江蘇省南京市雨花臺區(qū)教師發(fā)展中心 劉春書

江蘇省海安市教師發(fā)展中心 劉東升

一、寫在前面

因課題研究的主題相近，我們開展跨地區(qū)（南京雨花臺區(qū)與南通海安市）教研活動，活動主題是研討“章節(jié)統(tǒng)領(lǐng)課”（南通地區(qū)對這種課型多稱之為“單元教學(xué)”），活動以開設(shè)研究課、觀課與跟進(jìn)評課的方式進(jìn)行.考慮到我們作為區(qū)域初中數(shù)學(xué)研訓(xùn)員的身份，我們在課前對將要開設(shè)的“相似圖形”（第1課時）從選題、磨課到教學(xué)導(dǎo)向，都進(jìn)行了較為充分的準(zhǔn)備，開課學(xué)校選定在雨花臺中學(xué)，授課對象是八年級學(xué)生，學(xué)生已學(xué)完蘇科版八年下冊，具有了全等三角形、平行四邊形、分式等知識儲備，學(xué)生整體水平較高.

二、“相似圖形”（第1課時）教學(xué)流程

教學(xué)環(huán)節(jié)（一） 從生活中的相似圖形出發(fā)

黑板上貼出幾張打印好的照片（如圖1、圖2）：長城、東方明珠等.

圖1

圖2

教學(xué)組織：開課時教師先說明，這節(jié)課我們研究一類新的圖形（在黑板主板 區(qū)課題位置先寫出“圖形”兩字），仍然從圖形的形狀、大小、位置（在副板區(qū)書寫）這三個方面開展研究.讓學(xué)生觀察黑板上這些大小不同的照片有什么特點，（大小不一樣、形狀相同）引出課題：相似圖形（在黑板上“圖形”前補(bǔ)上“相似”），并寫出它的定義：形狀相同的圖形叫作相似圖形.

師：（過渡）我們知道“相狀相同”是一種定性描述，數(shù)學(xué)往往追求“定量”的研究，下面讓我們從定量的角度來定義相似圖形，以相似多邊形為例，我們定義“所有角分別相等，所有邊成比例的多邊形，叫作相似多邊形”.（板書）

問題1：以足球上的圖案五邊形為例，請同學(xué)們仿照相似多邊形的定義，組內(nèi)交流一下相似五邊形的定義.

學(xué)生分組交流.

問題2：類似的，請你們再定義一下相似四邊形.

預(yù)設(shè)：（板書）兩個四邊形，四個角分別相等，四條邊成比例，叫作相似四邊形，可以用符號表示，四邊形四邊形A′B′C′D′.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二） 發(fā)現(xiàn)A4紙的長、寬之比

折紙發(fā)現(xiàn)：同學(xué)們看黑板上貼的這些A4紙，如圖3，選一張折出等腰直角三角形ADE，再把折痕AE翻折恰能與邊AB重合，讓學(xué)生跟進(jìn)操作一下.（課前給每名學(xué)生發(fā)3張A4紙，供課堂折紙操作使用）

圖3

追問：同學(xué)們能發(fā)現(xiàn)A4紙的長、寬之比嗎？

折紙?zhí)骄浚簩⑵渲幸粡堁亍伴L邊”對折一下，（教師示意）然后貼在黑板上（如圖4、圖5），同學(xué)們感覺它們相似嗎？

圖4

圖5

追問：如果要證明它們相似，對照定義，缺少什么條件？

教學(xué)組織：學(xué)生在前面獲得長、寬之比為之后，有利于發(fā)現(xiàn)兩種矩形的邊成比例，從而對照定義，四個角都是直角，相等，四條邊成比例，所以它們是相似矩形.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三） 研究相似三角形

過渡：讓我們再從更簡單的圖形——三角形出發(fā)，深入研究相似三角形.請你們先給出定義.

預(yù)設(shè)：（學(xué)生回答，教師板書）兩個三角形，三個角分別相等，三條邊成比例，叫作相似三角形.

提問：出示一組相似三角形（如圖6），有了之前研究全等三角形的經(jīng)驗，你們覺得可以怎樣來研究相似三角形呢？

圖6

教學(xué)組織：讓學(xué)生分組交流，比如，需要研究相似三角形的定義、判定還有性質(zhì).對于判定方法，可以類比全等三角形的判定方法，比如SSS、SAS、ASA、AAS，來猜想三角形相似的條件，如“三邊成比例，兩個三角形相似”“兩邊成比例且夾角相等，兩個三角形相似”“兩角分別相等的三角形相似”.

