劉廣凱 全厚德 康艷梅 孫慧賢 崔佩璋 韓月明

1) (陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)電子與光學(xué)工程系,石家莊 050003)

2) (西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,西安 710049)

3) (中國(guó)人民解放軍66389部隊(duì),石家莊 050000)

針對(duì)雷達(dá)、通信系統(tǒng)的正弦中頻信號(hào)在低信噪比中難以接收的問(wèn)題,提出一種經(jīng)隨機(jī)共振增強(qiáng)正弦信號(hào)的接收方法.通過(guò)分析正弦信號(hào)的隨機(jī)共振機(jī)理,引入判決時(shí)刻,將非自治的福克?普朗克方程(Fokker?Planck Equation,FPE)轉(zhuǎn)化為自治方程求解,得到FPE的含時(shí)間參量的周期定態(tài)解;在得到隨機(jī)共振輸出粒子的概率密度基礎(chǔ)上,通過(guò)分析能量接收、匹配濾波接收特點(diǎn),提出基于二次多項(xiàng)式的接收結(jié)構(gòu),通過(guò)使偏移系數(shù)最大化,確定二次多項(xiàng)式系數(shù),初步確定了檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量;為進(jìn)一步減小誤碼率,結(jié)合“N次采樣取平均”思想,根據(jù)中心極限定理,將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為高斯分布下的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題,最終提出了隨機(jī)共振增強(qiáng)正弦信號(hào)的二次多項(xiàng)式接收方法和處理流程.仿真驗(yàn)證了理論的正確性,并得到： 在最佳匹配隨機(jī)共振參數(shù)的限制下,當(dāng)N=500時(shí),二次多項(xiàng)式接收結(jié)構(gòu)在信噪比大于－17 dB時(shí)誤碼率低于2.2 × 10－2.

1 引 言

傳統(tǒng)雷達(dá)、通信的中頻接收系統(tǒng)一般在信噪比(signal to noise ratio,SNR)大于0 dB時(shí)才能有效檢測(cè)和接收,如何使其中頻接收系統(tǒng)在強(qiáng)干擾或極低SNR的電磁環(huán)境中仍能正常工作,是軍事應(yīng)急通信研究的重點(diǎn)內(nèi)容之一.對(duì)偶序列跳頻(dual?sequence?frequency?hopping,DSFH)通信模式作為新型軍事應(yīng)急通信手段,通過(guò)傳輸碼元0和1分別選擇兩組偽隨機(jī)序列控制的跳頻載波信道,選中的作為通信信道,而未選中的作為對(duì)偶信道,接收端通過(guò)檢測(cè)信道占用情況判斷傳輸碼元[1,2].與傳統(tǒng)通信模式將信息調(diào)制在基帶部分有很大不同的是,DSFH以兩條射頻序列出現(xiàn)與否代表碼元0和1,其信息調(diào)制在射頻部分.這種信息調(diào)制方式?jīng)Q定了只要某一支路的中頻正弦信號(hào)存在,接收碼元就判決為此支路約定代表的碼元[2].且一般采用較低數(shù)據(jù)速率,作為新的抗干擾通信模式,多用于高速率軍事通信受到強(qiáng)干擾無(wú)法實(shí)施時(shí)的應(yīng)急通信.同時(shí),一般采用超外差接收方式,其典型的中頻接收信號(hào)為正弦信號(hào),是隨機(jī)共振(stochastic resonance,SR)系統(tǒng)的典型輸入信號(hào)形式之一.

