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摘要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中落實(shí)核心素養(yǎng)，與新課標(biāo)提到的“基礎(chǔ)性、整合性與前瞻性”要求相符合，它既是當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教學(xué)的根本要求，也是著眼于數(shù)學(xué)教學(xué)未來發(fā)展的必經(jīng)之路。這就要求教師應(yīng)轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的教學(xué)觀念，鉆研新的教學(xué)方法。本文主要著眼于初中數(shù)學(xué)中“基本圖形”的應(yīng)用，通過基本圖形培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、直觀想象能力、思維的廣度和深度、學(xué)習(xí)幾何的熱情，促使學(xué)生除了掌握基礎(chǔ)知識(shí)包括數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定理以外，更形成數(shù)學(xué)邏輯思維，能運(yùn)用合理的數(shù)學(xué)方法解決現(xiàn)實(shí)問題，并積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：基本圖形;數(shù)學(xué)規(guī)律;能力;核心素養(yǎng);熱情;思維

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2019）06-0115

隨著課改的不斷深入，一線教育工作者越來越關(guān)注學(xué)生素質(zhì)的培養(yǎng)，“核心素養(yǎng)”也就成為教育界關(guān)注的一個(gè)焦點(diǎn)。就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，核心素養(yǎng)大體上包含數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六個(gè)方面。歸根結(jié)底是要用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界。在多年的初中幾何教學(xué)中經(jīng)常會(huì)遇到一些學(xué)生不會(huì)獨(dú)立思考幾何問題。遇到陌生的幾何問題就束手無策，不知道從哪方面入手，題目條件似乎都沒什么用，他們只會(huì)做一些做過的熟悉的題目。主要原因是幾何邏輯性太強(qiáng)，很難寫出條理清晰的證明步驟;不能把基本圖形、符號(hào)與文字三種語(yǔ)言“互譯”;不會(huì)正確地添加輔助線。怎樣改變這種現(xiàn)象一直是筆者思考的問題。筆者嘗試在幾何教學(xué)中進(jìn)行“基本圖形”研究，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。

一、基本圖形從哪里來

1. 概念、定理、推論、性質(zhì)中的基本圖形

幾何學(xué)習(xí)最初是從認(rèn)識(shí)圖形（概念）入手，再通過性質(zhì)、判定、推理證明一步步學(xué)習(xí)的。在學(xué)習(xí)三角形外角的基本概念時(shí)，學(xué)習(xí)“三角形的一個(gè)外角等于和他不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”的時(shí)候，應(yīng)該在腦海中建立圖1的基本圖形并能得到∠1=∠A+∠B;在學(xué)習(xí)等腰三角形“三線合一”性質(zhì)時(shí)在腦海中要建立圖2基本圖形，并且結(jié)合圖形寫出三中幾何語(yǔ)言。在學(xué)習(xí)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”時(shí)，要在腦海中建立圖3基本圖形。如圖4由半徑、弦的一半、弦心距組成的“垂徑三角形”是一個(gè)很重要的基本圖形，很多圓的計(jì)算問題都可以轉(zhuǎn)化為這個(gè)基本圖形，在直角三角形0AP中求解。在半徑、弦、弦心距（還有拱高）這4個(gè)量中只要知道2個(gè)量就可以求其余2個(gè)量。

2. 習(xí)題中出現(xiàn)的基本圖形

盡管數(shù)學(xué)練習(xí)千變?nèi)f化，但是絕大多數(shù)題目都能從中提煉出一些基本元素，在教學(xué)中幫助學(xué)生梳理、提煉這些基本圖形，遇到問題時(shí)分離這些基本圖形，基本圖形殘缺時(shí)構(gòu)造基本圖形，這樣可以以這些基本圖形為載體，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，分析推理能力。一種是簡(jiǎn)單的基本圖形。例如，三角形全等的基本圖形：直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半的基本圖形：三角形相似的基本圖形，還有弦切角定理、切線長(zhǎng)定理基本圖形等，這些都是比較簡(jiǎn)單的常見的全等、相似的基本圖形，易于掌握和應(yīng)用。還有一種是比較復(fù)雜，經(jīng)常在習(xí)題或考題中出現(xiàn)，也可以提煉為基本圖形。例如基本圖形如圖5：角平分線+平行線 等腰三角形 （1）AC平分∠BAD;（2）AB=CB;（3）BC∥AD。由三個(gè)條件中的任意兩個(gè)都可以推出另一個(gè)成立。

