e),圖1(d)與圖1(f)可見,(6)和(7)式所示的相干合成渦旋光束是可行的.

結(jié)合譜分析理論,任意z平面處相干合成渦旋光束第l階螺旋諧波振幅為

由(4)式對al(r,z) 積分得l階螺旋諧波能量Cl為

圖1 M=12,n=2,R=1.2 mm,w0=0.24 mm時(shí)的高斯光束陣列 (a)源平面空間分布;(b)源平面相位分布;(c)傳輸2 m后合成渦旋光束強(qiáng)度分布;(d)傳輸2 m后合成渦旋光束相位分布;(e)標(biāo)準(zhǔn)2階BG渦旋光束強(qiáng)度分布;(f)標(biāo)準(zhǔn)2階BG渦旋光束相位分布Fig.1.Gaussian beam array with M=12,n=2,R=1.2 mm,w0=0.24 mm： (a) Source plane spatial distribution;(b) source plane phase distribution;(c) light field distribution of synthetic vortex beam after 2 m transmission;(d) phase distribution of syn?thetic vortex beam after 2 m transmission;(e) light field distribution of standard 2nd order BG vortex beam;(f) phase distribution of standard 2nd order BG vortex beam.

即可計(jì)算出相干合成光束l階諧波的能量占比或模式純度Pl.

為了進(jìn)一步探究相干合成渦旋光束螺旋譜位置,可令

則

將(11)式代入(8)式得

又因?yàn)镸束子光束光場分布完全相同,故合成光場具有周期性,即

根據(jù)(13)式,利用積分換元可將(12)式化簡為

觀察(14)式發(fā)現(xiàn),當(dāng)且僅當(dāng)n-l=α·M(α為任意整數(shù)),即l=n-α·M時(shí),式中

可通過洛必達(dá)法則進(jìn)行等價(jià)無窮小化簡,得出

此時(shí)有al=0 ,即相應(yīng)的螺旋譜分量Pl=0.也就是說,當(dāng)

滿足時(shí),拓?fù)浜蓴?shù)為l的螺旋諧波才會在相干合成渦旋光束中出現(xiàn).這一結(jié)論說明能夠通過子光束數(shù)量M和目標(biāo)合成拓?fù)浜蓴?shù)n來確定相干合成光束非0譜的位置,此結(jié)論是本文的主要理論研究結(jié)果.

2.3 相干合成渦旋光束螺旋譜數(shù)值分析

以M=8 ,n=1 為例,計(jì)算了w0=0.2 mm,R=2.1 mm,λ=632.8 nm時(shí),z=10 m處相干合成渦旋光束的強(qiáng)度和相位分布如圖2(a)和圖2(b)所示.根據(jù)(8)式計(jì)算得到非0譜主成分振幅系數(shù)分別是a-15,a-7,a1,a9和a17,根據(jù)(3)式,將主成分線性疊加后得到z=10 m處重建光場的強(qiáng)度分布和相位分布如圖2(c)和圖2(d)所示.對比圖2(a)與圖2(c),圖2(b)與圖2(d)發(fā)現(xiàn),螺旋諧波疊加光場與原相干合成渦旋光束的強(qiáng)度分布和相位分布幾乎完全一致,這充分驗(yàn)證了譜分析過程的正確性.

根據(jù)(9)式可計(jì)算得到M不同時(shí),目標(biāo)合成拓?fù)浜蒼為1的相干合成渦旋光束螺旋譜分布及大小,如圖3(a)－(c)所示.

圖2 z=10 m處相干合成渦旋光束的(a)強(qiáng)度分布和(b)光束相位分布;螺旋諧波重建的(c)強(qiáng)度分布和(d)相位分布Fig.2.Target plane at z=10 m： (a) Light field distribu?tion of coherent synthetic vortex beam;(b) phase distribu?tion of coherent synthetic vortex beam;(c) light field distri?bution of spiral harmonic reconstruction light field;(d) phase distribution of spiral harmonic reconstruction light field.