SR作為一種非線性物理現(xiàn)象,當(dāng)信號(hào)、噪聲與SR系統(tǒng)三者匹配時(shí),噪聲通過(guò)非線性系統(tǒng)對(duì)信號(hào)檢測(cè)起到積極的增強(qiáng)作用,打破了以往認(rèn)為噪聲總是有害的觀點(diǎn).Benzi等[3]在對(duì)地球冰川期變化的研究中首次提出SR的概念,而后該現(xiàn)象在物理、生物、電子等領(lǐng)域得到印證[4?8],大量研究人員將其用于信號(hào)強(qiáng)度低于判決門(mén)限時(shí)的信號(hào)檢測(cè)接收問(wèn)題[9].對(duì)于經(jīng)SR處理后的信號(hào)檢測(cè)接收問(wèn)題,關(guān)鍵在于設(shè)計(jì)合理高效的接收結(jié)構(gòu),即檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.不同信號(hào)環(huán)境對(duì)應(yīng)不同的最優(yōu)接收結(jié)構(gòu),對(duì)此問(wèn)題,大量學(xué)者展開(kāi)研究.Galdi等[10]在高斯白噪聲環(huán)境下,應(yīng)用最大似然檢測(cè)原理,分析了基于SR的最優(yōu)接收問(wèn)題,給出了平均值、過(guò)零檢測(cè)和非相干檢測(cè)三種檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,初步解決了SR與信號(hào)檢測(cè)結(jié)合的問(wèn)題.Zozor和Amblard[11]針對(duì)非高斯噪聲條件,討論了SR系統(tǒng)作為預(yù)處理單元如何檢測(cè)正弦信號(hào)問(wèn)題,并在小信號(hào)假設(shè)下應(yīng)用泰勒展開(kāi)法,以SNR為指標(biāo)得到了局部最優(yōu)接收結(jié)構(gòu)[12].Chen等[13,14]詳細(xì)討論了基于SR理論的信號(hào)檢測(cè)問(wèn)題,推導(dǎo)了不同準(zhǔn)則下的檢測(cè)概率和虛警概率,得到了廣義SR接收結(jié)構(gòu).Wang等[15]針對(duì)SR理論改進(jìn)了傳統(tǒng)能量檢測(cè)結(jié)構(gòu),以SNR為指標(biāo),應(yīng)用朗之萬(wàn)方程(Langevin equation,LE)從粒子軌道角度進(jìn)行了數(shù)值仿真.Zhang等[16]在α穩(wěn)定噪聲情況下應(yīng)用SNR指標(biāo),通過(guò)SNR取極值的必要條件,分析了單門(mén)限檢測(cè)接收SR增強(qiáng)后的信號(hào)及最優(yōu)檢測(cè)門(mén)限問(wèn)題.Zhang和Song[17]研究了色噪聲對(duì)邏輯SR信號(hào)的影響,得出在色噪聲環(huán)境下添加周期信號(hào)可以提高邏輯SR的檢測(cè)效果的結(jié)論.在得到合理高效的接收結(jié)構(gòu)后,關(guān)鍵在于得到有無(wú)正弦信號(hào)這兩種假設(shè)下檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的輸出概率密度,即求解表征SR系統(tǒng)輸出概率密度的?？?普朗克方程(Fokker?Planck equation,FPE)方程;但由于FPE中非自治項(xiàng)的加入,使得輸出無(wú)定態(tài)解[18,19],文獻(xiàn)[20]針對(duì)小信號(hào)特點(diǎn)從線性化角度分析了FPE的解問(wèn)題,文獻(xiàn)[21]應(yīng)用Meshless方法,得到了FPE的數(shù)值解,但目前所得的解形式很少應(yīng)用于信號(hào)檢測(cè)問(wèn)題.

針對(duì)正弦信號(hào)經(jīng)SR系統(tǒng)增強(qiáng)后的檢測(cè)接收問(wèn)題,通過(guò)分析正弦信號(hào)的SR機(jī)理,假設(shè)電磁粒子SR行為瞬時(shí)完成,引入判決時(shí)刻,將非自治的FPE轉(zhuǎn)化為自治方程求解,得到FPE的含時(shí)間參量的周期定態(tài)解;在得到SR輸出粒子的概率密度基礎(chǔ)上,通過(guò)分析能量接收、匹配濾波接收特點(diǎn),提出基于二次多項(xiàng)式的接收方法,為進(jìn)一步減小誤碼率,結(jié)合“N次采樣取平均”思想,根據(jù)中心極限定理,將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為典型的高斯分布下的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題,并給出了接收方法步驟和理論值;最后進(jìn)行了仿真驗(yàn)證.

2 隨機(jī)共振的信號(hào)增強(qiáng)機(jī)理分析

2.1 正弦信號(hào)的隨機(jī)共振描述

典型的隨機(jī)共振系統(tǒng)可由下面的朗之萬(wàn)方程來(lái)描述：

其中a,b為非負(fù)參數(shù);Acos(ω0t+φ) 為弱的外部周期驅(qū)動(dòng)信號(hào);Γ(t) 是高斯白噪聲,滿足E[Γ(t)]=0,E[Γ(t)Γ(t+s)]=2Dδ(s) ,參數(shù)D稱(chēng)為強(qiáng)度.運(yùn)用線性響應(yīng)近似理論[3],可知系統(tǒng)(1)的長(zhǎng)時(shí)間平均響應(yīng)為