3. 反映數(shù)學(xué)規(guī)律的基本圖形

盡管幾何部分有很多知識(shí)點(diǎn)，但是某塊內(nèi)容的有關(guān)練習(xí)都有很多共性之處，可以把其中最有共性、最本質(zhì)的基本元素提煉出來作為基本圖形，給解決問題帶來便捷。例如：兩個(gè)等角的一邊在同一直線上，另一邊在該直線的同側(cè)。若有第三個(gè)與之相等的角、其頂點(diǎn)在該直線上，角的兩邊（或兩邊所在直線）分別與兩等角的非共線邊（或該邊所在直線）相交，此時(shí)通過證明，一般都可以得到一組相似三角形，該組相似三角形習(xí)慣上被稱為“一線三等角型”相似三角形 。

已知：如圖6，∠A=∠CPD=∠B，求證：△CAP∽△PBD。證明：∵∠CPD+∠APC=∠B+∠PDB，∠CPD=∠B，∴∠APC=∠PDB，又∵∠A=∠B，∴ △CAP∽△PBD。當(dāng)增加條件：CP=DP時(shí)，△CAP≌△PBD

二、基本圖形運(yùn)用實(shí)例分析

1. 基本圖形一題多變

如果我們著手解答一道習(xí)題，那第一件事就是搞清楚它是一道什么題？它是什么形式，屬于哪種類型？基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)的深刻性并非簡(jiǎn)單地加大難度，而是體現(xiàn)在深入到知識(shí)底層和方法的本質(zhì)，聚焦學(xué)生的能力發(fā)展，關(guān)注知識(shí)運(yùn)用背后的基本思想、基本方法和基本經(jīng)驗(yàn)。這就要求我們?cè)趶?fù)習(xí)課教學(xué)中，對(duì)已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識(shí)進(jìn)行綜合研究，使相互聯(lián)系的知識(shí)模塊化，對(duì)一些基本思路、基本方法或基本結(jié)論相同的問題進(jìn)行模型歸納，在模式識(shí)別、一模多變的過程中打通學(xué)生的思維通道，提升他們分析問題和解決問題的能力。

如圖7：馬路兩側(cè)有兩根燈桿AB，CD。當(dāng)小明站在N處時(shí)，在燈C的照射下小明的影長(zhǎng)正好為NB，站在燈A的照射下小明的影長(zhǎng)為NE。測(cè)得BD=24 m，NB=6 m，NE=2 m，判斷這兩根燈桿的高度是否相同，并說明理由。

此例兩次運(yùn)用“平行A型相似”的基本圖形和結(jié)論很容易解決，為了獲得“雙平行A型相似”問題經(jīng)驗(yàn)?zāi)K，可做如下設(shè)計(jì)：

變式1：在上題中，小明站在何處可以同時(shí)使得其在燈A下的影長(zhǎng)恰好為ND？

變式2：假如燈桿高度不等，小明恰好站在可以同時(shí)使得其在燈A和燈C下的影長(zhǎng)恰好為ND和NB，你能發(fā)現(xiàn)怎樣的結(jié)論？

變式3：如圖8，已知直線AB同側(cè)有平行線AC，BD，聯(lián)結(jié)AD，BC交于點(diǎn)E，又EF∥AC交AB于點(diǎn)F，求證：1/AC +1/BD=1/EF 。經(jīng)過這樣的變式設(shè)計(jì)和活動(dòng)之后的反思概括成“雙平行A型相似”結(jié)論：指導(dǎo)思想：數(shù)形結(jié)合;處理策略：由形到數(shù);基本結(jié)論：1/a +1/b=1/c

也可以將基本結(jié)論表達(dá)成梯形的一個(gè)性質(zhì)：過梯形對(duì)角線交點(diǎn)向一腰所引平行于底邊的線段長(zhǎng)的倒數(shù)等于兩底邊長(zhǎng)的倒數(shù)之和。

