肖紅武, 陳 濤

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1 概述

我國存在大量的高烈度地震區(qū)，如在隧道襯砌體系中設計減震層，往往是在初期支護與圍巖之間設置減震層，隧道襯砌減震體系為“圍巖-減震層-襯砌”體系[1]。但由于我國大多數(shù)隧道普遍采用新奧法施工，錨噴支護結(jié)構用于初期支護，使得減震層不易施作。一些學者也對“圍巖-初期支護-減震層-二次襯砌”體系進行了研究[2-4]，由圖1(a)所示。

(a)減震層布置示意

(b)減震層布置示意圖1 帶減震層的襯砌模型

由減震層將初期支護與二次襯砌連接起來，力學模型的處理：將處于初期支護、二次襯砌之間的減震層，簡化為彈簧連接，假定彈簧彈性勁度系數(shù)為kc；由文獻可知[5-7]，可以將初期支護等效為彈性地基上的Timoshenko梁，見圖1(b)中的2#梁，初期支護與圍巖之間的接觸作用，可通過設地層圍巖的彈性地基抗力系數(shù)為kg來簡化，二次襯砌也可等效為另一根Timoshenko梁，見圖1b中1#梁，從而可以得到疊合梁模型，其中T1、T2分別代表地震過程二次襯砌、初期支護所受的縱向擠壓。

2 控制方程

由文獻[5,8]可知，按照Timoshenko梁模型，二次襯砌(1#梁)的動力學方程，可以寫為式(1)：

(1)

其中，κGA1為1#梁截面的抗剪剛度；ρ為梁密度；G為梁的剪切模量；A1為1#梁截面面積；T1為1#梁所受的軸力；α為軸力的躍遷系數(shù)，Ψ1為1#梁的轉(zhuǎn)角；w1為1#梁橫截面方向的豎向動力響應；EI1為1#梁抗彎剛度；κ為梁的剪切修正系數(shù)；b1是1#梁的寬度、kc是減震層與1#梁接觸的彈性地基抗力系數(shù)。

借鑒文獻[9-10]，式(1)化簡為式(2)：

(2)

此時，f(x,t)的表達式如下：

(3)

設假設動力響應為簡諧形式[9]，則可假設：w1(x,t)=W1(x)eiΩt,w2(x,t)=W2(x)eiΩt,Ψ1(x,t)=Ψ1(x)eiΩt可以得到式(4)：

(4)

(5)

2#梁與1#相同的推導步驟，1#梁(初期支護)的動力學方程表示為式(6)：

(6)

(6)式中2#梁的常量、變形符號定義基本同1#梁，不再贅述，其中，wg-t是地層圍巖的豎向(梁的橫截面方向)地震外激勵位移響應，kg是圍巖的彈性地基抗力系數(shù)，因此，式(6)簡化為式(7)：

同樣設w2(x,t)=W2(x)eiΩt,Ψ2(x,t)=Ψ2(x)eiΩt可以得到式(7)：

(7)

(8)

2.1 復合襯砌動力控制方程的矩陣化形式

由1#、2#梁的動力控制方程式(4)、式(7)，可得到疊合梁體系的動力系統(tǒng)方程組：

(9)

方程組式(9)是一個耦合微分方程組，可改寫成矩陣形式，便于使用積分變換法，解出耦合微分方程組，經(jīng)過整理，式(9)的矩陣形式為：

(10)

進一步簡化成向量矩陣表達式：

(11)

(12)

2.2 帶減震層的襯砌動力響應解析解

借鑒作者已有的單梁動力響應的成果[8]，欲求解疊合梁模型的動力響應，首先要求出其格林函數(shù)，根據(jù)格林函數(shù)G(x,ξ)的數(shù)學定義和物理意義[8-10]，引入狄拉克函數(shù)δ(x)，解疊合梁體系模型的格林函數(shù)解，就是解以下微分方程：

(13)

對式(13)進行拉普拉斯變換可以得到式(14)：

(14)

設定F(s)=Is4+As2+B，可知F(s)是可逆的，則得到式(15)：

(15)

要對式(15)進行拉普拉斯逆變換，需要做矩陣表達式F(s)-1s3+F(s)-1As，F(xiàn)(s)-1s2+F(s)-1A、F(s)-1s、F(s)-1、F(s)-1[exp(-ξ1s) exp(-ξ2s)]T等等因子的拉普拉斯逆變換。由此可見，要解拉普拉斯逆變換，就要先解矩陣F(s)-1。