由于經(jīng)典的隨機(jī)共振現(xiàn)象只能放大低頻信號(hào),但在雷達(dá)、通信系統(tǒng)中,用作中頻信號(hào)的正弦波,其頻率一般在1 kHz左右,是典型大參數(shù)信號(hào),因而無(wú)法直接應(yīng)用SR理論,必須應(yīng)用尺度變換將該中頻信號(hào)轉(zhuǎn)換為能被隨機(jī)共振機(jī)理處理的小參數(shù)信號(hào).為此,引入以下歸一化變量代換[22]則(1)式轉(zhuǎn)化為

由此可見(jiàn),我們的頻率尺度變換公式為ω0/a=2πf,即輸入信號(hào)經(jīng)過(guò)歸一化尺度變換后變?yōu)榈皖l信號(hào),其頻率僅為原來(lái)的 1/a;當(dāng)a足夠大時(shí),ω0/a就足夠地小.相應(yīng)地,信號(hào)幅度變換公式為當(dāng)a足夠大、b足夠小時(shí),輸入信號(hào)經(jīng)過(guò)歸一化尺度變換后變成了弱信號(hào).與此同時(shí),噪聲強(qiáng)度變?yōu)榧唇o定的噪聲經(jīng)由尺度變換也變成了弱噪聲.

注意到直接對(duì)朗之萬(wàn)方程(3) 模擬一次,可以得到隨機(jī)過(guò)程x(t) 的一條樣本軌道,而在實(shí)際的應(yīng)用當(dāng)中,我們更關(guān)注的卻是大量樣本軌道的統(tǒng)計(jì)性質(zhì),因此常常需要對(duì)方程(3)做大量的隨機(jī)模擬.理論上,回避大量隨機(jī)模擬的方法是直接考慮隨機(jī)過(guò)程的概率密度函數(shù).設(shè)ρ(x,t) 為粒子在時(shí)刻t位于位置x的概率密度,其演化滿足FPE[23]

和自然邊界條件.由于方程(4)是一個(gè)變系數(shù)的線性方程,其定態(tài)解不存在,但是可以證明其存在周期定態(tài)解[4,18];特別地,在絕熱消去意義上,可以得到方程(4)的周期定態(tài)解形如

其中Z(t) 是與t有關(guān)的概率歸一化常數(shù).

2.2 SR增強(qiáng)后判決時(shí)刻的輸出概率密度

為了將概率密度函數(shù)(5)用于正弦信號(hào)的檢測(cè)接收問(wèn)題,假設(shè)電磁粒子從瞬態(tài)進(jìn)入周期定態(tài)的演化過(guò)程非?？?從而可忽略粒子從初始狀態(tài)向準(zhǔn)平衡的周期定態(tài)演化的過(guò)渡時(shí)間;或者說(shuō),假定在引入判決時(shí)刻t0之時(shí),電磁粒子的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)已經(jīng)達(dá)到了周期定態(tài),且粒子在勢(shì)阱內(nèi)的停留時(shí)間遠(yuǎn)大于穩(wěn)態(tài)過(guò)渡時(shí)間,即出現(xiàn)在勢(shì)阱內(nèi)的概率遠(yuǎn)大于其他位置的概率.假設(shè)勢(shì)阱由雙穩(wěn)態(tài)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和正弦信號(hào)的極值點(diǎn)決定,從而以判決時(shí)刻t0時(shí)的周期定態(tài)概率密度表征SR輸出粒子在勢(shì)阱內(nèi)的概率密度.

其中積分上下限x1,x2由概率歸一化常數(shù)決定,對(duì)于對(duì)稱(chēng)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)x1=-x2.

從(6)式可以得到,某判決時(shí)刻的正弦信號(hào)相當(dāng)于在SR系統(tǒng)中添加了線性漂移力,會(huì)使粒子向兩側(cè)勢(shì)阱牽引,增加粒子在勢(shì)阱的出現(xiàn)和停留概率;正的漂移力牽引粒子向正側(cè)勢(shì)阱聚集,負(fù)的漂移力牽引粒子向負(fù)側(cè)勢(shì)阱聚集,但由于SR系統(tǒng)輸出粒子的對(duì)稱(chēng)性和正弦信號(hào)的周期性,最終粒子的輸出概率密度呈現(xiàn)對(duì)稱(chēng)性.同時(shí),由于正弦信號(hào)的周期性,不同判決時(shí)刻正弦信號(hào)的大小不同,決定的漂移力大小也不同;當(dāng)判決時(shí)刻位于正弦信號(hào)的波峰或波谷位置時(shí),引入的線性漂移力最大,粒子在勢(shì)阱的停留時(shí)間最長(zhǎng),此時(shí)的概率密度最大.