2. 基本圖形提煉有助于對(duì)知識(shí)的梳理

相似三角形相似判定方法一課，我們可以從“母子型”“平行線A型”“逆平行線型”“8字型”“雙平行線A字型”“一線三等角型”等模型的建構(gòu)作為本節(jié)復(fù)習(xí)課知識(shí)建構(gòu)的主體。既梳理了知識(shí)，又從模型上分類積累了很多思路。

如圖9，在平面直角坐標(biāo)系XOY中，直線y=-x+m分別交X軸，Y軸于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)C（2，0）。（1）略;（2）設(shè)點(diǎn)P為線段OB的中點(diǎn)，連接PA，PC，若∠CPA=∠ABO，則m的值是多少。抓住相等角，活用“一線三等角”。

如圖10，在y軸上取點(diǎn)D，使OC=OD，此時(shí)，得到∠PDC=45°=∠PBA=∠CPA，得到△ABP∽△PDC，所以[BPCD]=[BAPD]，因?yàn)镻為OB中點(diǎn)，進(jìn)一步得方程[m2] ：[22]=[2]m：（[m2]+2），解得m=12

分析：本題已有兩角相等且在一線上，如果此線上再有一等角，那么“一線三等角”模型便可以形成，此解法貴在沒有因?yàn)閳D形的“怪異”而失去對(duì)已知條件本身的理解，一步到位，干凈利落。

“一線三等角”模型是一種常見的建立三角形相似的方法：如圖，∠D=∠ACB=∠E時(shí)，△ADC∽△CEB。該模型在本題中的應(yīng)用時(shí)，由于圖形看上去有些“怪異”而放棄這種解法，原因般有兩個(gè)，一是模型教學(xué)中太注重“模型”的形式，忽視了其數(shù)學(xué)本質(zhì)的挖掘“一線三等角”的本質(zhì)是三角形內(nèi)角和與同角的補(bǔ)角相等，所以頂點(diǎn)在一條線上的三個(gè)角相等是其基本特征，本題中一條線上已有兩角，且我們解題思路中已確定點(diǎn)為制造三角形相似，所以，在C的基礎(chǔ)上制造第三個(gè)角就成了必然。

三、巧妙運(yùn)用基本圖形發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)

1. 通過基本圖形培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力

林崇德老師在《學(xué)習(xí)圖形與發(fā)展》一書中提到中學(xué)數(shù)學(xué)的發(fā)展，可以分為由低到高的三級(jí)水平，其中第Ⅱ級(jí)水平為能夠由較復(fù)雜的圖形分解出簡(jiǎn)單的基本圖形，在基本圖形中找出基本元素及其關(guān)系，并能夠?qū)D形及其特征聯(lián)系起來。

例如：如圖12：△ABC內(nèi)接于⊙O，邊BC上的高AD的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)H，以AD為直徑的⊙O交AB、AC于點(diǎn)E、F，EF交AD于點(diǎn)G。求證：AD2=AG·AH.