教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上表示肯定，并請學(xué)生整理、簡寫在黑板上的相應(yīng)位置，并將相似三角形的判定方法標(biāo)注為“猜想1、2、3”.

教師點評：這些相似三角形判定的猜想由全等的判定方法猜想而來，是否也是“基本事實”？能否獲得證明？數(shù)學(xué)上，我們只要能很方便獲得證明的，一般都不輕易升級到“基本事實”或公理級別.數(shù)學(xué)是一門邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、推理論證的學(xué)科.但是在時間這么短的課堂上讓學(xué)生獨立探索上述猜想的證明思路是有困難的，所以向?qū)W生推介一些思路，請他們試著理解、完善證明思路.

教學(xué)組織：讓我們還回到A4紙的折疊上，繼續(xù)多折出一些折痕，然后任意畫出兩條直線，去截這些折痕對應(yīng)的直線.如圖7，先任意畫兩條直線被一組平行線（折痕對應(yīng)的直線）所截，讓學(xué)生感受被截得的對應(yīng)線段都是成比例的，可以讓學(xué)生在小組內(nèi)充分舉例，通過畫記號或標(biāo)注字母進(jìn)行表達(dá)，然后添上一些特殊的直線，交前直線于某個折痕交點，為后面抽象分離出三角形中平行線的基本圖形（如圖8）做好準(zhǔn)備.

圖7

由圖7出發(fā)，教師概括、板書“基本事實”：兩條直線被一組平行線所截，得到的對應(yīng)線段成比例，并特殊化、簡化為圖8，提煉出“結(jié)論”：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得對應(yīng)線段成比例.

圖8

教學(xué)預(yù)設(shè)：教學(xué)時上述“結(jié)論”可以讓學(xué)生先歸納，如果學(xué)生提到的成比例線段還有，則可以先抓取到黑板上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行辨析和證明.如果學(xué)生能由圖7中的一些線條得到啟示，構(gòu)造出DF∥AC，就可順利獲得證明.教師可順勢提出，此時△ADE和△ABC三角分別相等，三邊成比例，根據(jù)定義，可以證明兩個三角形相似.教師板書“定理”：（引理）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，構(gòu)成的三角形與原三角形相似.并給出這種判定方法的“幾何語言”：因為DE∥BC，所以

教學(xué)環(huán)節(jié)（四） 課堂小結(jié)與研究展望

小結(jié)問題1：這節(jié)課是如何研究相似圖形的？

小結(jié)問題2：這節(jié)課中你對哪個問題或結(jié)論印象深刻？

小結(jié)問題3：后續(xù)你會怎樣研究相似三角形？

在這些小結(jié)問題的驅(qū)動下，引導(dǎo)學(xué)生交流表達(dá)，教師適當(dāng)進(jìn)行板書的完善，生成結(jié)構(gòu)化板書（如圖9），并鼓勵學(xué)生課后自主探究如何證明相似三角形的判定方法（黑板上用“猜想1、2、3”表示）

圖9

三、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

（一）理解數(shù)學(xué)，基于邏輯連貫重組學(xué)材

章建躍博士曾說：“數(shù)學(xué)的整體性既體現(xiàn)在代數(shù)、三角、幾何等各部分?jǐn)?shù)學(xué)知識的相互聯(lián)系上，也體現(xiàn)在同一部分內(nèi)容之間的前后邏輯性上.”本文中的課例研究的是相似圖形，承接的是全等圖形的已有知識，在我們打磨相似圖形章節(jié)起始課時，對比了人教版、蘇科版教材之后，決定從幾張相似圖形的照片引出新知，并定義研究對象（相似圖形），然后從簡單出發(fā)研究相似多邊形、相似四邊形，再“最簡化”引導(dǎo)學(xué)生開始系統(tǒng)研究相似三角形，并在相似三角形研究時鼓勵學(xué)生基于已有經(jīng)驗猜想“我們將如何研究相似三角形”.這樣就形成了本節(jié)章節(jié)統(tǒng)領(lǐng)課的大致框架和學(xué)程路徑，這種框架結(jié)構(gòu)是在深刻“理解數(shù)學(xué)”之后構(gòu)思的，并不是簡單的“離開教材搞教學(xué)”，特別注重基于前后一致、邏輯連貫重組學(xué)材.