圖3(a)中,當(dāng)M為8時(shí),拓?fù)浜蔀?的螺旋諧波相對功率最高,為31.97%,正是相干合成渦旋光束的目標(biāo)拓?fù)浜?根據(jù)譜分析理論,可以預(yù)測合成光束非0譜必然出現(xiàn)在l=1-8α(α為任意整數(shù))等位置處,如l=－15,－7,9,17等主成分純度分別為11.53%,25.69%,22.20%和8.62%;同樣,如圖3(b)所示,當(dāng)M=12時(shí),P1=45.61%,其他非0成分出現(xiàn)在l=1-12α(α為任意整數(shù))等位置處,如l=－23,－11,13,25等主成分純度分別為4.14%,26.38%,21.20%和2.68%;如圖3(c)所示,M=16時(shí)亦是如此.這與相干合成渦旋光束螺旋譜分布公式(16)所預(yù)測的譜成分位置結(jié)論完全一致.

3 目標(biāo)譜純度用于相干合成光束質(zhì)量評價(jià)與參數(shù)優(yōu)化

3.1 基于譜分析理論的相干合成渦旋光束參數(shù)優(yōu)化

3.1.1 子光束數(shù)量M

根據(jù)(7)和(9)式,計(jì)算了n=1,w0=0.2 mm,R=2.1 mm,λ=632.8 nm時(shí),M=8和M=16兩種情況z=10 m處相干合成BG渦旋光束的強(qiáng)度分布、相位分布以及螺旋譜分布,分別如圖4(a)、圖4(c)、圖4(e)和圖4(b)、圖4(d)、圖4(f)所示.M=8和M=16時(shí)拓?fù)浜蒼=1的螺旋諧波相對功率分別為31.97%和60.61%.可見,其他參數(shù)相同時(shí),M越大合成渦旋光束越接近標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)浜蔀?的BG渦旋光束.進(jìn)一步對比發(fā)現(xiàn)：M=16時(shí)合成渦旋光束環(huán)外旁瓣明顯較少,主環(huán)能量更高,光束質(zhì)量更好;同時(shí)合成相位分布中環(huán)上交叉條紋更少,相位分布更加光滑.

圖3 相干合成渦旋光束螺旋譜分布及大小(其中n=1,z=10 m,w0=0.2 mm,R=2.1 mm) (a) M=8;(b) M=12;(c) M=16Fig.3.Coherent synthetic vortex beam spiral spectrum distribution and size (n=1,z=10 m,w0=0.2 mm,R=2.1 mm)： (a) M=8;(b) M=12;(c) M=16.

當(dāng)w0=0.2 mm,R=2.1 mm,z=10 m 時(shí),不同目標(biāo)拓?fù)浜上喔珊铣葿G渦旋光束中心譜純度Pl隨子光束數(shù)量M的變化趨勢如圖5所示.可見,隨著M不斷增大,非目標(biāo)螺旋譜分量逐漸減小至0,目標(biāo)合成拓?fù)浜傻穆菪C波純度不斷增加,趨近100%,合成光束趨近標(biāo)準(zhǔn)BG渦旋光束.

3.1.2 源平面束腰半徑

根據(jù)(7)和(9)式,計(jì)算了n=1,M=12,R=2.1 mm,λ=632.8 nm時(shí)w0=0.15 mm和w0=0.3 mm兩種情況z=10 m處相干合成BG渦旋光束的強(qiáng)度分布、相位分布以及螺旋譜分布,分別如圖6(a)、圖6(c)、圖6(e)和圖6(b)、圖6(d)、圖6(f)所示.w0=0.15 mm和w0=0.3 mm時(shí)拓?fù)浜蒼=1的螺旋諧波相對功率分別為35.12%和67.75%.可見,其他參數(shù)相同時(shí),w0越大合成渦旋光束越接近標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)浜蔀?的BG渦旋光束.進(jìn)一步對比發(fā)現(xiàn)：w0=0.3 mm時(shí)合成渦旋光束環(huán)外旁瓣明顯較少,主環(huán)能量更高,光束質(zhì)量更好;同時(shí)合成相位分布中,環(huán)上交叉條紋更少,相位分布更加光滑.