分析：這個(gè)問題中出現(xiàn)了條件AD是⊙O的直徑，E（或F）是半圓上的點(diǎn)，所以可運(yùn)用半圓上的圓周角是直角的基本性質(zhì)進(jìn)行證明。而現(xiàn)在圖形中有⊙O′的直徑AD，有半圓上的點(diǎn)E，但沒有圓周角所以應(yīng)將圓周角添上，于是連結(jié)DE（如圖13），即可得∠DEA=90°。這里出現(xiàn)的半圓上的圓周角實(shí)際上就是組成這個(gè)幾何圖形的第一個(gè)基本圖形在得到DE⊥AE后，由條件AD⊥BC，可得△ABD是直角三角形，這樣就出現(xiàn)了DE是Rt△ABD的斜邊上的高，那么，運(yùn)用直角三角形斜邊上的高的基本性質(zhì)，就可得結(jié)論中出現(xiàn)的AD2應(yīng)等于AE·AB，且∠ADE=∠ABD。這個(gè)直角三角形斜邊上的高，就是組成這個(gè)幾何圖形的第二個(gè)基本圖形（如圖13）由性質(zhì)AD2=AE·AB，再對(duì)比要求圖3證的結(jié)論AD2=AG·AH，可知問題轉(zhuǎn)化成要證明AE·AB=AG·AH這是線段之間的比例關(guān)系，經(jīng)過描圖可發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)了兩組相乘線段重疊在一直線上，且有一個(gè)公共的端點(diǎn)，從而可添加一組逆平行線型的相似三角形進(jìn)行證明，添加的方法是將端點(diǎn)B和端點(diǎn)H、連接起來，于是連接BH?？傻谩鰽GE和△ABH應(yīng)是一對(duì)逆平行線型的相似三角形，這就是組成這個(gè)幾何圖形（如圖14）的第三個(gè)基本圖形。而要證明這兩個(gè)三角形相似就可以轉(zhuǎn)化為要證AE·AB=AG·AH的等價(jià)性質(zhì)∠AGE=∠ABH（或∠AEG=∠H）由于∠AGE可以看作是△AFG的一個(gè)外角（E、G、F成一直線），所以∠AGE=∠FAG+∠AFG.而∠FAG可以看作是⊙O的一個(gè)圓周角，在⊙O上已經(jīng)出現(xiàn)四點(diǎn)A、B、H、C，所以應(yīng)用圓周角的性質(zhì)可得∠FAG=∠CBH.這里出現(xiàn)圓周角就是組成這個(gè)幾何圖形的第四個(gè)基本圖形（如圖15）。根據(jù)同樣的道理，在⊙O中應(yīng)用圓周角的基本圖形的性質(zhì)可得∠AFG=∠ADE.而已經(jīng)證明了∠ADE=∠ABD，所以∠AFG=∠ABD，又∠CBH+∠ABD=∠ABH，所以∠ABH∠AGE就可以證明，分析也就完成。

從上述例題的分析，可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)幾何問題的圖形實(shí)際上是由半圓上的圓周角、直角三角形斜邊上的高、逆平行線型相似三角形和圓周角這四個(gè)基本圖形組合而成的所謂對(duì)這個(gè)問題的分析，實(shí)質(zhì)上就是將問題進(jìn)行分解并進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)且找到組成它的所有的基本圖形，再運(yùn)用這些基本圖形的性質(zhì)使問題得到解決。

2. 通過基本圖形培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力

著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生有“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”的精辟論述。代數(shù)具有高度的抽象性，單純地研究代數(shù)，對(duì)于中學(xué)生而言比較難于理解，而數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)中重要的思想方法之一，在初中數(shù)學(xué)中起著重要的作用，通過圖形將代數(shù)問題直觀化。例如，在函數(shù)的教學(xué)中，函數(shù)圖像是直觀的研究函數(shù)的重要工具。函數(shù)有三種表示方法：解析式法、圖像法、列表法。而這三種方法中，圖象法是最直觀的方法。初中生的思維處于由形象思維向抽象思維轉(zhuǎn)變的過程，對(duì)于形象思維更易于接受。鑒于此，在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，教科書利用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象，借助于函數(shù)圖像，直觀地發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)，如增減性、最大最小值、對(duì)稱性。而這些僅通過函數(shù)解析式或列表法是很難發(fā)現(xiàn)的。反過來觀察圖象又可以增進(jìn)對(duì)代數(shù)的理解，例如，二次函數(shù)的教學(xué)首先學(xué)習(xí)y=ax2形式的函數(shù)，通過畫函數(shù)圖像得到頂點(diǎn)在原點(diǎn)的函數(shù)圖象的性質(zhì)，接著學(xué)習(xí)y=a（x-h）2+k，加深對(duì)函數(shù)解析式的理解。

3. 通過基本圖形發(fā)展的學(xué)生思維的廣度和深度

如圖16，AB、CD相交于E，AD=AE，F(xiàn)、G、H分別是DE、BE、AC的中點(diǎn)，請(qǐng)說明：HF=HG學(xué)生往往會(huì)想到等腰三角形“三線合一”基本圖形，等腰三角形基本圖，三角形中位線定理基本圖，所有和條件有直接關(guān)系的基本知識(shí)和圖形都能想到，但還是解決不了問題，這就促使學(xué)生深入思考：有沒有與基本圖形的