為了求解F(s)-1，以下設矩陣F(s)為：

(16)

因而，可以得到矩陣F(s)的逆矩陣F(s)-1為：

(17)

其中，Δ(s)=a1a2-b1b2，并且：

(18)

因此， 式(15) 變?yōu)椋?/p>

(19)

(20)

其中，ξ=[ξ1ξ2]，

(21)

在式(21)中，H(x-ξ)是階躍函數(shù)的矩陣形式，式(21)的各式n階導數(shù)為：

(22)

式中：

(23)

2.3 特定邊界條件下的帶減震層的復合襯砌解析解

由于篇幅有限，僅考慮疊合梁兩端自由邊界條件下，疊合梁體系的動力響應格林函數(shù)。假定上、下梁的邊界條件相同(均為兩端自由的邊界)，在隧道襯砌節(jié)段的長度為L，兩端自由邊界條件下[8-9]，對應的常數(shù)項為：

(24)

由邊界條件可知，得出兩端自由邊界條件下的格林函數(shù)為：

(25)

根據(jù)另一組邊界條件，確定格林函數(shù)的方程為：

(26)

式中：

(27)

進一步得到：

(28)

此時，可以確定W(0)、W′(0)，進一步確定帶減震層隧道襯砌的格林函數(shù)。

(29)

3 解析解的結(jié)果分析

為了簡化解析解的結(jié)果分析，假定初期支護不考慮軸力，僅二次襯砌軸力(T2=8MPa)。假設減震層的彈簧勁度系數(shù)為kc=0.177MPa。此處取地震外激勵頻率Ω=6πrad/s，取地震波入射角θ=5°，豎向的地震荷載激勵如下[11-12]：

表1 圍巖力學指標

表2 隧道所處場地的地震特性參數(shù)

表3 襯砌力學屬性

圖2 襯砌斷面

3.1 減震效果評價

當強震區(qū)的襯砌節(jié)段長度取12 m時，比較了帶減震層工況下的襯砌動力響應與無減震層模型下的襯砌動力響應，見圖3，可以看出，有減震層的二次襯砌，其位移比無減震層襯砌的大，并且有減震層時初期支護的位移最大。

圖3 有、無減震層的襯砌位移響應比較

圖4可以看出，與“有減震層的二次襯砌”的工況相比，“無減震層模型下襯砌”的內(nèi)力要明顯大得多。由此得出因為設置了初期支護與減震層，使得二次襯砌的內(nèi)力響應(彎矩、剪力)大大降低。最終可以得出結(jié)論：“圍巖-初期支護-減震層-二次襯砌”體系中的減震層能夠有效降低二次襯砌的內(nèi)力響應，隧道襯砌結(jié)構減震效果較好。

(a)有、無減震層的襯砌彎矩響應比較

(b)有、無減震層的襯砌剪力響應比較圖4 有、無減震層的的襯砌內(nèi)力響應比較

3.2 不同的減震層(彈性抗力系數(shù))的減震效果

強震區(qū)往往襯砌會多設置變形縫，以利于地震過程中襯砌消耗能量，此處假設襯砌長度為6 m時，不同減震層彈性勁度系數(shù)條件下的位移峰值響應，如圖5所示。當時，二次襯砌的峰值位移響應為0.92 cm；當時，二次襯砌的峰值位移響應為43.75 cm，減震層彈性勁度系數(shù)增大導致了襯砌峰值位移響應增大。

圖5 不同減震層彈性勁度系數(shù)下的襯砌位移響應

雖然隨著減震層彈性勁度系數(shù)的逐漸增大，二次襯砌與初期支護的位移峰值的絕對值都呈增大的趨勢，但是，初期支護的位移響應幅度增加有限，而二次襯砌的位移響應有較大幅度提升。

初期支護與二次襯砌在不同彈性勁度系數(shù)條件下的彎矩峰值響應，如圖6所示，可以看出不同減震層對初期支護彎矩響應的影響有限，而對二次襯砌彎矩峰值響應的影響大一些(但幅值依然不大)，究其原因，初期支護主要承擔由地震引起的附加彎矩，與初期支護所承受的附加彎矩相比，二次襯砌的附加彎矩小得多，幾乎無影響。