當(dāng)M=12,R=2.1 mm,z=10 m時(shí),不同目標(biāo)拓?fù)浜上喔珊铣葿G渦旋光束中心譜純度Pl隨子光束束腰半徑w0的變化趨勢如圖7所示.可見,隨著w0不斷增大,非目標(biāo)拓?fù)浜陕菪V分量逐漸減小至0,目標(biāo)合成拓?fù)浜傻穆菪C波純度不斷增加,趨近100%,合成光束趨近標(biāo)準(zhǔn)BG渦旋光束.

3.1.3 組束環(huán)半徑

根據(jù)(7)和(9)式,計(jì)算了n=1,M=12,w0=0.2 mm,λ=632.8 nm時(shí),R=1 mm和R=2.2 mm兩種情況z=10 m處相干合成BG渦旋光束的強(qiáng)度分布、相位分布以及螺旋譜分布,分別如圖8(a)、圖8(c)、圖8(e)和圖8(b)、圖8(d)、圖8(f)所示.R=1 mm和R=2.2 mm時(shí)拓?fù)浜蒼=1的螺旋諧波相對功率分別為88.92%和43.62%.可見,其他參數(shù)相同時(shí),R越小合成渦旋光束越接近標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)浜蔀?的BG渦旋光束.進(jìn)一步對比發(fā)現(xiàn)：R=1 mm時(shí)合成渦旋光束環(huán)外旁瓣明顯較少,主環(huán)能量更高,光束質(zhì)量更好;同時(shí)合成相位分布中環(huán)上交叉條紋更少,相位分布更加光滑.

圖4 相干合成BG渦旋光束(n=1,z=10 m,w0=0.2 mm,R=2.1 mm) (a) M=8時(shí)強(qiáng)度分布;(b) M=16時(shí)強(qiáng)度分布;(c) M=8時(shí)相位分布;(d) M=16時(shí)相位分布;(e) M=8時(shí)螺旋譜分布;(f) M=16時(shí)螺旋譜分布Fig.4.Coherently synthesized BG vortex beam (n=1,z=10 m,w0=0.2 mm,R=2.1 mm)： (a) M=8,light intensity distribu?tion;(b) M=16,light intensity distribution;(c) M=8,phase distribution;(d) M=16,phase distribution;(e) M=8,spiral distri?bution;(f) M=16,spiral distribution.

圖5 不同階合成渦旋光束拓?fù)浜赡Ｊ郊兌萈l隨子光束數(shù)量M的變化趨勢(w0=0.2 mm,R=2.1 mm,z=10 m)Fig.5.Variation trend of the spectral purity Pl of the dif?ferent order synthetic vortex beams with the number of sub?beams M (w0=0.2 mm,R=2.1 mm,z=10 m).

當(dāng)M=12,w0=0.2 mm,z=10 m時(shí),不同目標(biāo)拓?fù)浜上喔珊铣葿G渦旋光束中心譜純度Pl隨組束環(huán)半徑R的變化趨勢如圖9所示.由圖9可見,隨著R不斷增大,非目標(biāo)拓?fù)浜陕菪V分量逐漸增大,目標(biāo)合成拓?fù)浜傻穆菪C波純度不斷減小,趨近0,更難相干合成標(biāo)準(zhǔn)BG渦旋光束.

圖6 相干合成BG渦旋光束(n=1,z=10 m,M=12,R=2.1 mm) (a) w0=0.15 mm時(shí)強(qiáng)度分布;(b) w0=0.3 mm時(shí)強(qiáng)度分布;(c) w0=0.15 mm時(shí)相位分布;(d) w0=0.3 mm時(shí)相位分布;(e) w0=0.15 mm時(shí)螺旋譜分布;(f) w0=0.3 mm時(shí)螺旋譜分布Fig.6.Coherently synthesized BG vortex beam (n=1,z=10 m,M=12,R=2.1 mm)： (a) w0=0.15 mm,light intensity distri?bution;(b) w0=0.3 mm,light intensity distribution;(c) w0=0.15 mm,phase distribution;(d) w0=0.3 mm,phase distribution;(e) w0=0.15 mm,spiral distribution;(f) w0=0.3 mm,spiral distribution.

圖7 不同階合成渦旋光束拓?fù)浜赡Ｊ郊兌萈l隨子光束束腰半徑w0的變化(M=12,R=2.1 mm,z=10 m)Fig.7.Variation trend of the spectral purity Pl of the dif?ferent order synthetic vortex beams with sub beam waist radius w0 (M=12,R=2.1 mm,z=10 m).