3 二次多項(xiàng)式接收方法

3.1 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量設(shè)計(jì)

目前通信系統(tǒng)多采用能量檢測(cè)、包絡(luò)檢測(cè)或匹配濾波方式接收,均可以看作廣義二次多項(xiàng)式形式的接收方式,基于此思想,提出經(jīng)SR系統(tǒng)增強(qiáng)的正弦信號(hào)二次多項(xiàng)式接收結(jié)構(gòu)如圖1所示.

如圖1所示,混有噪聲的正弦信號(hào)經(jīng)過(guò)SR系統(tǒng),得到增強(qiáng)后的待檢測(cè)信號(hào)x(t) ,經(jīng)判決開(kāi)關(guān)取樣,得到判決時(shí)刻t0的SR系統(tǒng)輸出值x(t0) ,即正弦信號(hào)波峰、波谷驅(qū)動(dòng)SR系統(tǒng)的輸出值,此時(shí)x(t0)的概率密度可由(8)式計(jì)算得到.對(duì)x(t0) 進(jìn)行二次多項(xiàng)式g(·) 運(yùn)算,得到判決時(shí)刻的輸出值g(x0),且g(x0) 為正弦驅(qū)動(dòng)信號(hào)處于波峰、波谷時(shí),接收系統(tǒng)的輸出值;平均N個(gè)獨(dú)立同分布的g(x0) ,得到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Λ(t0) ;當(dāng)Λ(t0)≥r0時(shí)判為H1(存在正弦信號(hào)),當(dāng)Λ(t0)＜r0時(shí)判為H0(不存在正弦信號(hào)).

圖1 SR系統(tǒng)增強(qiáng)正弦信號(hào)的二次多項(xiàng)式接收結(jié)構(gòu)Fig.1.Quadratic polynomial receiving structure for sine signals enhanced by SR.

當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從高斯分布時(shí),誤碼率Pe與偏移系數(shù)d存在解析關(guān)系,且高斯分布時(shí),偏移系數(shù)非高斯分布時(shí),Pe與d負(fù)相關(guān)[6,25].非高斯分布的偏移系數(shù)d定義如下[6,25]：

當(dāng)g(·) 在二次多項(xiàng)式函數(shù)形式的約束時(shí),通過(guò)使偏移系數(shù)d最大,確定g(·) 的系數(shù).設(shè)二次多項(xiàng)式g(x)=l1x2+l2x+l3,則兩種假設(shè)下的偏移系數(shù)

由(8)式可得,二次多項(xiàng)式的偏移系數(shù)d(l1,l2,l3)與常數(shù)項(xiàng)l3無(wú)關(guān),僅由系數(shù)l1,l2和x的一至四階原點(diǎn)矩決定,且d(l1,l2,l3) 有線性偏移不變性.令則

令

將(10)式代入(9)式得

非高斯分布時(shí),Pe與d負(fù)相關(guān)[6,25],所以欲得最小Pe,需計(jì)算最大d;通信系統(tǒng)多以最小誤碼率為準(zhǔn)則,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

由函數(shù)取極值的必要條件得

設(shè)l1=ml2時(shí)即

求解(14)式可得m的數(shù)值解.此時(shí)g(x)=其在兩種假設(shè)下的期望和方差

其中μ1,σ1為g(x0) 在H1假設(shè)下的期望和標(biāo)準(zhǔn)差;μ0,σ0為g(x0) 在H0假設(shè)下的期望和標(biāo)準(zhǔn)差.

至此,經(jīng)SR系統(tǒng)增強(qiáng)的二次多項(xiàng)式接收正弦信號(hào)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為經(jīng)典的高斯分布下的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題.且正弦信號(hào)的接收中頻頻率先驗(yàn)已知,當(dāng)檢測(cè)到正弦信號(hào)存在時(shí),接收碼元判定為“1”;否則判為“0”;以最小錯(cuò)誤概率為準(zhǔn)則,則誤碼率

其中r0為判決門(mén)限;μ1,μ0為兩種假設(shè)下g(x0) 單元的期望;σ1,σ0為兩種假設(shè)下g(x0) 單元的標(biāo)準(zhǔn)差.

對(duì)于最小錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則,判決門(mén)限在兩種假設(shè)下概率密度相等,即f1(r0)=f0(r0) 時(shí),Pe取得最小值,即

化簡(jiǎn)得

則判決門(mén)限r(nóng)0可由(19)式數(shù)值計(jì)算得到.