（二）研判學(xué)情，基于研究套路推進(jìn)學(xué)程

備課之初，我們在定好大致教學(xué)框架之后，接下來就是研判開課班級學(xué)生的學(xué)情，經(jīng)過與該班任課老師溝通交流，發(fā)現(xiàn)該班學(xué)生整體水平較好，且不少優(yōu)秀學(xué)生善于思考、敢于踴躍展示，所以我們就可以在之前構(gòu)思的框架上進(jìn)一步“開放”問題、豐富細(xì)節(jié)和追問角度.比如，開課階段在黑板上貼幾張A4紙，上面打印了形狀相同、大小不同的幾幅照片，讓學(xué)生猜想并說出本課的研究對象（揭示課題“相似圖形”），進(jìn)一步安排學(xué)生類比全等圖形來定義相似圖形；再比如，當(dāng)學(xué)程推進(jìn)到研究相似三角形時，讓學(xué)生先猜想“編寫教材的專家會怎樣安排相似三角形的學(xué)習(xí)內(nèi)容”，然后在小組內(nèi)交流討論后再全班展示，得出相似三角形的研究路徑.這些開放式的問題是基于學(xué)生已有經(jīng)驗，也是研判學(xué)情后的教學(xué)決策，從教學(xué)效果來看，確實達(dá)到了“以開放題驅(qū)動開放的數(shù)學(xué)教學(xué)”（鄭毓信教授語）.

（三）預(yù)設(shè)鋪墊，基于已有經(jīng)驗攻克難點

研磨相似三角形章節(jié)統(tǒng)領(lǐng)課進(jìn)程中，我們一致認(rèn)為教學(xué)難點是相似三角形的判定，因為課標(biāo)、教材上都明確了相似三角形的判定是“定理”，并不像全等三角形的判定是以“基本事實”給出的，“基本事實”不需要證明，簡化了教學(xué)要求，但是定理是需要證明的.如何引導(dǎo)學(xué)生自主證明相似三角形的判定定理成為本課的教學(xué)難點，因為這將涉及相似三角形的判定的“引理”（平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，構(gòu)成的三角形與原三角形相似），而“引理”又是平行線分線段成比例定理的“特殊化”.而這些“引理”及“源頭”并不是學(xué)生基于此前全等圖形學(xué)習(xí)能得到的經(jīng)驗，所以從課堂教學(xué)時間和教學(xué)效率考慮，我們需要進(jìn)行教學(xué)干預(yù)，預(yù)設(shè)讓學(xué)生進(jìn)行“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”（弗賴登塔爾語），比如，借助折疊A4紙得到“一組平行線”，然后畫出一些截線，分析“成比例線段”，然后“特殊化”并證明“引理”，為學(xué)生后續(xù)研究相似三角形的判定打開思路.從課堂教學(xué)生成來看，學(xué)生攻克“引理”時出現(xiàn)“卡殼”，盡管課堂時間有限，我們?nèi)匀粵]有簡單告知，而是學(xué)生“靜靜地”思考了5分鐘，終于有一名女生（陶姓）上臺完整證明“引理”，在隨后的點評中，我們建議將該“引理”命名為“陶氏定理”，讓學(xué)生課后利用“陶氏定理”繼續(xù)證明相似三角形的判定方法.

四、寫在后面

數(shù)學(xué)章節(jié)統(tǒng)領(lǐng)課，試圖對某一章起到統(tǒng)整和引領(lǐng)，是章節(jié)的序幕，它可以激發(fā)學(xué)生興趣，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，初步感知學(xué)習(xí)本章的價值和意義，對后繼學(xué)習(xí)起引領(lǐng)、指導(dǎo)和組織的作用；另一方面，還承載著幫助學(xué)生建構(gòu)策略性知識的重要價值，為學(xué)生提供學(xué)習(xí)章節(jié)知識的框架和基本線索，搭建溝通章節(jié)知識的橋梁，除了顯性知識的教學(xué)，還應(yīng)包括對本章內(nèi)容的介紹、研究思路和方法的整體構(gòu)建，讓學(xué)生既見樹木，更見森林，從而提高學(xué)生的整體意識、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).我們跨區(qū)域合作研究相似圖形章節(jié)統(tǒng)領(lǐng)課的過程中，收獲很多，也有一些困惑，比如，章節(jié)統(tǒng)領(lǐng)課是否只能安排一個課時（如相似圖形如果再安排一個課時，就可以繼續(xù)組織學(xué)生證明相似三角形的判定定理）？再如，當(dāng)學(xué)生學(xué)完章節(jié)統(tǒng)領(lǐng)課之后，原有教材上的一些關(guān)聯(lián)不大的教學(xué)內(nèi)容如何“關(guān)照”和“續(xù)上”？這些都值得后續(xù)深入思考和研究.