3.2 基于譜分析理論的相干合成渦旋光束質(zhì)量評價(jià)

基于上文對相干合成參數(shù)M,w0,R的討論,我們發(fā)現(xiàn)合成光束螺旋譜分量的位置和大小直觀影響了相干合成渦旋光束的光束質(zhì)量和螺旋相位的合成效果.目標(biāo)合成拓?fù)浜傻哪Ｊ郊兌萈l越高,合成光束的環(huán)外旁瓣就會越少,主環(huán)能量更高,相位分布更光滑,光束質(zhì)量更好,更接近連續(xù)渦旋相位的標(biāo)準(zhǔn)BG渦旋光束.這與采用傳統(tǒng)評價(jià)函數(shù)桶中功率等作為評價(jià)函數(shù)優(yōu)化的結(jié)論具有一致性.因此基于譜分析理論,我們可以通過計(jì)算相干合成渦旋光束目標(biāo)拓?fù)浜傻哪Ｊ郊兌葋矶吭u價(jià)渦旋光束質(zhì)量.與此同時(shí),綜合M,w0,R三個(gè)參數(shù)考慮,可通過占空比Q表示光束陣列圓形排布的緊密程度,其中調(diào)節(jié)M,w0,R的大小改變Q值,進(jìn)而調(diào)控合成光場螺旋譜分量的分布和大小,指導(dǎo)渦旋光束的相干合成.

圖8 相干合成BG渦旋光束(n=1,z=10 m,M=12,w0=0.2 mm) (a) R=1 mm時(shí)強(qiáng)度分布;(b) R=2.2 mm時(shí)強(qiáng)度分布;(c) R=1 mm時(shí)相位分布;(d) R=2.2 mm時(shí)相位分布;(e) R=1 mm時(shí)螺旋譜分布;(f) R=2.2 mm時(shí)螺旋譜分布Fig.8.Coherently synthesized BG vortex beam (n=1,z=10 m,M=12,w0=0.2 mm)： (a) R=1 mm,light intensity distribu?tion;(b) R=2.2 mm,light intensity distribution;(c) R=1 mm,phase distribution;(d) R=2.2 mm,phase distribution;(e) R=1 mm,spiral distribution;(f) R=2.2 mm,spiral distribution.

圖9 不同階合成渦旋光束拓?fù)浜赡Ｊ郊兌萈l隨組束環(huán)半徑R的變化(M=12,w0=0.2 mm,z=10 m)Fig.9.Variation trend of the spectral purity Pl of the dif?ferent order synthetic vortex beams with beam ring radius R (M=12,w0=0.2 mm,z=10 m).

4 結(jié) 論

本文基于渦旋光束譜分析理論準(zhǔn)確地預(yù)測了相干合成渦旋光束螺旋譜分量的位置及占比,結(jié)果表明： 當(dāng)子光束數(shù)量M和目標(biāo)合成拓?fù)浜蓴?shù)n滿足n-l=α·M(α為任意整數(shù))時(shí),拓?fù)浜蓴?shù)為l的螺旋諧波才會在相干合成渦旋光束中出現(xiàn).此外,基于譜分析理論研究與相干合成仿真結(jié)果,驗(yàn)證了將目標(biāo)拓?fù)浜杉兌茸鳛樵u價(jià)函數(shù)指導(dǎo)合束參數(shù)優(yōu)化的可行性,并得出結(jié)論： 隨著子光束數(shù)量和束腰半徑的增加、組束環(huán)半徑的減少可提高目標(biāo)合成拓?fù)浜傻哪Ｊ郊兌?同時(shí)獲得高質(zhì)量渦旋光束,這與采用桶中功率等傳統(tǒng)評價(jià)函數(shù)得到的結(jié)論具有一致性,與傳統(tǒng)基于強(qiáng)度定義的評價(jià)函數(shù)相互補(bǔ)充.本文對于深入理解相干合成渦旋光束的技術(shù)本質(zhì)、相干合成參數(shù)的優(yōu)化具有一定的指導(dǎo)意義與應(yīng)用價(jià)值.