3.2 接收算法流程

根據(jù)3.1節(jié)的理論,經(jīng)SR增強(qiáng)正弦信號(hào)的二次多項(xiàng)式接收算法如下：

1)根據(jù)(6)式計(jì)算兩種假設(shè)下SR系統(tǒng)輸出的概率密度函數(shù)ρ(x,t|H1) ,ρ(x,t|H0) 和一至四階原點(diǎn)矩μ11,u12,μ13,u14和μ01,u02,μ03,u04;

2)根據(jù)(10)和(14)式確定g(x) 的系數(shù)l1,l2;

3)根據(jù)(15)式計(jì)算g(x) 在兩種假設(shè)下的期望μ1,μ0和標(biāo)準(zhǔn)差σ1,σ0;

4)根據(jù)(19)式計(jì)算最小錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則下的判決門(mén)限r(nóng)0;

5)根據(jù)(17)式計(jì)算最小錯(cuò)誤概率Pe.

4 仿真實(shí)驗(yàn)

通過(guò)搭建基于SR增強(qiáng)的二次多項(xiàng)式接收正弦信號(hào)的Simulink模型,對(duì)比分析理論值和仿真值,驗(yàn)證理論推導(dǎo)的正確性.仿真參數(shù)如下： 正弦信號(hào)頻率為1 kHz,中頻采樣率為200 kHz,最佳匹配SR的噪聲功率值參見(jiàn)文獻(xiàn)[22]的表3.

4.1 正弦信號(hào)經(jīng)SR系統(tǒng)后的時(shí)、頻域波形

混合強(qiáng)噪聲的正弦信號(hào)時(shí)域、頻域波形分別見(jiàn)圖2(a)和圖2(b),經(jīng)SR系統(tǒng)增強(qiáng)輸出后的時(shí)域、頻域波形分別見(jiàn)圖2(c)和圖2(d).當(dāng)輸入SNR=－18 dB時(shí),時(shí)域圖(圖2(a))和頻域圖(圖2(b))呈現(xiàn)出雜亂的、無(wú)規(guī)律的,無(wú)法看到1 kHz正弦信號(hào)分量的任何特征;然而經(jīng)SR系統(tǒng)處理后,時(shí)域圖(圖2(c))出現(xiàn)周期性特征,說(shuō)明存在周期分量信號(hào);通過(guò)頻域圖(圖2(d))觀察到1 kHz出現(xiàn)明顯的信號(hào)分量(采樣點(diǎn)數(shù)20000個(gè),頻率分辨率10 Hz,所以峰值出現(xiàn)在99.95處),且輸出全局SNR為－14.0957 dB,提高了3.9043 dB.這是因?yàn)镾R單元對(duì)信號(hào)的處理可相當(dāng)于非線性低通濾波,會(huì)增強(qiáng)低頻區(qū)的某些頻率分量,減弱其他的頻率分量.但與線性濾波器只改變輸出頻譜結(jié)構(gòu),不改變輸出各頻率的概率密度的性質(zhì)不同的是,SR單元在改變頻譜結(jié)構(gòu)的同時(shí),也改變了輸出粒子的概率密度(見(jiàn)圖3).經(jīng)過(guò)SR系統(tǒng)后,平坦分布的高斯白噪聲將向低頻區(qū)聚集,使低頻區(qū)能量變大,和低頻正弦信號(hào)一起驅(qū)動(dòng)粒子在雙穩(wěn)態(tài)勢(shì)壘之間躍遷,時(shí)域信號(hào)出現(xiàn)一定的周期特性,頻域觀察更顯著,改變了含噪信號(hào)的頻譜結(jié)構(gòu),宏觀上表現(xiàn)為SNR增大.