(a)不同減震層的初期支護彎矩響應

(b)不同減震層的二次襯砌彎矩響應圖6 不同減震層彈性勁度系數(shù)下的襯砌彎矩響應

綜合圖5、圖6，初期支護受減震層彈性勁度系數(shù)的影響較小，二次襯砌受減震層彈性勁度系數(shù)的影響大一些。隨著減震層彈性勁度系數(shù)的逐漸增大，二次襯砌的位移響應和彎矩響應也逐漸增大，但整體量級并不大。

與彎矩峰值響應類似，不同減震層彈性勁度系數(shù)下的剪力峰值響應也出現(xiàn)類似的規(guī)律，如圖7所示。在減震層彈性勁度系數(shù)逐漸增加的同時，初期支護所承受的剪力響應基本不變，其剪力基數(shù)水平依然較高；二次襯砌所承受的剪力響應也逐漸增加，但其剪力基數(shù)水平仍然較低。這是由于初期支護主要承擔了由地震引起的附加剪力，在減震層的作用下，二次襯砌所承受的附加剪力峰值顯著減小，可以忽略。

(a)不同減震層的初期支護剪力響應

(b)不同減震層的二次襯砌剪力響應圖7 不同減震層彈性勁度系數(shù)下的襯砌剪力響應

3 振動臺試驗

由上述分析可知，在“圍巖-初期支護-減震層-二次襯砌”體系下，二次襯砌因減震層的存在，大大減小了地震附加內(nèi)力，減震層達到了減震的效果。

結(jié)合大型物理模型振動臺試驗來驗證減震層的減震效果，振動臺的主要指標如表4。

表4 振動臺參數(shù)

振動臺的尺寸為5 m×5 m，圍巖相似性材料的主要指標：幾何相似比CL=25、泊松比CV=1、重力相似比Cx=1，密度相似比Cγ=1.29、粘聚力相似比Cc=32.25、模擬圍巖的相似性材料為：粉煤灰(F類，二級)、機油(40JHJ，密度0.88 g/cm3)、干河砂(中粗，含水率0.75 %)。本次試驗中制作的微粒混凝土的襯砌模型，水泥與中砂的質(zhì)量比為1∶6，水灰比為1∶1，其他一系列未詳盡的指標，詳見作者所在課題組已發(fā)表的文獻[13-14]。

如圖8，初期支護與二次襯砌之間的空隙由減震層充填，減震層采用橡膠海綿材料，達到了“圍巖-初期支護-減震層-二次襯砌”體系模擬的目的。

在無任何減震措施下，襯砌模型的震害破壞形態(tài)如圖9所示。底部剪切波在外激勵荷載作用下，隧道拱肩、拱腳裂縫較多。

圖8 襯砌的減震體系

圖9 無減震層的襯砌震害

在初期支護和二次襯砌之間，設置橡膠海綿，內(nèi)、外層襯砌模型的破壞形態(tài)如圖10(初期支護)和圖11(二次襯砌)所示。在水平激勵加速度作用下，增加減震層后的減震效果相當明顯：隧道初期支護(外層襯砌)出現(xiàn)的破壞了較嚴重；二次襯砌(內(nèi)層襯砌)只出現(xiàn)少許微細裂縫，基本保持完好。通過模型試驗得到的結(jié)果，也說明了在初期支護與二次襯砌之間，設置減震層，可以有效地減小二次襯砌的內(nèi)力響應，使得二次襯砌所受的內(nèi)力響應量級較小。地震引起的大部分附加內(nèi)力響應通過減震層轉(zhuǎn)由初期支護承擔，初期支護出現(xiàn)了嚴重震害。

圖10 初期支護的震害

圖11 二次襯砌的震害

4 結(jié)束語

在兩端自由邊界條件下，研究雙層疊合Timoshenko梁的動力響應，以模擬“圍巖-初期支護-減震層-二次襯砌”的地震動力響應以及減震效果。通過疊合梁的動力響應控制方程，推導出了疊合梁的動力響應顯式解析解，以達到評價減震效果的目的。

在地震力作用下，研究比較了有、無減震層襯砌的動力響應的差別，并且比較了減震層彈性勁度系數(shù)變化對復合式襯砌位移響應、內(nèi)力響應(彎矩、剪力)的影響。從動力位移響應以及內(nèi)力響應，可以分析出減震層大幅度地減小了二次襯砌的內(nèi)力響應，減震效果顯著。

最后通過振動臺實驗驗證了減震層的減震效果，從實驗中可以明顯的發(fā)現(xiàn)：初期支護在地震過程中，產(chǎn)生了大量的裂縫，但是二次襯砌整體較完好，所以減震層有效地保護了二次襯砌，減震效果明顯。