性質(zhì)派生出的結(jié)論和條件相結(jié)合形關(guān)聯(lián)的基本圖呢？數(shù)學(xué)基本知識(shí)扎實(shí)的學(xué)生就想到了直角三角形斜邊上的中線基本圖形，于是想到連結(jié)AF、CG使問題得到了解決。用基本圖形分析法分析比較復(fù)雜的幾何間題，可以鍛煉學(xué)生的思維廣泛性和深刻性。解決問題后，學(xué)生的身心愉悅，有相當(dāng)強(qiáng)的成功體驗(yàn)，成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的無窮動(dòng)力。

4. 通過基本圖形培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的熱情

在教學(xué)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形理解記憶基本知識(shí)，學(xué)生只要根據(jù)圖形用自己的語(yǔ)言把意思表達(dá)清楚就可以了，學(xué)生易于接受、容易落實(shí)。在參與課堂討論的時(shí)候，某些學(xué)生雖然沒有找到解決問題的辦法，但總能說出自己的部分想法，想到了哪些基本圖形、哪些基本知識(shí)，經(jīng)常在討論中使問題得到解決。學(xué)生也很少再為答不出問題而感到差愧，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，更愿意參與到課常中來。調(diào)查顯示所教班級(jí)中（36人）有32對(duì)數(shù)學(xué)很感興趣了，其中有10人原來對(duì)數(shù)學(xué)不感興趣，現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)興趣很濃厚了。學(xué)生以基本圖形的形式建立幾何知識(shí)索引的效果較好，有專家在他的教育研究中指出學(xué)生看到陌生題目不會(huì)做的原因是他們按照題目條件在頭腦中不能建立知識(shí)索引，或者建立的知識(shí)索引不夠清晰。即看到題目首先想到的是這個(gè)題目有沒有做過，而不是想如何根據(jù)已有的知識(shí)方法分析它。知識(shí)索引是指學(xué)生把基本的知識(shí)通過加工儲(chǔ)存在頭腦中。本研究是通過基本圖形與基本知識(shí)相關(guān)聯(lián)的形式進(jìn)行儲(chǔ)存，引導(dǎo)學(xué)生看到題目中的條件就想到相應(yīng)的基本圖形和知識(shí)點(diǎn)。利用這種方法分析問題時(shí)，即使不能找到解題方法，學(xué)生也進(jìn)行了一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)，也會(huì)有所收益。以基本圖形的形式建立知識(shí)索引，是“塊狀知識(shí)”的索引，即信息加工理論中的“組塊”，或者是圖式理論中的“圖式”，便于學(xué)生需要這些知識(shí)時(shí)從頭腦中提取出來。

總之，對(duì)初中數(shù)學(xué)基本圖形的歸納與應(yīng)用，對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)起到很大的幫助，更對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)初中幾何起到指路引領(lǐng)的作用?；緢D形對(duì)于中下程度的學(xué)生掌握基本知識(shí)效果較好，學(xué)生不用死記硬背基本知識(shí)，只要聯(lián)想到基本圖形，看圖形說出大概意思，然后能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用就行，但是對(duì)于他們分析較難的綜合同題，有時(shí)效果不明顯。畢竟，思維能力的培養(yǎng)需要一個(gè)過程;基本圖形對(duì)提高優(yōu)秀學(xué)生的解題能力效果明顯，且明顯縮短丁思考時(shí)間，減少了嘗試一失敗的次數(shù)，且很容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使學(xué)生自主探究較難的問題;在復(fù)習(xí)課中系統(tǒng)的實(shí)施基本圖形分析法，建立完備的基本圖形庫(kù)，幫助學(xué)生進(jìn)行減負(fù)高效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 徐方瞿.基本圖形分析法[M].鄭州：大象出版社，1998.

（作者單位：浙江省嘉興市秀洲區(qū)王店鎮(zhèn)中學(xué) 314000）