4.2 正弦信號(hào)經(jīng)SR系統(tǒng)增強(qiáng)后的概率密度

正弦信號(hào)未經(jīng)SR處理的粒子概率密度如圖3(a)所示,經(jīng)SR系統(tǒng)增強(qiáng)后在不同位置的ρ(x,t)理論值和仿真值如圖3(b)所示,其部分局部如圖3(c)所示.黑色實(shí)線為有驅(qū)動(dòng)力時(shí)的ρ(x,t0|H1),紅色虛線為無(wú)驅(qū)動(dòng)力時(shí)的ρ(x,t0|H0) ,黑色實(shí)線為選取兩個(gè)不同的判決時(shí)刻,即分別為的對(duì)應(yīng)時(shí)刻,無(wú)驅(qū)動(dòng)力的情況可視為的對(duì)應(yīng)時(shí)刻.在未經(jīng)SR處理之前,正弦信號(hào)淹沒(méi)在高斯噪聲之中,且SNR極低,粒子的概率分布情況絕大部分表征了高斯噪聲的性質(zhì),因信號(hào)強(qiáng)度相較噪聲太小,導(dǎo)致有無(wú)信號(hào)時(shí),兩種假設(shè)下的概率密度幾乎無(wú)差別,圖3(a)很好地說(shuō)明了這一點(diǎn).經(jīng)過(guò)SR處理之后,粒子的分布不再服從高斯分布,體現(xiàn)了SR的非線性作用;同時(shí)理論和仿真曲線都表明,引入判決時(shí)刻的正弦信號(hào)相當(dāng)于系統(tǒng)中添加了線性漂移力,會(huì)牽引粒子向兩側(cè)勢(shì)阱聚集,增長(zhǎng)粒子在穩(wěn)態(tài)勢(shì)阱的駐留時(shí)間,增加粒子在勢(shì)阱的出現(xiàn)概率,從而加大兩種不同假設(shè)下ρ(x,t) 的差異,更加有利于區(qū)分有無(wú)正弦信號(hào)這兩種假設(shè),提高正弦信號(hào)的檢測(cè)能力.且根據(jù)兩條不同判決時(shí)刻的黑色實(shí)線可看出,不同判決時(shí)刻對(duì)應(yīng)的正弦信號(hào)數(shù)值大小不同,決定的線性漂移力也不同,從而在兩側(cè)勢(shì)阱的概率也不同;當(dāng)判決時(shí)刻位于正弦信號(hào)的波峰或波谷位置時(shí),引入的線性漂移力最大,SR系統(tǒng)的粒子在勢(shì)阱的停留時(shí)間最長(zhǎng),在勢(shì)阱的概率密度也相應(yīng)最大.從濾波角度來(lái)看,輸入粒子的高斯分布特性經(jīng)過(guò)SR單元處理后,變?yōu)榉歉咚狗植?但同時(shí)也可看到,有無(wú)信號(hào)驅(qū)動(dòng)下SR輸出概率密度差異較小,導(dǎo)致直接將SR應(yīng)用于DSFH的信號(hào)檢測(cè)出現(xiàn)較大的虛警;故而設(shè)計(jì)二次多項(xiàng)式接收結(jié)構(gòu)和N次判決平均,進(jìn)一步擴(kuò)大接收檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在有無(wú)信號(hào)下的概率密度差異,提高SR應(yīng)用于DSFH的接收性能.

圖3 粒子處于不同位置時(shí)的概率密度(輸入SNR=－14 dB dB,噪聲功率 σ2=4 ,信號(hào)幅度 A=0.4 ,SR系統(tǒng)參數(shù) a=1×104 ,b=2.6406×1012) (a)未經(jīng)SR處理的粒子的分布概率;(b)經(jīng)SR處理后粒子的分布概率;(c)經(jīng)SR處理后粒子的分布概率局部圖Fig.3.Probability density function of particles of SR (input SNR=－14 dB,the noise intensity σ2=4 ,signal amplitude A=0.4 ,parameters of system a=1×104 ,b=2.6406×1012)： (a) The probability density of particles before SR processed;(b) the prob?ability density of particles after SR processed;(c) the partial of probability density of particles after SR processed.

4.3 不同判決點(diǎn)數(shù)的系統(tǒng)判決時(shí)刻輸出

不同判決點(diǎn)數(shù)N時(shí)系統(tǒng)在判決時(shí)刻的輸出仿真值如圖4所示,圖4(a)為單次檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量g(x0)的波形,圖4(b)為g(x0) 的多次(N=10)平均波形.可以看出不同N時(shí),對(duì)于檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量g(x0) 的發(fā)散程度不同.這是因?yàn)榕袥Q時(shí)刻時(shí),粒子的運(yùn)動(dòng)大部分集中于勢(shì)阱內(nèi),其位置由勢(shì)阱決定;但同時(shí)受到噪聲影響,粒子不會(huì)在勢(shì)阱內(nèi)靜止不動(dòng),而是在一定范圍內(nèi)抖動(dòng),出現(xiàn)圖4(a)中情形,其平衡位置就是勢(shì)阱的大概位置.圖4(b)為經(jīng)過(guò)N次平均之后的波形,進(jìn)一步體現(xiàn)了平衡位置所在,同時(shí)減小了隨機(jī)變量g(x0) 的抖動(dòng)范圍.從而證明了N次平均統(tǒng)計(jì)量更有利于提高判決準(zhǔn)確性.

圖4 不同N時(shí) g(x0) 的輸出值(輸入SNR=－18 dB,噪聲功率 σ2=4 ,信號(hào)幅度 A=0.25 ,SR系統(tǒng)參數(shù) a=1×104 ,b=3.3856×1012) (a) N=1時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的時(shí)域波形;(b) N=10時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的時(shí)域波形Fig.4.Output of g(x0) at different N (input SNR=－18 dB,the noise intensity σ2=4 ,signal amplitude A=0.25 ,parameters of system a=1×104 ,b=3.3856×1012)： (a) The waveform of test statistics when N =1;(b) the waveform of test statistics when N =10.

圖5 不同N時(shí)g(x0)的輸出概率密度(輸入SNR=－14 dB,噪聲功率 σ2=4 ,信號(hào)幅度A=0.4,SR系統(tǒng)參數(shù)a=1×104,b=2.6406×1012 ,g(x)=x2+0.0701x) (a) N=1時(shí)粒子的分布概率;(b) N=10時(shí)粒子的分布概率;(c) N=50時(shí)粒子的分布概率;(d) N=100時(shí)粒子的分布概率Fig.5.Output probability density function of g(x0) at different N (input SNR=－14 dB,the noise intensity σ2=4 ,signal amp?litude A=0.4 ,parameters of system a=1× 104,b=2.6406×1012 ,g(x)=x2+0.0701x)： (a) The output probability density when N =1;(b) the output probability density when N=10;(c) the output probability density when N=50;(d) the output prob?ability density when N=100.

不同判決點(diǎn)數(shù)N時(shí)系統(tǒng)的輸出概率密度理論值和仿真值如圖5所示,理論值為由E[g(x0)]和σ[g(x0)]確定的高斯分布,仿真值為系統(tǒng)的輸出頻率.從圖5(a)和圖5(b)可以看出,在N不符合中心極限定理?xiàng)l件時(shí),系統(tǒng)輸出的頻率與高斯分布的概率密度相差較大;從圖5(c)和圖5(d)可以看出,當(dāng)N＞ 50時(shí),符合中心極限定理?xiàng)l件,系統(tǒng)輸出的頻率與相應(yīng)的高斯分布符合較好;且隨著N的增大,系統(tǒng)輸出的方差σ2/N減小,粒子的聚集性更加集中,在均值附近出現(xiàn)的概率更大,更加有利于區(qū)分兩種不同的假設(shè),理論和仿真均說(shuō)明這一點(diǎn).

4.4 不同接收結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)輸出誤碼率

不同接收結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)輸出誤碼率如圖6所示.可以看到,直接N次累積平均接收結(jié)構(gòu)的誤碼率最大,其次是能量接收結(jié)構(gòu),二次多項(xiàng)式g(x) 接收結(jié)構(gòu)的誤碼率最小;驗(yàn)證了二次多項(xiàng)式接收結(jié)構(gòu)的性能優(yōu)于能量接收和直接累積平均接收結(jié)構(gòu),但三者性能相差不大.這是因?yàn)镹次累積平均接收結(jié)構(gòu)與包絡(luò)接收一致,而能量接收與包絡(luò)接收性能相差無(wú)幾.根據(jù)“3.2節(jié) 接收算法流程”中第二步： “根據(jù)(10)式和(14)式確定g(x) 的系數(shù)l1,l2”,同時(shí)依據(jù)偏移系數(shù)d的線性偏移不變性,可確定此時(shí)二次多項(xiàng)式g(x) 接收結(jié)構(gòu)的最優(yōu)系數(shù)為： 二次項(xiàng)系統(tǒng)為1,一次項(xiàng)系數(shù)分別為[0.4616,0.3312,0.2291,0.1421,0.1002,0.0701],常數(shù)項(xiàng)無(wú)影響,一次項(xiàng)系數(shù)較二次項(xiàng)系統(tǒng)相差較大,起主要作用的是二次項(xiàng)系數(shù),所以和能量接收性能相差不大.同時(shí),不同接收結(jié)構(gòu)主要改變的是不同假設(shè)情況下系統(tǒng)輸出的期望,對(duì)于方差影響不大;而在高斯分布時(shí)系統(tǒng)輸出的誤碼率主要由方差決定;所以三者接收性能差別不大.

圖6 不同接收結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)輸出誤碼率Fig.6.Output bit error ratio of different receiving structure.

4.5 不同判決點(diǎn)數(shù)時(shí)系統(tǒng)輸出誤碼率

不同判決點(diǎn)數(shù)時(shí)系統(tǒng)輸出誤碼率如圖7所示.可以看到,隨著判決點(diǎn)數(shù)N的增大,系統(tǒng)輸出誤碼率越來(lái)越小,理論和仿真曲線均是如此.這是因?yàn)楫?dāng)接收結(jié)構(gòu)一定時(shí),系統(tǒng)輸出的期望是一定的,不同判決點(diǎn)數(shù)決定的是系統(tǒng)輸出的方差;在中心極限定理?xiàng)l件下,系統(tǒng)輸出在兩種假設(shè)時(shí)均服從高斯分布,其方差為σ2/N;隨著N的增大,方差減小,兩種假設(shè)的分離度越來(lái)越大,檢測(cè)接收的性能會(huì)越來(lái)越好.采用N點(diǎn)平均判決,必須確保一個(gè)碼元周期內(nèi)存在N個(gè)可供判決的波峰、波谷值;即判決點(diǎn)數(shù)N越多,需要正弦信號(hào)在一個(gè)碼元時(shí)間內(nèi)的周期越多,對(duì)于系統(tǒng)的采樣頻率和正弦信號(hào)載頻一定時(shí),必須降低碼元速率,即通信系統(tǒng)中以“有效性換可靠性”思想的體現(xiàn).在忽略兩種假設(shè)輸出概率密度差別二元對(duì)稱(chēng)信道條件下,單符號(hào)的平均最大信息量c與誤碼率關(guān)系為c=1+Pelog2(Pe)+(1-Pe)log2(1-Pe),采用N點(diǎn)平均判決時(shí),超外差接收的DSFH模式在某SNR條件下的最大信息速率R與誤碼率關(guān)系為Pelog2(Pe)+(1-Pe)log2(1-Pe)].當(dāng)N=500時(shí),二次多項(xiàng)式接收結(jié)構(gòu)在SNR＞ －17 dB時(shí)誤碼率低于 2.2×10-2,可應(yīng)用于DSFH通信模式的軍事應(yīng)急通信.

圖7 不同N時(shí)的二次多項(xiàng)式接收結(jié)構(gòu)的誤碼率Fig.7.Output bit error ratio of quadratic polynomial re?ceiving structure at different N.

5 總 結(jié)

SR系統(tǒng)在輸入信號(hào)、噪聲和系統(tǒng)參數(shù)匹配的情況下,對(duì)低頻小信號(hào)有天然的共振效果,通過(guò)過(guò)采樣將超外差接收的DSFH中頻正弦信號(hào)等效到采樣頻帶的低頻區(qū),此時(shí)噪聲會(huì)與低頻信號(hào)一起提高低頻區(qū)響應(yīng);加大了極低SNR下有無(wú)信號(hào)的區(qū)別,更有利于信號(hào)檢測(cè)接收.同時(shí),SR應(yīng)用于DSFH的信號(hào)檢測(cè),并不會(huì)改變DSFH空域信號(hào)的窄帶特性,判決時(shí)刻對(duì)同步要求較低,非常適合于極低SNR下的軍事應(yīng)急通信場(chǎng)景,進(jìn)一步擴(kuò)展了軍事應(yīng)急通信的可用手段.信號(hào)檢測(cè)只關(guān)注在判決時(shí)刻的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量情況,據(jù)此特點(diǎn),一改傳統(tǒng)“先確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,再確定判決時(shí)刻”的處理方法;同時(shí)根據(jù)雙穩(wěn)態(tài)SR的勢(shì)阱特點(diǎn),在確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量之前,引入判決時(shí)刻,巧妙地將非自治FPE轉(zhuǎn)換為自治FPE求解.根據(jù)SR和信號(hào)檢測(cè)的特點(diǎn),合理改變判決時(shí)刻與檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的處理順序的思想,以及所得ρ(x,t) 的求取方法及結(jié)果為SR應(yīng)用于信號(hào)檢測(cè)接收問(wèn)題提供了借鑒;所提的二次多項(xiàng)式接收方法進(jìn)一步補(bǔ)充了正弦信號(hào)經(jīng)SR系統(tǒng)增強(qiáng)后的接收策略.同時(shí),多項(xiàng)式接收結(jié)構(gòu)的冪次受系統(tǒng)穩(wěn)定性的約束,這也是下一步的主要研究?jī)?nèi)容.